Методы моделирования случайных процессов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Селихов Ю. Р., Юрсков С. В., Шуклин А. В., Хамуш А. Л., Газаров Д. А. Методы моделирования случайных процессов // Молодой ученый. — 2016. — №11. — С. 467-471. — URL https://moluch.ru/archive/115/30923/ (дата обращения: 17.07.2018).

 

В данной статье рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.

Ключевые слова: статистическое моделирование, случайные величины, стохастические процессы.

 

Существуют два типа алгоритмов, при помощи которых на ЭВМ могут вырабатываться дискретные реализации случайного процесса U(t). Алгоритмы первого типа предусматривают вычисление дискретной последовательности значений , т. е. значений реализаций процесса U(t) в совокупности заранее выбранных моментов времени . Шаг дискретизации обычно принимается постоянным: ∆t = const, тогда из стационарности процесса U(t) следует стационарность последовательности {}.

В основе алгоритмов этого типа положено линейное преобразование стационарной последовательности независимых гауссовских чисел ζ с параметрами <ζ> = 0, < > = 1 в последовательность {} коррелированную по заданному закону

(1)

где K(τ) корреляционная функция моделируемого процесса. При этом оператор соответствующего линейного преобразования записывается или в виде скользящего суммирования с весом

или в виде рекуррентного уравнения типа

Вид корреляционной функции воспроизводимого при помощи соотношений (2), (3) случайного процесса определяет набор значений коэффициентов .

Ко второму типу относятся алгоритмы, основанные на представлении моделируемых процессов в виде разложений

где некоторая система детерминистических функций; U случайный вектор. При этом моделирование случайного процесса сводится к воспроизведению реализаций векторов U и последующему вычислению значений Um = U(tm) по формуле (4).

Целью статистического моделирования случайных полей является воспроизведение совокупности реализаций значений поля U(x) в дискретных точках [x = (), n=1,…,N]. В дальнейшем не будем делать формального различия между пространственными координатами и временем и ограничимся случаем однородных случайных полей. Алгоритмы моделирования случайных полей, как правило, являются обобщением соответствующих алгоритмов моделирования случайных процессов на случай m переменных.

Моделирование гауссовского белого шума.

При статистическом моделировании случайных процессов и полей возникает необходимость в моделировании стационарного дельта-коррелированного гауссовского процесса ζ(t) (белого шума интенсивности s) или его многомерного аналога ζ(x). На ЭВМ можно воспроизводить только усеченный белый шум ζ(f) с конечной дисперсией. Параметр при моделировании подбирается таким образом, чтобы последовательность ζm = ζ(m∆t) была некоррелированной. Это условие будет выполняться, если выбрать ∆t где ∆t шаг дискретизации. Моделирующий алгоритм при этом имеет вид [1]:

Метод скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.

Алгоритм (2) позволяет воспроизводить на ЭВМ последовательности {Um} сколь угодно большой длины, которые с самого начала обладают свойством стационарности. Весовые коэффициенты могут быть вычислены различными способами. Эффективным является способ, основанный на разложении в ряд Фурье спектральной плотности моделируемого процесса. Преобразование (2) при этом берется в виде

а коэффициенты

Шаг дискретизации ∆t и число членов ряда P выбираются из условия

где ε — допустимая погрешность;

Моделирование стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью.

Для моделирования случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью вида

где B(i) и С(i) полиномы относительно (i) порядка r и p соответственно (r < p) эффективным является алгоритм типа (3). Спектральная плотность последовательности

может быть приведена к виду

Где

Коэффициенты используются в рекуррентных уравнениях (3). Соотношения (3) позволяют получать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно большой длины. Начальные условия в (3) при вычислении первых значений последовательности {Um} можно выбрать произвольными (например, нулевыми). Вследствие этого возникает переходный процесс, в пределах которого начальный участок вырабатываемой реализации будет искажен. Величина этого участка реализации зависит от корреляционных свойств моделируемого процесса [2].

Моделирование случайных процессов с использованием канонического разложения.

Для стационарных гауссовских случайных процессов справедливо разложение:

где U(ω) и V(ω) — независимые и стохастически ортогональные случайные функции. Принимая, что S(ω) = 0 при |ω| > и заменяя интеграл конечной суммой, получим:

Здесь гауссовские случайные величины со следующими вероятностными характеристиками:

Число членов ряда (14) выбирается из условия

Наряду с (14) можно использовать разложение

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

.

Реализации, получаемые при помощи выражений (14), (15), являются периодическими (T = 2π/∆ω) следовательно, свойством эргодичности не обладают. Общее достоинство разложений (14) и (15) — простота алгоритма моделирования, а недостаток — необходимость учитывать большое число членов ряда.

Разложения (14) и (15) удобно использовать для получения дискретных реализаций случайных процессов в неравноотстоящих точках [3].

Другие методы моделирования случайных процессов.

Во многих случаях эффективным оказывается метод моделирования, основанный на использовании разложения [4]:

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

Согласно центральной предельной теореме распределение реализаций (16) при стремится к гауссовскому. Кроме того, при реализации будут асимптотически эргодическими по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции.

Наряду с (16) можно использовать разложение

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

Кроме того, Закон распределения величин можно принять равномерным на интервале (0,1), при этом их реализации моделируются при помощи соотношений

Здесь  — случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0,1), которые вырабатываются на ЭВМ с помощью программных датчиков. Моделирование реализаций выполняют одним из методов моделирования случайных величин с заданным законом распределения.

Заключение

В данной статье были рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, заключающихся в решении задачи воспроизведения дискретных последовательностей, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.

 

Литература:

 

  1. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М., «Советское радио», 1971, 328с.
  2. Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. М., «Наука», 1965. 227с.

3.       Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд. дом, ГУ-ВШЭ, 2005. — 254с

  1. Shinozuka M. Simulation of multivariate and multidimensional random processes. — “Journ. Acoust. Soc. Am.”, 1971, vol. 49, N 1, p. 556–583.
Основные термины (генерируются автоматически): статистическое моделирование, процесс, моделируемый процесс, шаг дискретизации, число членов ряда, метод моделирования, совместная плотность вероятности, случайный процесс, корреляционная функция, моделирование.


Ключевые слова

статистическое моделирование, случайные величины, стохастические процессы.

Похожие статьи

О моделировании дискретно-непрерывных процессов

Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения.

Статистические методы в моделировании надежности программного обеспечения. Аппарат теории кооперативных игр в моделировании социально-экономических процессов.

Описание нестационарных случайных процессов с помощью...

Методы моделирования случайных процессов.

Методы моделирования случайных процессов. Описание математической модели механизма-прототипа ЭМК с сепаратором (водило) при ведущем внутреннем кольце.

К проблеме анализа данных при построении моделей...

Тот или иной организационный процесс можно моделировать, например, по схеме

Важной составляющей моделирования сложных систем является необходимость работы со

В [4] достаточно подробно изложен метод генерации случайных чисел, распределенных по...

Рекомендации по составлению статических моделей...

Разновидностью моделирования является построение математической модели, которая в

Для построения моделей технологических процессов первичной обработки хлопка-сырца

Поэтому наиболее приемлемы экспериментально- статистические методы идентификации...

Принцип квазиэквивалентного укрупнения состояний марковских...

Укрупнение состояний марковской модели процесса может быть эквивалентным (точным) или

Сложим уравнения для состояний верхнего ряда, сократим члены, входящие в правую

Аналитическая модель префиксного дерева на основе статистических свойств таблицы...

Об одном методе построения математической модели линейного...

Существуют различные методы, решающие эту задачу, однако сам процесс моделирования зачастую достаточно трудоемкий (в основном за счет сложности выбора структуры модели) и требует больших затрат.

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Первоначально рассмотрим вопрос о влиянии шага дискретизации на процесс моделирования.

Зависимость среднеквадратичной ошибки моделирования от шага дискретизации.

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Плотностью вероятности (или плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины называется производная функции

Редькин А. К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов / А. К. Редькин.

Моделирование свойств композитов | Статья в журнале...

Естественно, математическая модель будет описывать формализованный процесс

Таким образом, регрессионный анализ — статистический метод анализа и обработки

Если функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от факторов, то указанная...

О моделировании дискретно-непрерывных процессов

Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения.

Статистические методы в моделировании надежности программного обеспечения. Аппарат теории кооперативных игр в моделировании социально-экономических процессов.

Описание нестационарных случайных процессов с помощью...

Методы моделирования случайных процессов.

Методы моделирования случайных процессов. Описание математической модели механизма-прототипа ЭМК с сепаратором (водило) при ведущем внутреннем кольце.

К проблеме анализа данных при построении моделей...

Тот или иной организационный процесс можно моделировать, например, по схеме

Важной составляющей моделирования сложных систем является необходимость работы со

В [4] достаточно подробно изложен метод генерации случайных чисел, распределенных по...

Рекомендации по составлению статических моделей...

Разновидностью моделирования является построение математической модели, которая в

Для построения моделей технологических процессов первичной обработки хлопка-сырца

Поэтому наиболее приемлемы экспериментально- статистические методы идентификации...

Принцип квазиэквивалентного укрупнения состояний марковских...

Укрупнение состояний марковской модели процесса может быть эквивалентным (точным) или

Сложим уравнения для состояний верхнего ряда, сократим члены, входящие в правую

Аналитическая модель префиксного дерева на основе статистических свойств таблицы...

Об одном методе построения математической модели линейного...

Существуют различные методы, решающие эту задачу, однако сам процесс моделирования зачастую достаточно трудоемкий (в основном за счет сложности выбора структуры модели) и требует больших затрат.

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Первоначально рассмотрим вопрос о влиянии шага дискретизации на процесс моделирования.

Зависимость среднеквадратичной ошибки моделирования от шага дискретизации.

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Плотностью вероятности (или плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины называется производная функции

Редькин А. К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов / А. К. Редькин.

Моделирование свойств композитов | Статья в журнале...

Естественно, математическая модель будет описывать формализованный процесс

Таким образом, регрессионный анализ — статистический метод анализа и обработки

Если функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от факторов, то указанная...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О моделировании дискретно-непрерывных процессов

Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения.

Статистические методы в моделировании надежности программного обеспечения. Аппарат теории кооперативных игр в моделировании социально-экономических процессов.

Описание нестационарных случайных процессов с помощью...

Методы моделирования случайных процессов.

Методы моделирования случайных процессов. Описание математической модели механизма-прототипа ЭМК с сепаратором (водило) при ведущем внутреннем кольце.

К проблеме анализа данных при построении моделей...

Тот или иной организационный процесс можно моделировать, например, по схеме

Важной составляющей моделирования сложных систем является необходимость работы со

В [4] достаточно подробно изложен метод генерации случайных чисел, распределенных по...

Рекомендации по составлению статических моделей...

Разновидностью моделирования является построение математической модели, которая в

Для построения моделей технологических процессов первичной обработки хлопка-сырца

Поэтому наиболее приемлемы экспериментально- статистические методы идентификации...

Принцип квазиэквивалентного укрупнения состояний марковских...

Укрупнение состояний марковской модели процесса может быть эквивалентным (точным) или

Сложим уравнения для состояний верхнего ряда, сократим члены, входящие в правую

Аналитическая модель префиксного дерева на основе статистических свойств таблицы...

Об одном методе построения математической модели линейного...

Существуют различные методы, решающие эту задачу, однако сам процесс моделирования зачастую достаточно трудоемкий (в основном за счет сложности выбора структуры модели) и требует больших затрат.

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Первоначально рассмотрим вопрос о влиянии шага дискретизации на процесс моделирования.

Зависимость среднеквадратичной ошибки моделирования от шага дискретизации.

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Плотностью вероятности (или плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины называется производная функции

Редькин А. К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов / А. К. Редькин.

Моделирование свойств композитов | Статья в журнале...

Естественно, математическая модель будет описывать формализованный процесс

Таким образом, регрессионный анализ — статистический метод анализа и обработки

Если функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от факторов, то указанная...

О моделировании дискретно-непрерывных процессов

Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения.

Статистические методы в моделировании надежности программного обеспечения. Аппарат теории кооперативных игр в моделировании социально-экономических процессов.

Описание нестационарных случайных процессов с помощью...

Методы моделирования случайных процессов.

Методы моделирования случайных процессов. Описание математической модели механизма-прототипа ЭМК с сепаратором (водило) при ведущем внутреннем кольце.

К проблеме анализа данных при построении моделей...

Тот или иной организационный процесс можно моделировать, например, по схеме

Важной составляющей моделирования сложных систем является необходимость работы со

В [4] достаточно подробно изложен метод генерации случайных чисел, распределенных по...

Рекомендации по составлению статических моделей...

Разновидностью моделирования является построение математической модели, которая в

Для построения моделей технологических процессов первичной обработки хлопка-сырца

Поэтому наиболее приемлемы экспериментально- статистические методы идентификации...

Принцип квазиэквивалентного укрупнения состояний марковских...

Укрупнение состояний марковской модели процесса может быть эквивалентным (точным) или

Сложим уравнения для состояний верхнего ряда, сократим члены, входящие в правую

Аналитическая модель префиксного дерева на основе статистических свойств таблицы...

Об одном методе построения математической модели линейного...

Существуют различные методы, решающие эту задачу, однако сам процесс моделирования зачастую достаточно трудоемкий (в основном за счет сложности выбора структуры модели) и требует больших затрат.

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Первоначально рассмотрим вопрос о влиянии шага дискретизации на процесс моделирования.

Зависимость среднеквадратичной ошибки моделирования от шага дискретизации.

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Плотностью вероятности (или плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины называется производная функции

Редькин А. К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов / А. К. Редькин.

Моделирование свойств композитов | Статья в журнале...

Естественно, математическая модель будет описывать формализованный процесс

Таким образом, регрессионный анализ — статистический метод анализа и обработки

Если функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от факторов, то указанная...

Задать вопрос