О моделировании дискретно-непрерывных процессов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Информатика

Опубликовано в Молодой учёный №4 (15) апрель 2010 г.

Статья просмотрена: 187 раз

Библиографическое описание:

Бойко Р. С. О моделировании дискретно-непрерывных процессов // Молодой ученый. — 2010. — №4. — С. 93-98. — URL https://moluch.ru/archive/15/1378/ (дата обращения: 21.08.2018).

Во многих процессах различных наук (медицина, физика, биология, физиология питания и др.) построение моделей по статистическим данным представляет серьезный интерес. В рамках данной статьи интерес представляет построение моделей дискретно-непрерывных процессов.

Проблема идентификации или моделирования – одна из актуальных в кибернетике не сегодняшний день. Формулировка задачи идентификации весьма разнообразна и зависит от априорной информации [1].

Задача идентификации разделена на две задачи: задача идентификации в «узком» смысле и задача идентификации в «широком» смысле. Идентификация в «широком» смысле отличается тем, что априорной информации меньше и она более расплывчата. Наиболее развита идентификация в «узком» смысле [1].

Процесс идентификации складывается из двух взаимосвязанных этапов: идентификации структуры модели и идентификации параметров в моделях выбранной структуры. При построении структуры модели используется априорная информация об объекте. Для каждого класса объектов формируются банки структур с сопутствующей информацией [1].

Существуют 3 уровня априорной информации о предполагаемом процессе:

-          Байесов уровень, при котором информация об объекте может быть как полной (максимально возможной), когда точно заданы модель объекта, статистические характеристики наблюдений и возможных помех, так и неполной, когда вероятностные характеристики наблюдений, помех и вид модели известны с точностью до набора параметров;

-          уровень параметрической неопределенности, при котором неизвестны законы распределения измерений и помех, а структура модели задана с точностью до набора параметров. Присутствуют выборки статистически независимых наблюдений переменных объекта;

-          уровень непараметрической неопределенности когда неизвестны ни законы распределения помех и измерений, ни структура модели. Известны некоторые качественные характеристики объекта: например, объект статический или динамический, однозначны или нет связи между его переменными и т.п. Имеются выборки статистически независимых наблюдений переменных объекта.

На практике часто мы имеем следующий уровень априорной информации об объекте: неизвестна параметризованная структура модели объекта, но известны некоторые качественные свойства объекта. В таком случае целесообразно использовать методы непараметрической теории идентификации (в широком смысле), которые являются более универсальными, т.к. используют только исходную статистическую выборку входных и выходных значений и некоторые описательные характеристики объектов (статический или динамический объект и т.д.) [5]

Рассмотрим задачу идентификации дискретно-непрерывных процессов к которым можем отнести следующий процесс (рис. 1). Процесс относится к классу дискретно-непрерывных, так как сам процесс непрерывен, но данные фиксируются в дискретные промежутки времени.

 

Рисунок 1. Схема процесса в теории моделирования и идентификации

Где:      - вектор входных управляемых переменных,  - вектор входных неуправляемых переменных,  - вектор выходных переменных,  - случайные возмущения, действующие на объект с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. К этому классу значений можно отнести физические возможности и недостатки экспериментатора, погрешности оборудования и др., , ,  - случайные помехи измерений соответствующих переменных процесса с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией,  - непрерывное время, , ,  - каналы связи, соответствующие различным переменным, включающие в себя средства контроля, приборы для измерения наблюдаемых переменных, , ,  - измерения переменных процесса через интервал времени ,  - контролируется через существенно больший интервал времени , [3]

Рассматривая данный процесс с точки зрения априорной информации Байесова уровня, получаем:

Так как ведется моделирование случайного процесса, то в работе был принят нормальный закон распределения двумерной случайной величины:

Подставляя формулу распределение в первоначальное выражение, получаем:

Таким образом, мы смоделировали описываемый выше процесс. Однако, при отсутствии некоторой априорной информации может быть применен другой способ моделирования.

Уравнение идентификации в «узком» смысле будет иметь вид:

Где: - система линейно-независимых функций, -коэффициент.

Данное уравнение возможно использовать применяя метод наименьших квадратов (МНК).

Особым режимом идентификации параметров моделей является адаптивный режим. При этом непрерывно по мере поступления измерений входов и выходов объекта перестраиваются параметры, используется рекуррентный алгоритм.

Дифференцируя уравнение критерия по  получаем:

 где - некий произвольно выбираемый коэффициент.

Таким образом, с появлением новых данных выборки, имеется возможность дополнять модель, делая ее более точной и адекватной изучаемому процессу.

В общем виде метод наименьших квадратов может быть описан следующим образом. Дана выборка {,} j = 1,…S. Она представляет пары () одновременно измеренных в количественной шкале значений исследуемых величин. Зависимость y от x будем искать в виде разложения в ряд. Где: - система линейно-независимых функций. -коэффициент. Необходимо выяснить, существует ли связь между х и у, и исследовать эту связь.

Введем квадратичный критерий:

Для отыскания наилучших значений параметров или коэффициентов  продифференцируем W() по , при N=3 получаем систему линейных уравнений относительно :

Решаем ее относительно , при наличии выборки в общем виде:

при К=1,2,…N

В качестве приближения неизвестной функции у=f(x), на основании априорной информации предлагается параметрическая структура вида .

Обозначим класс аппроксимирующих функций через , где a - неизвестный вектор коэффициентов, а меру уклонения определим как выпуклую функцию разности (f(x)-, т.е.  =. Поскольку показанные вектора случайны, то и мера уклонения случайна. Поэтому в качестве меры уклонения естественно принять критерий

R(a) = M{F(y-f(х, a))}.

Задача отыскания наилучшего сводится к минимизации по .

В работе представлены 2 вида моделей, относящихся к уровню параметрической неопределенности априорной информации. Это следует из того, что, во-первых, оба моделируемых процесса (накопление токсинов как продуктов деятельности патогенных микроорганизмов при хранении продукта и накопление канцерогенных веществ в жире при длительном нагревании) имеют статистические экспериментальные данные. Во-вторых, анализируя эти данные, представляется возможным предположить структуру их модели. Параметры моделей находятся, используя МНК и аппроксимируя имеющиеся статистические данные. Оба процесса касаются производства продукции питания.

Первый процесс связан с накоплением вредных токсичных веществ в продукте питания в связи с размножением в продукте патогенных микроорганизмов. Соответственно, количество токсичных веществ пропорционально количеству патогенных микроорганизмов в продукте. А количество патогенных микроорганизмов, в свою очередь, пропорционально времени хранения продукта или его ингредиентов в условиях, благоприятных для размножения патогенных микроорганизмов (температура выше +5 градусов). В данной работе процесс размножения патогенных микроорганизмов был смоделирован на практическом примере размножения бактерий E. Coli, S. Aureus и Salmonella на питательной среде (мясной фарш) в условиях комнатной температуры и влажности. Замеры производились через каждые 3 часа после момента обсеменения питательной среды в течении 24 часов. Данные заносились в соответствующую таблицу.

Аппроксимация данных процесса накопления вредных веществ в результате деятельности патогенных организмов. После решения соответствующей системы из двух уравнений методом МНК, получаем значения а и b:

Зависимость y от x имеет вид:

Подставляя в полученную формулу х,  находим оценку :

№п/п

1

2

3

4

5

6

7

8

Х

3

6

9

12

15

18

21

24

11,52

45,72

160,92

454,32

1062

2158,9

3958,9

6714,7

Для наглядности построим экспериментальный график и наложим на него график, полученный в результате аппроксимации экспериментальных данных по МНК (рис. 2):

Аппроксимация процесса накопления вредных веществ в результате увеличения количества канцерогенов при длительном нагреве масла [6]. Примем зависимость y от x в несколько видов, используя кусочную аппроксимацию графика накопления вредных веществ в продукте питания ПБО при жарке:

1.) Примем зависимость y от x в виде . при

Рисунок 2. График накопления вредных веществ в результате деятельности патогенных микроорганизмов

Где:     Х – время (час)

            Y (верхний) – количество бактерий (шт), экспериментальные данные

            Y (нижний) – аппроксимированные значения

2.) Примем зависимость y от x в виде . при

№ п/п

1

2

3

4

Х

4

6

8

10

У

4

4,5

7

12,5

После решения соответствующей системы уравнений методом МНК, получаем значения: а = 0,128, b = - 0,352.

Зависимость y от x имеет вид:

Подставим в найденное уравнение х и найдем :

№ п/п

1

2

3

4

Х

4

6

8

10

1,7

4,26

7,8

12,45

3.)Логически анализируя третий сегмент экспериментального графика примем зависимость y от x в виде:

Подставим в найденное уравнение х и найдем :

№ п/п

1

2

3

4

Х

10

12

14

16

12,5

14,2

15,4

16,5

Для наглядности построим экспериментальный график и наложим на него график, полученный в результате аппроксимации экспериментальных данных по МНК (рис. 3):

Рисунок 3. График накопления вредных веществ как следствие накопления канцерогенов в технологической среде (масле) при длительном нагреве

Где:     X – время нагрева (часы)

            Y – экспериментальное количество канцерогенов

            Y1 – аппроксимация первой части экспериментального графика

            Y2 – аппроксимация второй части экспериментального графика

            Y3 – аппроксимация третьей части экспериментального графика

Данные модели призваны показать наглядность накопления вредных для человеческого организма веществ, в процессе приготовления пищи, в частности продукции предприятий быстрого обслуживания. Ставится цель повлиять на уточнение имеющихся в РФ норм СЭС по контролю за качеством продукции питания, с помощью разработки соответствующих рекомендаций. То есть, ввести дополнительные контролирующие этапы в процесс приготовления, обязать ответственных лиц протоколировать все необходимые для проверки опасные и ключевые моменты технологии приготовления и контроля качества поступающей на предприятие ПБО продукции и ее использования. Это позволит строже контролировать качество выпускаемой продукции, а в случае возникновения претензий со стороны потребителя, отследить ответственного за допущенную ошибку.

 

Литература

1.                      Медведев, А.В. Анализ данных в задаче идентификации // Компьютерный анализ данных и моделирование: Сборник научных статей Международной конференции. Том 2. Минск, 1995. С. 201-206.

2.                      Медведев, А.В. Элементы теории непараметрических систем управления // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Часть 3. Информатика. Новосибирск-Красноярк: Изд-во СО РАН, 1996, 87-112.

3.                      Гутшмидт, В.А. Непараметрическое моделирование стохастических систем // В.А. Гутшмидт, Я.И. Демченко, М.В. Кураченко, Е.С. Терентьева, А.В. Фаустов. Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения. Сборник научных статей Международной научной конференции. Минск, 2008. С. 66-73.

4.                      Катковник В.Я Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В.Я. Катковник М.: Наука, 1985. 427с.

5.                      Demchenko Ya. I., Medvedev A.V. Some non-parametric estimation in identification problems for stochastic systems/Ya. I. Demchenko, A.V. Medvedev// Probability theory, random processes, mathematical statistics and applications. Proceedings of the International Scientific Conference. Minsk, 2010. P.

6.                       Изучение окисления растительных масел при высокотемпературном нагреве во фритюре и разработка способов повышения их стабильности. Автореферат на соискание уч. степени канд. тех. Наук Журавлевой Людмилы Николаевны. Специальность 05.18.06 – Технология жиров, эфирных масел и парфюмерно-косметических продуктов. Санкт-Петербург – 2009.

 

 

 

 

 

 

Основные термины (генерируются автоматически): априорная информация, экспериментальный график, задача идентификации, процесс, Данные, вещество, независимое наблюдение переменных, параметрическая неопределенность, питательная среда, нулевое математическое ожидание.


Похожие статьи

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Параметрический уровень априорной информации предполагает наличие параметрической структуры модели и некоторых характеристик случайных помех, обычными из них являются нулевое математическое ожидание и ограниченная дисперсия.

Идентификация многосвязных объектов в условиях частичной...

Идентификацией называется процесс решения задачи построения математических

Постановка задачи идентификации зависит от уровня имеющейся априорной информации.

Рисунок 1. Общая схема наблюдения входных и выходных переменных объекта.

О непараметрическом алгоритме управления макрообъектом

Параметрический уровень априорной информации предполагает наличие параметрической структуры модели и некоторых характеристик случайных помех, обычными из них являются нулевое математическое ожидание и ограниченная дисперсия.

О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений...

матрица наблюдений, объем выборки, выход модели, задача идентификации, переменная, исследуемый процесс, заполненная матрица, априорная информация, смысл, сплошная линия, исходная матрица, выход, вид, этап.

Управление техническими объектами в условиях... | Молодой ученый

В статье приведён обзор методов решения задачи управления техническими объектами в условиях параметрической неопределённости описания процессов.

В зависимости от объема априорной информации можно выделить две группы методов, с помощью которых...

Об одной задаче идентификации стохастических систем

Параметрический уровень априорной информации предполагает наличие параметрической структуры модели и некоторых характеристик случайных помех (обычно нулевое математическое ожидание и ограниченная дисперсия).

Управление линейной динамической системой в условиях...

Имеется возможность наблюдать значения входных и выходных переменных.

Идентификация непараметрической модели. Описание процессов, происходящих в линейных

Управление мобильными роботами в условиях неопределенности внешней среды.

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Ставится задача получения явного вида передаточной функции объекта управления, которая сводится в свою очередь к задаче построения математической модели замкнутого контура в случае малой априорной информации.

К задаче наблюдения процесса нагрева тел.

Аппроксимация градуировочных характеристик средств...

После определения математической модели системы проводится ее параметрическая идентификация (определение числовых параметров математической модели, при которых решение задачи соответствовало бы экспериментальным данным...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Параметрический уровень априорной информации предполагает наличие параметрической структуры модели и некоторых характеристик случайных помех, обычными из них являются нулевое математическое ожидание и ограниченная дисперсия.

Идентификация многосвязных объектов в условиях частичной...

Идентификацией называется процесс решения задачи построения математических

Постановка задачи идентификации зависит от уровня имеющейся априорной информации.

Рисунок 1. Общая схема наблюдения входных и выходных переменных объекта.

О непараметрическом алгоритме управления макрообъектом

Параметрический уровень априорной информации предполагает наличие параметрической структуры модели и некоторых характеристик случайных помех, обычными из них являются нулевое математическое ожидание и ограниченная дисперсия.

О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений...

матрица наблюдений, объем выборки, выход модели, задача идентификации, переменная, исследуемый процесс, заполненная матрица, априорная информация, смысл, сплошная линия, исходная матрица, выход, вид, этап.

Управление техническими объектами в условиях... | Молодой ученый

В статье приведён обзор методов решения задачи управления техническими объектами в условиях параметрической неопределённости описания процессов.

В зависимости от объема априорной информации можно выделить две группы методов, с помощью которых...

Об одной задаче идентификации стохастических систем

Параметрический уровень априорной информации предполагает наличие параметрической структуры модели и некоторых характеристик случайных помех (обычно нулевое математическое ожидание и ограниченная дисперсия).

Управление линейной динамической системой в условиях...

Имеется возможность наблюдать значения входных и выходных переменных.

Идентификация непараметрической модели. Описание процессов, происходящих в линейных

Управление мобильными роботами в условиях неопределенности внешней среды.

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Ставится задача получения явного вида передаточной функции объекта управления, которая сводится в свою очередь к задаче построения математической модели замкнутого контура в случае малой априорной информации.

К задаче наблюдения процесса нагрева тел.

Аппроксимация градуировочных характеристик средств...

После определения математической модели системы проводится ее параметрическая идентификация (определение числовых параметров математической модели, при которых решение задачи соответствовало бы экспериментальным данным...

Задать вопрос