Математическая модель САР скорости линейного асинхронного двигателя (Z1=18) при векторном управлении



Математическая модель САР скорости линейного асинхронного двигателя
(Z₁ = 18) при векторном управлении

Емельянов Александр Александрович, доцент;

Бесклеткин Виктор Викторович, ассистент;

Прокопьев Константин Васильевич, студент;

Бурхацкий Владимир Владимирович, студент;

Мальцев Никита Васильевич, студент

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Главной целью данной работы является использование идеи векторного управления для линейного асинхронного двигателя в доступной для понимания студентами форме. Поэтому, вначале рассмотрим главный канал САР скорости без обратных связей (рис. 1).

Целесообразно выделить 9 уровней, так как в некоторых из них имеются повторяющиеся элементы с одинаковой структурой программ.

Программирование каждого уровня с одним или множеством элементов производим в Script таким образом, чтобы каждые последующие продукты программ включали предыдущие. В этом случае мы увидим процесс влияния элементов предыдущих уровней на результаты последующих. Только имея представление о роли каждого элемента в главном канале можно переходить к завершающей стадии – введению обратных связей. В основу данной работы положены математические модели линейного асинхронного двигателя, рассмотренные в работах [1] и [2].

Из многочисленных публикаций по векторному управлению, на наш взгляд, необходимо отметить работы [3], [4], [5]. Кроме того, необходимо рассмотреть все наши статьи за последний год, относящиеся к данной теме.

Элементы системы управления (ЗИ, фильтры, регуляторы) «привязаны» к вращающейся системе координат, а математическая модель линейного асинхронного двигателя к неподвижной трехфазной системе индуктора, поэтому здесь необходимо обеспечить двухэтапное преобразование напряжений:

– u_x, u_y → u_α, u_β – из вращающейся системы, связанной с циклической частотой питающего напряжения к неподвижной декартовой системе α, β;

– u_α, u_β → U_a, U_b, U_c – из неподвижной системы α, β переход к трехфазной системе a, b, c.

Рис. 1. Главный канал САР скорости линейного асинхронного двигателя

Далее токи i_a,b,c линейного асинхронного двигателя проходят также двухэтапное преобразование: i_a,b,c → i_α,β и далее i_α,β → i_xoc,yoc. Сигналы i_xoc, i_yoc далее в замкнутой системе уже можно подать на сравнивающие устройства с сигналами задания.

Циклическая частота вращения системы координат равна циклической частоте подаваемого напряжения на двигатель, т.е. ω_к = ω_s. Связь циклической частоты ω_к = ω_s с линейной скоростью поля .

Поэтому наиболее перспективным представляется рассмотрение следующей схемы: все процессы в отношении к циклической частоте ω_к = ω_s, в том числе задатчик интенсивности, задавать не в системе v_s = f(t), а в системе ω_к = ω_s = f(t), но тогда линейную скорость подвижной части необходимо преобразовать в ω = f(v₀). На выходе математической модели ЛАД необходимо установить преобразователь линейной скорости в циклическую ω = ω_s∙(1-s), где .

Тогда все регуляторы рассчитываются по классическим формулам для векторных систем с АД [3], [4], [5]. Причем за базовую принимаются паспортные данные асинхронного двигателя с близкими по характеристикам к ЛАД (r_s, r_r, L_s, L_r) и по ним определяются постоянные времени Т_э и Т_r, лежащие в основе определения коэффициентов в регуляторах скорости и тока, и далее производится их корректировка с учетом тормозных моментов от продольного краевого эффекта. В соответствии с исследованиями, например [6], можно предположить, что в многополюсных ЛАД такой корректировки не понадобится. По-видимому, в дальнейшем встанет задача компенсации краевого эффекта на уровне систем управления. Причем компенсация возможна как на уровне вращающейся системы координат (x, y), так и в неподвижной системе a, b, c.

Условимся, что если преобразование из неподвижной системы статора (индуктора) с переменными a, b, c идет в направлении системы координат с переменными α, β и далее во вращающуюся систему с переменными x, y, то будем называть это прямым преобразованием, т.е.

a, b, c → α, β → x, y – прямое преобразование,

тогда

x, y → α, β → a, b, c – обратное преобразование.

По данной схеме преобразования все сигналы с задатчика интенсивности (ЗИ), фильтров (ФЗТ, ФОТ), регуляторов (П, И) идут во вращающейся системе координат, а математическая модель линейного асинхронного двигателя (ЛАД) сделана в неподвижной системе координат (a, b, c), поэтому необходимо произвести двухэтапное преобразование сигналов.

Уровень 1. На этом уровне расположен задатчик интенсивности ЗИ. Он задает линейную синхронную скорость поля:

,

где τ – полюсное деление линейного асинхронного двигателя (рассмотрим двухполюсную машину);

f_c – частота питающего напряжения нарастающего по линейному закону до времени t_k, затем остающегося постоянным до конца времени переходного процесса.

% Программирование задатчика интенсивности Matlab-Script

dt=0.001; tz=9.769*10^-3;

q=3; tau=3*tz*q;

tk=2;

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

vs=2*tau*fc;

mass_t(k)=k*dt;

mass_vs(k)=vs;

end;

% Построение графиков

figure(1);

plot(mass_t,mass_vs);

grid on;

Результат первого уровня приведен на рис. 2.

Рис. 2. Сигнал задатчика интенсивности

Уровень 2. Сигнал задания v_s поступает на регулятор скорости, на выходе которого получаем сигнал задания по проекции yi_{sy задания}. Регулятор скорости принимаем пропорциональным.

Уровень 3. Фильтры в цепи заданий и обратных связей по проекциям имеют одинаковую структуру, поэтому дадим общий вывод.

Пусть задана передаточная функция фильтра с постоянной T_μ в Simulink (рис. 3):

Рис. 3. Передаточная функция фильтра

Переведем это выражение в Script:

.

Перейдем от изображения к оригиналу:

;

.

Решаем дифференциальные уравнения методом конечных разностей Эйлера:

.

Конкретно к проекциям x и y:

;

.

Уровень 4. Пропорциональные и интегральные части регуляторов тока по проекциям одинаковы.

Пропорциональная часть K_Ix = K_Iy.

Интегральная часть:

– Проведем переход из Simulink в Script (рис. 4):

Рис. 4. Передаточная функция интегральной части регулятора тока

– Переходим к оригиналу:

– Выражаем через конечные разности:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Математическое моделирование u_x и u_y производится в Script. Результаты расчета даны на рис. 5.

% Программирование ux, uy в Matlab-Script

dt=0.001; tz=9.769*10^-3; q=3;

tau=3*tz*q; tk=2; kc=20;

Tm=0.005; ixzad(1)=0; iyzad(1)=0;

ixb=6; Ki=8; Ti=24;

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

vs=2*tau*fc;

vsum=vs;

iyb=vsum*kc;

ixzad(k+1)=ixzad(k)+(ixb-ixzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ x

iyzad(k+1)=iyzad(k)+(iyb-iyzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ y

ixsum(k+1)=ixzad(k+1);

iysum(k+1)=iyzad(k+1);

u1(k+1)=ixsum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть x

u2(k+1)=u2(k)+ixsum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть x

ux=u1(k+1)+u2(k+1);

u3(k+1)=iysum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть y

u4(k+1)=u4(k)+iysum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть y

uy=u3(k+1)+u4(k+1);

mass_t(k)=k*dt;

mass_ux(k)=ux;

mass_uy(k)=uy;

end;

% Построение графиков

figure(2);

plot(mass_t,mass_ux,'b',mass_t,mass_uy,'r');

grid on;

Рис. 5. Напряжения u_x, u_y на выходе регуляторов тока

Уровень 5. На этом уровне необходимо произвести математическое моделирование по обратному преобразованию из вращающейся системы x, y в неподвижную α, β. В соответствии с [3]:

где определяется по следующим зависимостям:

- угловая скорость вращения системы координат;

- угол поворота.

В конечных разностях Эйлера:

или .

% Программирование ualfa, ubeta в Matlab-Script

dt=0.001; tz=9.769*10^-3; q=3; tau=3*tz*q;

tk=2; kc=20; Tm=0.005; ixzad(1)=0;

iyzad(1)=0; Ki=8; Ti=24; u2(1)=0;

u4(1)=0; ixb=6; teta(1)=0;

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

vs=2*tau*fc;

vsum=vs;

iyb=vsum*kc;

wk=vs*pi/tau;

teta(k+1)=teta(k)+wk*dt;

ixzad(k+1)=ixzad(k)+(ixb-ixzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ x

iyzad(k+1)=iyzad(k)+(iyb-iyzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ y

ixsum(k+1)=ixzad(k+1);

iysum(k+1)=iyzad(k+1);

u1(k+1)=ixsum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть x

u2(k+1)=u2(k)+ixsum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть x

ux=u1(k+1)+u2(k+1);

u3(k+1)=iysum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть y

u4(k+1)=u4(k)+iysum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть y

uy=u3(k+1)+u4(k+1);

rox=cos(teta(k+1));

roy=sin(teta(k+1));

% 1 ступень обратного преобразования x,y -> alfa,beta

usalfa=rox*ux-roy*uy;

usbeta=roy*ux+rox*uy;

mass_t(k)=k*dt;

mass_usalfa(k)=usalfa;

mass_usbeta(k)=usbeta;

end;

% Построение графиков

figure(3);

plot(mass_t,mass_usalfa,'b',mass_t,mass_usbeta,'r');

grid on;

Результаты пятого уровня представлены на рис. 6.

Рис. 6. Напряжения u_α, u_β на выходе преобразователя координат (x, y → α, β)

Уровень 6. На этом уровне необходимо преобразовать сигналы u_α, u_β в трехфазную систему U_a, U_b и U_c, непосредственно подаваемых в математическую модель ЛАД.

Уравнения преобразования, в соответствии с [3], имеют следующий вид:

% Программирование Ua, Ub, Uc в Matlab-Script

dt=0.001; tz=9.769*10^-3; q=3; tau=3*tz*q;

tk=2; kc=20; Tm=0.005; ixzad(1)=0;

iyzad(1)=0; Ki=8; Ti=24; u2(1)=0;

u4(1)=0; ixb=6; teta(1)=0;

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

vs=2*tau*fc;

vsum=vs;

iyb=vsum*kc;

wk=vs*pi/tau;

teta(k+1)=teta(k)+wk*dt;

ixzad(k+1)=ixzad(k)+(ixb-ixzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ x

iyzad(k+1)=iyzad(k)+(iyb-iyzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ y

ixsum(k+1)=ixzad(k+1);

iysum(k+1)=iyzad(k+1);

u1(k+1)=ixsum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть x

u2(k+1)=u2(k)+ixsum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть x

ux=u1(k+1)+u2(k+1);

u3(k+1)=iysum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть y

u4(k+1)=u4(k)+iysum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть y

uy=u3(k+1)+u4(k+1);

rox=cos(teta(k+1));

roy=sin(teta(k+1));

% 1 ступень обратного преобразования x,y -> alfa,beta

usalfa=rox*ux-roy*uy;

usbeta=roy*ux+rox*uy;

% 2 ступень обратного преобразования alfa,beta -> a,b,c

Ua=usalfa;

Ub=-(1/2)*usalfa+(sqrt(3)/2)*usbeta;

Uc=-(1/2)*usalfa-(sqrt(3)/2)*usbeta;

mass_t(k)=k*dt;

mass_Ua(k)=Ua;

mass_Ub(k)=Ub;

mass_Uc(k)=Uc;

end;

% Построение графиков

figure(4);

plot(mass_t,mass_Ua,'b',mass_t,mass_Ub,'r',mass_t,mass_Uc,'g');

grid on;

Результаты шестого уровня представлены на рис. 7.

Рис. 7. Напряжения U_a, U_b, U_c

Уровень 7. Исследование реакции линейного асинхронного двигателя (i_a, i_b, i_c) при воздействии напряжений U_a, U_b, U_c.

%Программирование ia, ib, ic на выходе ЛАД в разомкнутой системе

Rb=0.1003*10^7; rs=19; LsA=0.111; LsB=0.114; LsC=0.105; rr=4.6345*10^-5; Lr=0.0372*10^-5; dt=0.001;

As=rs+LsA/dt; Bs=rs+LsB/dt; Cs=rs+LsC/dt; tz=9.769*10^-3; q=3; tau=3*tz*q; m=36.48; v0=0;

wn=200; UA=wn/dt; F=0; tk=2; kc=20; Tm=0.005; Ki=8; Ti=24;

ixb=6; ixzad(1)=0; iyzad(1)=0; u2(1)=0; u4(1)=0; teta(1)=0; Fc=2;

X=zeros(30,1);

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

v(1,k)=v0; % Создание вектор-строки для графика скорости

f(1,k)=sum(F); % Создание вектор-строки для графика усилия

i0(1,k)=X(30);

i_a(1,k)=X(27);

i_b(1,k)=X(29);

i_c(1,k)=X(28);

vs=2*tau*fc;

vsum=vs;

iyb=vsum*kc;

wk=vs*pi/tau;

teta(k+1)=teta(k)+wk*dt;

ixzad(k+1)=ixzad(k)+(ixb-ixzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ x

iyzad(k+1)=iyzad(k)+(iyb-iyzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ y

ixsum(k+1)=ixzad(k+1);

iysum(k+1)=iyzad(k+1);

u1(k+1)=ixsum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть x

u2(k+1)=u2(k)+ixsum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть x

ux=u1(k+1)+u2(k+1);

u3(k+1)=iysum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть y

u4(k+1)=u4(k)+iysum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть y

uy=u3(k+1)+u4(k+1);

rox=cos(teta(k+1));

roy=sin(teta(k+1));

%1 ступень обратного преобразования x,y -> alfa,beta

usalfa=rox*ux-roy*uy;

usbeta=roy*ux+rox*uy;

%2 ступень обратного преобразования alfa,beta -> a,b,c

Ua=usalfa;

Ub=-(1/2)*usalfa+(sqrt(3)/2)*usbeta;

Uc=-(1/2)*usalfa-(sqrt(3)/2)*usbeta;

ТелопрограммыЛАД [2];

% Электромагнитное усилие

F(1)=X(2)*Ir(1)/(2*tz);

for n=1:24

F(n+1)=(X(n+2)-X(n))*Ir(n+1)/(2*tz);

end;

F(26)=-X(25)*Ir(26)/(2*tz);

% Скорость

v0=v0+((sum(F)-Fc)/m)*dt;

mass_t(k)=k*dt;

mass_i_a(k)=i_a(1,k);

mass_i_b(k)=i_b(1,k);

mass_i_c(k)=i_c(1,k);

end;

% Построение графиков

figure(5);

plot(mass_t,mass_i_a,'b',mass_t,mass_i_b,'r',mass_t,mass_i_c,'g');

grid on;

Результат седьмого уровня представлен на рис. 8.

Рис. 8. Токи i_a, i_b, i_c на выходе ЛАД в разомкнутой системе

Уровень 8. Для того чтобы управлять этими токами i_a, i_b, i_c, необходимо над ними произвести двухэтапное прямое преобразование во вращающуюся систему координат.

На восьмом уровне выходные токи i_a, i_b и i_c ЛАД поступают на первый преобразователь координат, реализующий следующие математические зависимости [3]:

% Программирование ialfa, ibeta в Matlab-Script

Rb=0.1003*10^7; rs=19; LsA=0.111; LsB=0.114; LsC=0.105; rr=4.6345*10^-5; Lr=0.0372*10^-5; dt=0.001;

As=rs+LsA/dt; Bs=rs+LsB/dt; Cs=rs+LsC/dt; tz=9.769*10^-3; q=3; tau=3*tz*q; m=36.48; v0=0;

wn=200; UA=wn/dt; F=0; tk=2; kc=20; Tm=0.005; Ki=8; Ti=24;

ixb=6; ixzad(1)=0; iyzad(1)=0; u2(1)=0; u4(1)=0; teta(1)=0; Fc=2;

X=zeros(30,1);

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

v(1,k)=v0; % Создание вектор-строки для графика скорости

f(1,k)=sum(F); % Создание вектор-строки для графика усилия

i0(1,k)=X(30);

i_a(1,k)=X(27);

i_b(1,k)=X(29);

i_c(1,k)=X(28);

vs=2*tau*fc;

vsum=vs;

iyb=vsum*kc;

wk=vs*pi/tau;

teta(k+1)=teta(k)+wk*dt;

ixzad(k+1)=ixzad(k)+(ixb-ixzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ x

iyzad(k+1)=iyzad(k)+(iyb-iyzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ y

ixsum(k+1)=ixzad(k+1);

iysum(k+1)=iyzad(k+1);

u1(k+1)=ixsum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть x

u2(k+1)=u2(k)+ixsum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть x

ux=u1(k+1)+u2(k+1);

u3(k+1)=iysum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть y

u4(k+1)=u4(k)+iysum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть y

uy=u3(k+1)+u4(k+1);

rox=cos(teta(k+1));

roy=sin(teta(k+1));

%1 ступень прямого преобразования a,b,c -> alfa,beta

i_alfa=(1/3)*(2*i_a(1,k)-i_b(1,k)-i_c(1,k));

i_beta=(1/sqrt(3))*(i_b(1,k)-i_c(1,k));

%1 ступень обратного преобразования x,y -> alfa,beta

usalfa=rox*ux-roy*uy;

usbeta=roy*ux+rox*uy;

%2 ступень обратного преобразования alfa,beta -> a,b,c

Ua=usalfa;

Ub=-(1/2)*usalfa+(sqrt(3)/2)*usbeta;

Uc=-(1/2)*usalfa-(sqrt(3)/2)*usbeta;

ТелопрограммыЛАД [2];

% Электромагнитное усилие

F(1)=X(2)*Ir(1)/(2*tz);

for n=1:24

F(n+1)=(X(n+2)-X(n))*Ir(n+1)/(2*tz);

end;

F(26)=-X(25)*Ir(26)/(2*tz);

% Скорость

v0=v0+((sum(F)-Fc)/m)*dt;

mass_t(k)=k*dt;

mass_i_alfa(k)=i_alfa;

mass_i_beta(k)=i_beta;

end;

% Построение графиков

figure(6);

plot(mass_t,mass_i_alfa,'b',mass_t,mass_i_beta,'r');

grid on;

Результат восьмого уровня представлен на рис. 9.

Рис. 9. Токи i_α, i_β в разомкнутой системе

Уровень 9. На этом уровне сигналы i_α, i_β с помощью нового прямого преобразователя координат переводятся во вращающуюся систему координат ω_k = ω_s или в синхронно бегущую систему координат .

Математическая модель прямого преобразователя имеет следующую форму [3]:

где и совпадают с ранее рассмотренным при обратном преобразовании координат.

% Программирование ixoc, iyoc в Matlab-Script

Rb=0.1003*10^7; rs=19; LsA=0.111; LsB=0.114; LsC=0.105; rr=4.6345*10^-5; Lr=0.0372*10^-5; dt=0.001;

As=rs+LsA/dt; Bs=rs+LsB/dt; Cs=rs+LsC/dt; tz=9.769*10^-3; q=3; tau=3*tz*q; m=36.48; v0=0;

wn=200; UA=wn/dt; F=0; tk=2; kc=20; Tm=0.005; Ki=8; Ti=24;

ixb=6; ixzad(1)=0; iyzad(1)=0; u2(1)=0; u4(1)=0; teta(1)=0; Fc=2;

X=zeros(30,1);

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

v(1,k)=v0; % Создание вектор-строки для графика скорости

f(1,k)=sum(F); % Создание вектор-строки для графика усилия

i0(1,k)=X(30);

i_a(1,k)=X(27);

i_b(1,k)=X(29);

i_c(1,k)=X(28);

vs=2*tau*fc;

vsum=vs;

iyb=vsum*kc;

wk=vs*pi/tau;

teta(k+1)=teta(k)+wk*dt;

ixzad(k+1)=ixzad(k)+(ixb-ixzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ x

iyzad(k+1)=iyzad(k)+(iyb-iyzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ y

ixsum(k+1)=ixzad(k+1);

iysum(k+1)=iyzad(k+1);

u1(k+1)=ixsum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть x

u2(k+1)=u2(k)+ixsum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть x

ux=u1(k+1)+u2(k+1);

u3(k+1)=iysum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть y

u4(k+1)=u4(k)+iysum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть y

uy=u3(k+1)+u4(k+1);

rox=cos(teta(k+1));

roy=sin(teta(k+1));

% 1 ступень прямого преобразования a,b,c -> alfa,beta

i_alfa=(1/3)*(2*i_a(1,k)-i_b(1,k)-i_c(1,k));

i_beta=(1/sqrt(3))*(i_b(1,k)-i_c(1,k));

% 2 ступень прямого преобразования alfa,beta -> x,y

ixoc(k)=rox*i_alfa+roy*i_beta;

iyoc(k)=-roy*i_alfa+rox*i_beta;

% 1 ступень обратного преобразования x,y -> alfa,beta

usalfa=rox*ux-roy*uy;

usbeta=roy*ux+rox*uy;

% 2 ступень обратного преобразования alfa,beta -> a,b,c

Ua=usalfa;

Ub=-(1/2)*usalfa+(sqrt(3)/2)*usbeta;

Uc=-(1/2)*usalfa-(sqrt(3)/2)*usbeta;

ТелопрограммыЛАД[2];

% Электромагнитное усилие

F(1)=X(2)*Ir(1)/(2*tz);

for n=1:24

F(n+1)=(X(n+2)-X(n))*Ir(n+1)/(2*tz);

end;

F(26)=-X(25)*Ir(26)/(2*tz);

% Скорость

v0=v0+((sum(F)-Fc)/m)*dt;

mass_t(k)=k*dt;

mass_ixoc(k)=ixoc(k);

mass_iyoc(k)=iyoc(k);

end;

% Построение графиков

figure(7);

plot(mass_t,mass_ixoc,'b',mass_t,mass_iyoc,'r');

grid on;

Результат девятого уровня представлен на рис. 10.

Рис. 10. Токи i_{x oc}, i_{y oc} в разомкнутой системе

Наконец, приступим к главной части – замыканию всех обратных связей.

Математическое моделирование САР скорости линейного асинхронного двигателя.

Замкнутая САР скорости линейного асинхронного двигателя показана на рис. 11.

% Математическая модель САР скорости ЛАД с укладкой статорной обмотки классическим способом (z=18) с нулевым проводом

% Исходные данные асинхронного двигателя

Rb=0.1003*10^7; rs=19; LsA=0.111; LsB=0.114; LsC=0.105; rr=4.6345*10^-5; Lr=0.0372*10^-5; dt=0.001; v0=0;

As=rs+LsA/dt; Bs=rs+LsB/dt; Cs=rs+LsC/dt; tz=9.769*10^-3; q=3; tau=3*tz*q; m=36.48; wn=200; UA=wn/dt;

F=0; tk=2; kc=20; Tm=0.005; ixzad(1)=0; iyzad(1)=0; ix(1)=0; iy(1)=0; Ki=8;

Ti=24; u2(1)=0; u4(1)=0; ixb=6; teta(1)=0; Fc=2;

X=zeros(30,1);

K=input('Длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

if ((k*dt >= 0) && (k*dt <= tk))

fc=k*dt*30/tk;

end;

if (k*dt > tk)

fc=30;

end;

v(1,k)=v0; % Создание вектор-строки для графика скорости

f(1,k)=sum(F); % Создание вектор-строки для графика усилия

Рис. 11. Замкнутая САР скорости линейного асинхронного двигателя

i0(1,k)=X(30);

i_a(1,k)=X(27);

i_b(1,k)=X(29);

i_c(1,k)=X(28);

vs=2*tau*fc;

vsum=vs-v0;

iyb=vsum*kc;

wk=vs*pi/tau;

teta(k+1)=teta(k)+wk*dt;

rox=cos(teta(k+1));

roy=sin(teta(k+1));

% 1 ступень прямого преобразования a,b,c -> alfa,beta

i_alfa=(1/3)*(2*i_a(1,k)-i_b(1,k)-i_c(1,k));

i_beta=(1/sqrt(3))*(i_b(1,k)-i_c(1,k));

% 2 ступень прямого преобразования alfa,beta -> x,y

ixoc(k)=rox*i_alfa+roy*i_beta;

iyoc(k)=-roy*i_alfa+rox*i_beta;

ixoc1(k+1)=ixoc(k)+(ix-ixoc(k))*dt/Tm; %Фильтр ФОТ x

ixzad(k+1)=ixzad(k)+(ixb-ixzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ x

iyoc1(k+1)=iyoc(k)+(iy-iyoc(k))*dt/Tm; %Фильтр ФОТ y

iyzad(k+1)=iyzad(k)+(iyb-iyzad(k))*dt/Tm; %Фильтр ФЗТ y

ixsum(k+1)=ixzad(k+1)-ixoc1(k+1);

iysum(k+1)=iyzad(k+1)-iyoc1(k+1);

u1(k+1)=ixsum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть x

u2(k+1)=u2(k)+ixsum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть x

ux=u1(k+1)+u2(k+1);

u3(k+1)=iysum(k+1)*Ki; %Пропорциональная часть y

u4(k+1)=u4(k)+iysum(k+1)*dt/Ti; %Интегральная часть y

uy=u3(k+1)+u4(k+1);

% 1 ступень обратного преобразования x,y -> alfa,beta

usalfa=rox*ux-roy*uy;

usbeta=roy*ux+rox*uy;

% 2 ступень обратного преобразования alfa,beta -> a,b,c

Ua=usalfa;

Ub=-(1/2)*usalfa+(sqrt(3)/2)*usbeta;

Uc=-(1/2)*usalfa-(sqrt(3)/2)*usbeta;

% Формирование матрицы А

A=zeros(30);

B=2*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;

B1=6*Rb*(rr+Lr/dt)+(-4*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

B2=55*Rb*(rr+Lr/dt)+(-45*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

B3=550*Rb*(rr+Lr/dt)+(-450*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

B4=1000*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;

B5=550*Rb*(rr+Lr/dt)+450*Rb*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

B6=55*Rb*(rr+Lr/dt)+(45*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

B7=6*Rb*(rr+Lr/dt)+(4*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

C=-Rb*(rr+Lr/dt)+(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

C1=-Rb*(rr+Lr/dt)+(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

C2=-5*Rb*(rr+Lr/dt)+(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

C3=-50*Rb*(rr+Lr/dt)+(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

C4=-500*Rb*(rr+Lr/dt)+(1000*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

C5=-500*Rb*(rr+Lr/dt)+(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

C6=-50*Rb*(rr+Lr/dt)+(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

C7=-5*Rb*(rr+Lr/dt)+(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

D=-Rb*Lr*v0/(2*tz);

D1=5*D;D2=50*D;D3=500*D;

E=-Rb*(rr+Lr/dt)-(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

E1=-5*Rb*(rr+Lr/dt)-(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

E2=-50*Rb*(rr+Lr/dt)-(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

E3=-500*Rb*(rr+Lr/dt)-(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

E4=-500*Rb*(rr+Lr/dt)-(1000*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

E5=-50*Rb*(rr+Lr/dt)-(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

E6=-5*Rb*(rr+Lr/dt)-(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

E7=-Rb*(rr+Lr/dt)-(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

T=-wn*Lr*v0/(2*tz);

Y=-wn*(rr+Lr/dt);

M=Y+T;

N=Y-T;

W1=-wn*Lr/dt;

P=-Rb*Lr/dt;

Q=(2*Rb*Lr+1)/dt;

Q1=(6*Rb*Lr+1)/dt;

Q2=(55*Rb*Lr+1)/dt;

Q3=(550*Rb*Lr+1)/dt;

Q4=(1000*Rb*Lr+1)/dt;

for n=1:3

A(3*n+1,n+26)=(-1)^(n+1)*T;

A(3*n+2,n+26)=(-1)^(n+1)*M;

A(3*n+3,n+26)=(-1)^(n+1)*Y;

A(3*n+4,n+26)=(-1)^(n+1)*N;

A(3*n+5,n+26)=(-1)^n*T;

A(3*n+10,n+26)=(-1)^n*T;

A(3*n+11,n+26)=(-1)^n*M;

A(3*n+12,n+26)=(-1)^n*Y;

A(3*n+13,n+26)=(-1)^n*N;

A(3*n+14,n+26)=(-1)^(n+1)*T;

end;

for n=1:3

A(30,n+26)=1;

end;

A(30,30)=-1;

for n=1:18

A(n+4,n+4)=B;

A(n+5,n+4)=E;

A(n+3,n+4)=C;

end;

for n=1:19

A(n+2,n+4)=D;

A(n+5,n+3)=-D;

end;

A(1,1)=B4; A(1,2)=C5; A(1,3)=D2; A(2,1)=E4; A(2,2)=B5; A(2,3)=C6; A(2,4)=D1; A(3,1)=-D3;

A(3,2)=E5; A(3,3)=B6; A(3,4)=C7; A(4,2)=-D2; A(4,3)=E6; A(4,4)=B7; A(5,3)=-D1; A(5,4)=E7;

A(22,23)=C1; A(22,24)=D1; A(23,23)=B1; A(23,24)=C2; A(23,25)=D2; A(24,23)=E1; A(24,24)=B2; A(24,25)=C3;

A(24,26)=D3; A(25,23)=-D1; A(25,24)=E2; A(25,25)=B3; A(25,26)=C4; A(26,24)=-D2; A(26,25)=E3; A(26,26)=B4;

for n=1:3

A(27,n+4)=UA;

A(27,n+13)=-UA;

A(28,n+10)=UA;

A(28,n+19)=-UA;

A(29,n+7)=-UA;

A(29,n+16)=UA;

end;

A(27,27)=As;

A(28,29)=Bs;

A(29,28)=Cs;

% Матрица свободных членов

S=[ Q4*X(1)+P*( 500*X(2)); %1

Q3*X(2)+P*(500*X(1)+50*X(3)); %2

Q2*X(3)+P*(50*X(2)+5*X(4)); %3

Q1*X(4)+P*(5*X(3)+X(5)); %4

W1*X(27)+Q*X(5)+P*(X(4)+X(6)); %5

W1*X(27)+Q*X(6)+P*(X(5)+X(7)); %6

W1*X(27)+Q*X(7)+P*(X(6)+X(8)); %7

(-1)*W1*X(28)+Q*X(8)+P*(X(7)+X(9)); %8

(-1)*W1*X(28)+Q*X(9)+P*(X(8)+X(10)); %9

(-1)*W1*X(28)+Q*X(10)+P*(X(9)+X(11)); %10

W1*X(29)+Q*X(11)+P*(X(10)+X(12)); %11

W1*X(29)+Q*X(12)+P*(X(11)+X(13)); %12

W1*X(29)+Q*X(13)+P*(X(12)+X(14)); %13

(-1)*W1*X(27)+Q*X(14)+P*(X(13)+X(15)); %14

(-1)*W1*X(27)+Q*X(15)+P*(X(14)+X(16)); %15

(-1)*W1*X(27)+Q*X(16)+P*(X(15)+X(17)); %16

W1*X(28)+Q*X(17)+P*(X(16)+X(18)); %17

W1*X(28)+Q*X(18)+P*(X(17)+X(19)); %18

W1*X(28)+Q*X(19)+P*(X(18)+X(20)); %19

(-1)*W1*X(29)+Q*X(20)+P*(X(19)+X(21)); %20

(-1)*W1*X(29)+Q*X(21)+P*(X(20)+X(22)); %21

(-1)*W1*X(29)+Q*X(22)+P*(X(21)+X(23)); %22

Q1*X(23)+P*(X(22)+5*X(24)); %23

Q2*X(24)+P*(5*X(23)+50*X(25)); %24

Q3*X(25)+P*(50*X(24)+500*X(26)); %25

Q4*X(26)+P*500*X(25); %26

UA*(X(5)+X(6)+X(7)-X(14)-X(15)-X(16))+(LsA/dt)*X(27)+Ua; %27

UA*(X(11)+X(12)+X(13)-X(20)-X(21)-X(22))+(LsB/dt)*X(29)+Ub; %28

UA*(-X(8)-X(9)-X(10)+X(17)+X(18)+X(19))+(LsC/dt)*X(28)+Uc; %29

0]; %30

% Решение методом Гаусса-Жордана

Z=rref([A S]); %Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

X=Z(1:30,31:31); %Выделение последнего столбца из матрицы

% Ток в роторе

Ir=[ 1000*Rb*X(1)-Rb*(500*X(2)); %1

550*Rb*X(2)-Rb*(500*X(1)+50*X(3)); %2

55*Rb*X(3)-Rb*(50*X(2)+5*X(4)); %3

6*Rb*X(4)-Rb*(5*X(3)+X(5)); %4

-wn*X(27)+2*Rb*X(5)-Rb*(X(4)+X(6)); %5

-wn*X(27)+2*Rb*X(6)-Rb*(X(5)+X(7)); %6

-wn*X(27)+2*Rb*X(7)-Rb*(X(6)+X(8)); %7

(-1)*(-wn)*X(28)+2*Rb*X(8)-Rb*(X(7)+X(9)); %8

(-1)*(-wn)*X(28)+2*Rb*X(9)-Rb*(X(8)+X(10)); %9

(-1)*(-wn)*X(28)+2*Rb*X(10)-Rb*(X(9)+X(11)); %10

-wn*X(29)+2*Rb*X(11)-Rb*(X(10)+X(12)); %11

-wn*X(29)+2*Rb*X(12)-Rb*(X(11)+X(13)); %12

-wn*X(29)+2*Rb*X(13)-Rb*(X(12)+X(14)); %13

(-1)*(-wn)*X(27)+2*Rb*X(14)-Rb*(X(13)+X(15)); %14

(-1)*(-wn)*X(27)+2*Rb*X(15)-Rb*(X(14)+X(16)); %15

(-1)*(-wn)*X(27)+2*Rb*X(16)-Rb*(X(15)+X(17)); %16

-wn*X(28)+2*Rb*X(17)-Rb*(X(16)+X(18)); %17

-wn*X(28)+2*Rb*X(18)-Rb*(X(17)+X(19)); %18

-wn*X(28)+2*Rb*X(19)-Rb*(X(18)+X(20)); %19

(-1)*(-wn)*X(29)+2*Rb*X(20)-Rb*(X(19)+X(21)); %20

(-1)*(-wn)*X(29)+2*Rb*X(21)-Rb*(X(20)+X(22)); %21

(-1)*(-wn)*X(29)+2*Rb*X(22)-Rb*(X(21)+X(23)); %22

6*Rb*X(23)-Rb*(X(22)+5*X(24)); %23

55*Rb*X(24)-Rb*(5*X(23)+50*X(25)); %24

550*Rb*X(25)-Rb*(50*X(24)+500*X(26)); %25

1000*Rb*X(26)-Rb*(500*X(25))]; %26

% Электромагнитное усилие

F(1)=X(2)*Ir(1)/(2*tz);

for n=1:24

F(n+1)=(X(n+2)-X(n))*Ir(n+1)/(2*tz);

end;

F(26)=-X(25)*Ir(26)/(2*tz);

% Скорость

v0=v0+((sum(F)-Fc)/m)*dt;

mass_t(k)=k*dt;

mass_ixb(k)=ixb;

mass_ixoc(k)=ixoc(k);

mass_iyoc(k)=iyoc(k);

mass_usalfa(k)=usalfa;

mass_usbeta(k)=usbeta;

mass_Ua(k)=Ua;

mass_Ub(k)=Ub;

mass_Uc(k)=Uc;

mass_i_a(k)=i_a(1,k);

mass_i_b(k)=i_b(1,k);

mass_i_c(k)=i_c(1,k);

mass_i_alfa(k)=i_alfa;

mass_i_beta(k)=i_beta;

end;

% Построение графиков

figure(1);

plot(mass_t,mass_ixb,'b',mass_t,mass_ixoc,'r');

grid on;

figure(2);

plot(mass_t,mass_usalfa,'b',mass_t,mass_usbeta,'r');

grid on;

figure(3);

plot(mass_t,mass_Ua,'b',mass_t,mass_Ub,'r',mass_t,mass_Uc,'g');

grid on;

figure(4);

plot(mass_t,mass_i_a,'b',mass_t,mass_i_b,'r',mass_t,mass_i_c,'g');

grid on;

figure(5);

plot(mass_t,mass_i_alfa,'b',mass_t,mass_i_beta,'r');

grid on;

figure(6);

plot(mass_t,mass_ixoc,'b',mass_t,mass_iyoc,'r');

grid on;

figure(7);

k=0:K;

subplot(2,1,1);

plot(k*dt,v);

title('Линейная скорость');

xlabel('t,c');

ylabel('v,m/c');

grid on;

subplot(2,1,2);

plot(k*dt,f);

title('Электромагнитное усилие');

xlabel('t,c');

ylabel('F,H');

grid on;

Результаты расчетов в замкнутой системе приведены на рис. 12, …, 20.

Рис. 12. Токи i_{x зад.} и i_{x oc} на входе фильтров ФЗТ и ФОТ

Рис. 13. Токи i_{y зад.} и i_{y oc} на входе фильтров ФЗТ и ФОТ

Рис. 14. Напряжения u_x, u_y на выходе регуляторов тока

Рис. 15. Напряжения u_α, u_β на выходе преобразователя координат (x, y → α, β)

Рис. 16. Напряжения U_a, U_b, U_c на выходе преобразователя координат (α, β → a, b, c)

Рис. 17. Токи i_а, i_b, i_c на выходе ЛАД

Рис. 18. Токи i_α, i_β на выходе преобразователя (a, b, c → α, β)

Рис. 19. Токи i_{x ос}, i_{y ос} на выходе прямого преобразователя координат

Рис. 20. График скорости и момента в замкнутой системе

Литература:

1. Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А., Иваницкий С.В., Резин М.Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. - 1982. – №10. – С. 54–57.
2. Емельянов А.А., Кобзев А.В., Козлов А.М., Бесклеткин В.В., Бочкарев Ю.П., Авдеев А.С., Киряков Г.А., Чернов М.В., Габзалилов Э.Ф. Программирование линейного асинхронного двигателя (Z1 = 18) с трехфазной обмоткой индуктора с нулевым проводом // Молодой ученый. — 2014. — №8. — С. 20-41.
3. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. - Екатеринбург УРО РАН, 2000. - 654 с.
4. Шрейнер Р.Т., Емельянов А.А., Медведев А.В. Оптимизация перемежающихся режимов работы частотно-регулируемого асинхронного электропривода // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3: в 5 ч. Туда: Изд-во ТулГУ, 2010. Ч 4. - 262 с.
5. Шрейнер Р.Т., Емельянов А.А., Медведев А.В. Ресурсы энергосбережения в повторно-кратковременных режимах работы асинхронного привода // Промышленная энергетика. - 2011. - №11. - С. 22-27.
6. Веселовский О.Н., Коняев А.Ю., Сарапулов Ф.Н. Линейные асинхронные двигатели. - М.: – Энергоатомиздат, 1991. – 256 с.