Применение математического пакета Maple к решению вариационных задач

 

Одно из направлений развития вычислительных технологий в настоящее время − это появление мощных математических пакетов, позволяющих максимально упростить процесс подготовки задачи, ее решения и анализа результатов. При использовании таких средств, как Maple [1], Mathcad, Mathematica или Matlab, решение дифференциального или трансцендентного уравнения, аналитическое либо численное дифференцирование и интегрирование, операции с матрицам, решение проблемы собственных значений, вычисление пределов, разложение в ряд и многие другие задачи решаются с помощью одной команды. Но, конечно, эту команду нужно правильно применить: надо корректно сформулировать задачу, знать в каком в виде искать решение и т. д. Иными словами, применение математических пакетов позволяет ускорить и упростить выполнение рутинных действий, выкладок и избавить от появления досадных ошибок, но математические пакеты не избавляют от необходимости думать.

Всеобщая компьютеризация коснулась и сферы образования. Внедрение вычислительной техники в учебный процесс поставило на повестку дня задачу создания учебников по различным дисциплинам, ориентированных на применение компьютеров и, в частности, на использование математических пакетов.

Например, широко распространенные учебники по вариационному исчислению [2–4] были написаны в 70-е годы прошлого столетия или даже раньше. Несомненно, они остаются прекрасными в научном и методическом плане книгами, но их авторы не предвидели и не могли предвидеть столь бурной компьютеризации, поэтому необходима адаптация курса вариационного исчисления к использованию современных компьютерных технологий.

Мною разработано учебно-методическое пособие «Вариационное исчисление» предназначенное для студентов всех форм обучения направления подготовки «Прикладная информатика» при изучении дисциплины «Теория оптимального управления». Данное учебно-методическое пособие посвящено методам решения классических вариационных задач.

Пособие содержит разделы «Основные понятия вариационного исчисления», «Вариационные задачи с фиксированными границами», «Вариационные задачи с подвижными границами», «Задачи на условный экстремум», «Достаточные условия экстремума», «Прямые методы в вариационных задачах», «Индивидуальное домашнее задание», «Приложение».

В каждом разделе кратко изложены теоретические сведения, содержащие основные определения и теоремы, приведены решения типовых примеров.

Поскольку ручное составление и решение уравнений (как правило, дифференциальных) связано с большими трудностями, и, как показывает опыт, плохо усваивается студентами. Поэтому при решении подобных задач мы применили систему компьютерной математики Maple, хорошо приспособленную к решению математических задач, требующих большого количества аналитических преобразований. Это самый первый пакет символьной математики. В настоящее время он является лидером среди универсальных систем символьных вычислений и пользуется особой популярностью в научной среде и предоставляет возможности для математических исследований любого уровня.

Разработала mws-файлы с подробными комментариями для каждого типа задач: вариационные задачи с фиксированными, подвижными границами и на условный экстремум.

Пример 1. Найти расстояние между параболой и прямой .

Решение: Эта задача с подвижными границами. Задача сводится к нахождению экстремального значения функционала , при условии, что левый конец экстремали может перемещаться по кривой , а правый — по прямой .

1. Задаем подынтегральную функцию:

> restart:

> F:=(x,Y,DY)->sqrt(1+DY^2);

> x0:=X0;x1:=X1;

2. Задаем две фиксированные кривые и , находим их производные:

> F1:=(x)->x^2; dF1:=diff(F1(x),x);

> F2:=(x)->x-5; dF2:=diff(F2(x),x);

3. Составляем функционал:

> J:=int(F(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1);

4. Записываем основную формулу уравнения Эйлера:

> eq:=diff(F(x,Y,DY),Y)-diff(diff(F(x,Y,DY),x),DY)-diff(diff(F(x,Y,DY),Y),DY)*DY-diff(F(x,Y,DY),DY$2)*D2Y=0;

5. Выполняемзамены (оператор subs) :

> eq1:=subs(Y=y(x),DY=diff(y(x),x),D2Y=diff(y(x),x$2),eq);

6. Находим общее решение уравнения Эйлера:

> rez:=dsolve(eq1);

>assign(rez):y(x):

7.Записываем условия трансверсальности:

> dFdY:=diff(F(x,Y,DY),DY);

> df:=subs(Y=y(x),DY=diff(y(x),x),D2Y=diff(y(x),x$2),dFdY):

> us_t1:=F(x,y(x),diff(y(x),x))+(dF1-diff(y(x),x))*df=0;

> us_t2:=F(x,y(x),diff(y(x),x))+(dF2-diff(y(x),x))*df=0;

> a:=subs(x=x0,us_t1);

> b:=subs(x=x1,us_t2);

8.Записываем граничные условия ,

> left:=subs(x=x0,y(x))=F1(x0);

> right:=subs(x=x1,y(x))=F2(x1);

9. Находим,, , и экстремаль:

> rez1:=solve({left,right,a,b});

> y(x):=subs(rez1,y(x));assign(rez1);

10.Находим значение функционала при полученном решении:

> F(x,y(x),diff(y(x),x)):

>J;

Пример 2. Найти экстремаль функционала , удовлетворяющую граничным условиям и интегральным связям , .

Решение: Это изопериметрическая задача.

1. Задаем подынтегральную функцию и граничные условия:

> restart:

> F:=(x,Y,DY)->DY^2;

> x0:=0;x1:=1;y0:=0;y1:=0;

2. Составляем функционал:

> J:=int(F(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1);

3.Составляем функцию Лагранжа. Т. к. , , , то

> H1:=(x,Y,DY)->Y;H2:=(x,Y,DY)->x*Y;

> F1:=(x,Y,DY)->F(x,Y,DY)+l1*H1(x,Y,DY)+l2*H2(x,Y,DY);

4. Записываем основную формулу уравнения Эйлера:

> eq:=diff(F1(x,Y,DY),Y)-diff(diff(F1(x,Y,DY),x),DY)-diff(diff(F1(x,Y,DY),Y),DY)*DY-diff(F1(x,Y,DY),DY$2)*D2Y=0;

5. Выполняемзамены (оператор subs): :

> eq1:=subs(Y=y(x),DY=diff(y(x),x),D2Y=diff(y(x),x$2),eq);

6. Находим общее решение уравнения Эйлера:

> dsolve(eq1,y(x));

7. Составляем краевую задачу:

> tk:={eq1,y(x0)=y0,y(x1)=y1};

8. Решаем краевую задачу (оператор dsolve):

> S:=dsolve(tk,y(x));

> assign(S):y(x):

9. Из уравнений связей находим l1,l2

> a1:=int(H1(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1)=1; a2:=int(H2(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1)=0;

> L:=solve({a1,a2});

10.Находим значение функционала при полученном решении:

> y(x):=subs(L,y(x));

> F(x,y(x),diff(y(x),x)):

> J;

Участие в процессе обучения одновременно педагога и компьютера значительно улучшает качество образования. Использование возможностей системы Mapleактивизирует процесс преподавания, повышает интерес студентов к изучаемой дисциплине и эффективность учебного процесса, позволяет достичь большей глубины понимания учебного материала.

 

Литература:

 

1. Шевченко, А. С. Использование математического пакета Maple при проведении лабораторных работ по курсу «Численные методы» / А. С. Шевченко // Молодой ученый. − 2015. − № 9. − С. 1222–1225.
2. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление/ И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. − М.: Физматлит, 1961.
3. Краснов, М. Л. Вариационное исчисление: задачи и упражнения: учебное пособие для втузов / М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев. — М.: Наука, 1973. — 190 с.
4. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: Учебник для физ. спец. ун-тов/ Л. Э. Эльсгольц — М.: Наука, 1969. –424 с.