Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Бесклеткин В. В., Козлов А. М. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 12) через спинку ярма // Молодой ученый. — 2013. — №7. — С. 12-26.

В пакете учебных программ при моделировании асинхронного двигателя с помощью магнитных схем замещения представляет определенный интерес к способу намотки статорной обмотки через спинку ярма. В этом случае расширяется возможность управления напряжением в проводниках каждого паза. Такой тип укладки обмотки приводит к существенному изменению конфигурации заполнения элементов матриц и, следовательно, к увеличению вариантов при программировании в Matlab, что немаловажно в учебном процессе. Данную работу полезно сопоставить с работой [4], в которой рассматривался двигатель с таким же числом пазов на статоре, но с классическим типом обмотки.

На рис.1,а показана линейная развертка кругового асинхронного двигателя с одной парой полюсов (2р = 2, Z1 = 12) с укладкой обмотки через спинку ярма статора. На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения, где токи и потоки на входе двигателя являются соответствующими токами и потоками на его выходе.

Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

 – контурные магнитные потоки;

 – магнитные сопротивления воздушных участков;

 – магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 – М.Д.С. тока ротора в стержне ().

Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

.

(1)

Рис. 1. а) Асинхронный двигатель (2р = 2, Z1 = 12);       б) Магнитная схема замещения

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

(2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где      n – номер зубцового деления;

k – номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

(3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

(4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые двенадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Остальные двенадцать будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки. Матрица-столбец Х сформирована из первых двенадцати элементов, которые соответствуют потокам, а с 13 по 24 – токам i1, … , i12. Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов статора Z1 = 12 примет следующий вид:


Матрица А

Х

S

a1,1

a1,2

a1,3

0

0

0

0

0

0

0

a1,11

a1,12

a1,13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a1,24

×

=

s1

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

0

0

0

0

0

0

0

a2,12

0

a2,14

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s2

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a3,15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s3

0

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a4,16

0

0

0

0

0

0

0

0

s4

0

0

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a5,17

0

0

0

0

0

0

0

s5

0

0

0

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a6,18

0

0

0

0

0

0

s6

0

0

0

0

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a7,19

0

0

0

0

0

s7

0

0

0

0

0

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a8,20

0

0

0

0

s8

0

0

0

0

0

0

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a9,21

0

0

0

s9

0

0

0

0

0

0

0

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a10,22

0

0

s10

a11,1

0

0

0

0

0

0

0

a11,9

a11,10

a11,11

a11,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a11,23

0

s11

a12,1

a12,2

0

0

0

0

0

0

0

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a12,24

s12

a13,1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a13,13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s13

0

a14,2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a14,14

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s14

0

0

a15,3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a15,15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s15

0

0

0

a16,4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a16,16

0

0

0

0

0

0

0

0

s16

0

0

0

0

a17,5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a17,17

0

0

0

0

0

0

0

s17

0

0

0

0

0

a18,6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a18,18

0

0

0

0

0

0

s18

0

0

0

0

0

0

a19,7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a19,19

0

0

0

0

0

s19

0

0

0

0

0

0

0

a20,8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a20,20

0

0

0

0

s20

0

0

0

0

0

0

0

0

a21,9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a21,21

0

0

0

s21

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a22,10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a22,22

0

0

s22

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a23,11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a23,23

0

s23

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a24,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a24,24

s24

                                                               

Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.


Так как в асинхронном двигателе сопротивления на всех зубцовых делениях одинаковы Rn = Rδ, то уравнение (4) примет следующий вид:

(5)

Введем следующие обозначения:

-        Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:

-        Элементы матрицы А, перемножаемые на токи i1, … , i12 матрицы Х:

-        Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

С учетом обозначений уравнение (5) примет следующий вид:

.

(6)

Уравнение (6) позволит определить для первых двенадцати строк элементы матрицы А и с первый по двенадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

.

Запишем элементы матрицы А:

;   ;   ;   ;   .

В правой части сформирован элемент  матрицы-столбца S:

.

Примечание: Вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции n = … определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.

В нашем случае при n = 1 определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.

n = 2.

.

; ; ; ;

.

n = 3.

.

; ; ; ;

.

n = 4.

.

; ; ; ;

.

n = 5.

.

; ; ; ;

.

n = 6.

.

; ; ; ;

.

n = 7.

.

; ; ; ;

.

n = 8.

.

; ; ; ;

.

n = 9.

.

; ; ; ;

.

n = 10.

.

; ; ; ; ;

.

n = 11.

.

; ; ; ; ;

.

n = 12.

.

; ; ; ; ;

.

Остальные элементы матрицы А (n = 13, …, 24) и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора [2].

В данной работе принято отдельное управление напряжением каждого паза (Z1 = 12), следовательно, необходимо задать двенадцать напряжений. В качестве одного из вариантов примем синусоидальные напряжения со сдвигом на π/6:

                   ;                                           ;

                   ;                                  ;

                   ;                                  ;

                   ;                                  ;

                   ;                                ;

                   ;                                .

Рассмотрим баланс напряжений для первой обмотки.

,

где       – число витков паза (обмотки);

             – сопротивление обмотки, проходящей через спинку ярма;

            – индуктивность обмотки первого паза.

Выразим производные через конечные разности:

;         .

Тогда после подстановки получим:

.

Преобразуем выражение к виду:

.

Обозначим:

;       .

Тогда для элементов тринадцатой строки матрицы А и тринадцатого элемента матрицы-столбца S (n = 13):

.

Отсюда элементы матрицы А: ; .

Тринадцатый элемент  матрицы-столбца S:

.

Аналогично для n = 14, … , 24 запишем:

n = 14.                      .

; .

.

n = 15.                      .

; .

.

n = 16.                      .

; .

.

n = 17.                      .

; .

.

n = 18.                      .

; .

.

n = 19.                      .

; .

.

n = 20.                      .

; .

.

n = 21.                      .

; .

.

n = 22.                      .

; .

.

n = 23.                      .

Отсюда элементы матрицы А: ; .

Двадцать третий элемент  матрицы-столбца S:

.

n = 24.                      .

; .

.

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MatLab:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

2

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

5

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

6

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

9

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

10

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

11

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

12

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

13

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

15

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

16

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

17

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

18

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

19

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

20

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

21

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

22

0

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

23

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

24

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:

X=A-1·S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…12, определяем токи в роторе:

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               .

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

                        ;            ;                  ;

                        ;            ;                 ;

                        ;            ;                 ;

                        ;          ;             ;

Суммарное усилие: .

Скорость в k-й момент времени: .

Произведем построение математической модели асинхронного двигателя  методом Гаусса-Жордана с использованием языка программирования MatLab. Ниже приведен пример кода:

Результаты моделирования представлены на рис.4.

Рис.4. Результат моделирования асинхронного двигателя в режиме прямого пуска

Литература:

1.         Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А., Иваницкий С.В., Резин М.Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. – 1982. – №10. – С. 54–57.

2.         Емельянов А.А., Богатов Е.А., Клишин А.В., Медведев А.В., Симонович В.Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. – 2010. – №5. – С.14–22.

3.         Емельянов А.А., Медведев А.В., Богатов Е.А., Кобзев А.В., Бочкарев Ю.П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. – 2013. – №3. – С. 129-143.

4.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Бочкарев Ю.П., Евдокимов О. В. Моделирование асинхронного двигателя с помощью магнитных и электрических схем замещения с двумя пазами на полюс и фазу // Молодой ученый. – 2013. – №5. – С. 4-16.

5.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Габзалилов Э.Ф., Авдеев А.С. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 6) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №6. – С. 1-11.

6.         Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle