Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Бесклеткин В. В., Козлов А. М. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 12) через спинку ярма // Молодой ученый. — 2013. — №7. — С. 12-26.

В пакете учебных программ при моделировании асинхронного двигателя с помощью магнитных схем замещения представляет определенный интерес к способу намотки статорной обмотки через спинку ярма. В этом случае расширяется возможность управления напряжением в проводниках каждого паза. Такой тип укладки обмотки приводит к существенному изменению конфигурации заполнения элементов матриц и, следовательно, к увеличению вариантов при программировании в Matlab, что немаловажно в учебном процессе. Данную работу полезно сопоставить с работой [4], в которой рассматривался двигатель с таким же числом пазов на статоре, но с классическим типом обмотки.

На рис.1,а показана линейная развертка кругового асинхронного двигателя с одной парой полюсов (2р = 2, Z1 = 12) с укладкой обмотки через спинку ярма статора. На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения, где токи и потоки на входе двигателя являются соответствующими токами и потоками на его выходе.

Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

 – контурные магнитные потоки;

 – магнитные сопротивления воздушных участков;

 – магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 – М.Д.С. тока ротора в стержне ().

Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

.

(1)

Рис. 1. а) Асинхронный двигатель (2р = 2, Z1 = 12);       б) Магнитная схема замещения

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

(2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где      n – номер зубцового деления;

k – номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

(3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

(4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые двенадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Остальные двенадцать будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки. Матрица-столбец Х сформирована из первых двенадцати элементов, которые соответствуют потокам, а с 13 по 24 – токам i1, … , i12. Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов статора Z1 = 12 примет следующий вид:


Матрица А

Х

S

a1,1

a1,2

a1,3

0

0

0

0

0

0

0

a1,11

a1,12

a1,13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a1,24

×

=

s1

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

0

0

0

0

0

0

0

a2,12

0

a2,14

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s2

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a3,15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s3

0

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a4,16

0

0

0

0

0

0

0

0

s4

0

0

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a5,17

0

0

0

0

0

0

0

s5

0

0

0

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a6,18

0

0

0

0

0

0

s6

0

0

0

0

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a7,19

0

0

0

0

0

s7

0

0

0

0

0

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a8,20

0

0

0

0

s8

0

0

0

0

0

0

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a9,21

0

0

0

s9

0

0

0

0

0

0

0

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a10,22

0

0

s10

a11,1

0

0

0

0

0

0

0

a11,9

a11,10

a11,11

a11,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a11,23

0

s11

a12,1

a12,2

0

0

0

0

0

0

0

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a12,24

s12

a13,1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a13,13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s13

0

a14,2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a14,14

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s14

0

0

a15,3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a15,15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s15

0

0

0

a16,4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a16,16

0

0

0

0

0

0

0

0

s16

0

0

0

0

a17,5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a17,17

0

0

0

0

0

0

0

s17

0

0

0

0

0

a18,6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a18,18

0

0

0

0

0

0

s18

0

0

0

0

0

0

a19,7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a19,19

0

0

0

0

0

s19

0

0

0

0

0

0

0

a20,8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a20,20

0

0

0

0

s20

0

0

0

0

0

0

0

0

a21,9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a21,21

0

0

0

s21

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a22,10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a22,22

0

0

s22

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a23,11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a23,23

0

s23

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a24,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a24,24

s24

                                                               

Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.


Так как в асинхронном двигателе сопротивления на всех зубцовых делениях одинаковы Rn = Rδ, то уравнение (4) примет следующий вид:

(5)

Введем следующие обозначения:

-        Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:

-        Элементы матрицы А, перемножаемые на токи i1, … , i12 матрицы Х:

-        Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

С учетом обозначений уравнение (5) примет следующий вид:

.

(6)

Уравнение (6) позволит определить для первых двенадцати строк элементы матрицы А и с первый по двенадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

.

Запишем элементы матрицы А:

;   ;   ;   ;   .

В правой части сформирован элемент  матрицы-столбца S:

.

Примечание: Вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции n = … определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.

В нашем случае при n = 1 определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.

n = 2.

.

; ; ; ;

.

n = 3.

.

; ; ; ;

.

n = 4.

.

; ; ; ;

.

n = 5.

.

; ; ; ;

.

n = 6.

.

; ; ; ;

.

n = 7.

.

; ; ; ;

.

n = 8.

.

; ; ; ;

.

n = 9.

.

; ; ; ;

.

n = 10.

.

; ; ; ; ;

.

n = 11.

.

; ; ; ; ;

.

n = 12.

.

; ; ; ; ;

.

Остальные элементы матрицы А (n = 13, …, 24) и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора [2].

В данной работе принято отдельное управление напряжением каждого паза (Z1 = 12), следовательно, необходимо задать двенадцать напряжений. В качестве одного из вариантов примем синусоидальные напряжения со сдвигом на π/6:

                   ;                                           ;

                   ;                                  ;

                   ;                                  ;

                   ;                                  ;

                   ;                                ;

                   ;                                .

Рассмотрим баланс напряжений для первой обмотки.

,

где       – число витков паза (обмотки);

             – сопротивление обмотки, проходящей через спинку ярма;

            – индуктивность обмотки первого паза.

Выразим производные через конечные разности:

;         .

Тогда после подстановки получим:

.

Преобразуем выражение к виду:

.

Обозначим:

;       .

Тогда для элементов тринадцатой строки матрицы А и тринадцатого элемента матрицы-столбца S (n = 13):

.

Отсюда элементы матрицы А: ; .

Тринадцатый элемент  матрицы-столбца S:

.

Аналогично для n = 14, … , 24 запишем:

n = 14.                      .

; .

.

n = 15.                      .

; .

.

n = 16.                      .

; .

.

n = 17.                      .

; .

.

n = 18.                      .

; .

.

n = 19.                      .

; .

.

n = 20.                      .

; .

.

n = 21.                      .

; .

.

n = 22.                      .

; .

.

n = 23.                      .

Отсюда элементы матрицы А: ; .

Двадцать третий элемент  матрицы-столбца S:

.

n = 24.                      .

; .

.

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MatLab:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

2

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

0

5

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

0

6

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

0

9

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

0

10

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

0

11

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

T

12

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-T

Y

13

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

15

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

16

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

17

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

0

18

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

0

19

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

0

20

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

0

21

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

0

22

0

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

0

23

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

0

24

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

UA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KS

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:

X=A-1·S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…12, определяем токи в роторе:

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               ;

                               .

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

                        ;            ;                  ;

                        ;            ;                 ;

                        ;            ;                 ;

                        ;          ;             ;

Суммарное усилие: .

Скорость в k-й момент времени: .

Произведем построение математической модели асинхронного двигателя  методом Гаусса-Жордана с использованием языка программирования MatLab. Ниже приведен пример кода:

Результаты моделирования представлены на рис.4.

Рис.4. Результат моделирования асинхронного двигателя в режиме прямого пуска

Литература:

1.         Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А., Иваницкий С.В., Резин М.Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. – 1982. – №10. – С. 54–57.

2.         Емельянов А.А., Богатов Е.А., Клишин А.В., Медведев А.В., Симонович В.Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. – 2010. – №5. – С.14–22.

3.         Емельянов А.А., Медведев А.В., Богатов Е.А., Кобзев А.В., Бочкарев Ю.П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. – 2013. – №3. – С. 129-143.

4.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Бочкарев Ю.П., Евдокимов О. В. Моделирование асинхронного двигателя с помощью магнитных и электрических схем замещения с двумя пазами на полюс и фазу // Молодой ученый. – 2013. – №5. – С. 4-16.

5.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Габзалилов Э.Ф., Авдеев А.С. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 6) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №6. – С. 1-11.

6.         Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.

Основные термины (генерируются автоматически): асинхронного двигателя, укладкой обмотки статора, спинку ярма, статорной обмотки, Моделирование асинхронного двигателя, следующий вид, спинку ярма статора, пазов статора z1, схема замещения, напряжений статорной обмотки, намотки статорной обмотки, напряжений обмоток статора, классическим типом обмотки, тип укладки обмотки, моделировании асинхронного двигателя, токов статорной обмотки, кругового асинхронного двигателя, магнитных схем замещения, Баланс магнитных напряжений, магнитная схема замещения.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle