Выборы — это фундаментальный механизм принятия коллективных решений, однако существует множество способов преобразования индивидуальных предпочтений в общий итог [1, с. 12].

Целью данного исследования является сравнительный анализ ключевых избирательных систем с целью выявления их принципиальных особенностей и различий. В основе работы лежит утверждение о том, что эти системы не являются эквивалентными (две системы голосований называются эквивалентными, если при одинаковых предпочтениях избирателей они всегда имеют одинаковый результат между собой) и могут приводить к выбору разных победителей при одних и тех же предпочтениях избирателей, которое в дальнейшем будет доказано [2, с. 41].

Методология основана на построении контрпримеров — математических моделей конкретных распределений голосов, на которых системы демонстрируют противоположные результаты. Такой подход позволяет не только доказать формальную неэквивалентность, но и выявить характерные особенности каждой системы [3, с. 78].

Результаты исследования имеют практическую значимость: они покажут особенности каждой системы, следовательно позволят избирателям осознанно подходить к участию в голосовании, с пониманием, как правила влияют на силу их голоса, а организаторам выборов — обоснованно выбирать систему, наиболее соответствующую целям конкретного голосования [5, с. 2].

Основные системы

Голосование относительного большинства, голосование абсолютного большинства, голосование по принципу Кондорсе, голосование с последовательным исключением, голосование по правилу Борда, голосование при помощи подсчета очков.

Голосование относительного большинства — побеждает кандидат, набравший больше голосов, чем любой другой [5, с. 3].

Голосование абсолютного большинства — победителем считается кандидат, получивший более 50 % голосов. В случае, если ни одному из кандидатов не удалось превысить планку, организуется второй тур, в который выходят два кандидата, получившие наибольшее количество голосов в первом туре [5, с. 4].

Голосование по принципу Кондорсе — каждый избиратель ранжирует всех кандидатов; затем проводится серия попарных сравнений: победитель определяется как кандидат, превосходящий любого другого в попарном сравнении [3, с. 80].

Голосование с последовательным исключением — в каждом раунде выбывает кандидат с наименьшим количеством голосов, пока не останется один; избиратели составляют ранжированные списки предпочтений (1, 2, 3... места), и голоса «перераспределяются» от выбывших кандидатов к следующим по предпочтению в бюллетенях [4, с. 110].

Голосование по правилу Борда — при выборах из n кандидатов каждый голосующий ранжирует всех кандидатов строго по убыванию предпочтения, за первое место по предпочтению кандидату присуждается n-1 баллов, за второе n-2 балла и т. д. (за последнее место — 0 баллов), все набранные баллы кандидатами суммируются. Соответственно, победителем выборов считается кандидат, набравший наивысший суммарный балл [4, с. 105].

Голосование при помощи подсчета очков — в голосовании участвуют n кандидатов. Вводится последовательность чисел (или рангов) вида r0 ≤ r1 ≤ · · · ≤ rn−1, в которой обязательно должно выполняться условие r0 < rn−1. Затем каждый избиратель упорядочивает кандидатов по возрастанию в соответствии со своими предпочтениями и присваивает каждому ранг из последовательности ri (число справа от r это индекс). В выборах побеждает кандидат, набравший наибольшую сумму очков [1, с. 45].

Доказательство неэквивалентности:

1. Голосование относительного большинства не эквивалентно абсолютному большинству. Рассмотрим 100 избирателей с предпочтениями: 45: A > B > C, 40: B > A > C, 15: C > B > A. По правилу относительного большинства побеждает A (45 первых мест). По правилу абсолютного большинства ни один кандидат не набирает более 50 в первом туре; во второй тур выходят A и B. Голоса сторонников C переходят к B, в результате B получает 55, A — 45. Следовательно, победители различны, и данные правила неэквивалентны.
2. Голосование относительного большинства не эквивалентно принципу Кондорсе. Рассмотрим 100 избирателей с предпочтениями: 40: A > C > B, 35: B > C > A, 25: C > B > A. По правилу относительного большинства побеждает A, так как он имеет наибольшее число первых мест (40). Однако в попарных сравнениях C > A, поскольку 35 + 25 = 60 > 40, и C > B, поскольку 40 + 25 = 65 > 35. Следовательно, победителем по принципу Кондорсе является C, а не A, и данные правила неэквивалентны.
3. Голосование относительного большинства не эквивалентно последовательному исключению. Рассмотрим 17 избирателей с предпочтениями: 8: A > B > C, 5: B > C > A, 4: C > B > A. По правилу относительного большинства побеждает A, так как он имеет 8 первых мест. По методу последовательного исключения сначала исключается C, после чего его голоса переходят к B, и во втором туре B получает 9 голосов против 8 у A. Следовательно, победители различны, и правила неэквивалентны.
4. Голосование относительного большинства не эквивалентно правилу Борда. Рассмотрим 21 избирателя с предпочтениями: 11: A > B > C, 6: B > C > A, 4: C > B > A. По правилу относительного большинства побеждает A, так как он имеет 11 первых мест. По правилу Борда с очками 2,1,0 получаем: A = 22, B = 27, C = 14, следовательно, победителем является B. Таким образом, данные правила неэквивалентны.
5. Метод абсолютного большинства не эквивалентен принципу Кондорсе. Рассмотрим 100 избирателей с предпочтениями: 35: A > C > B, 33: B > C > A, 32: C > B > A. По методу абсолютного большинства ни один кандидат не набирает более 50 в первом туре, поэтому во второй тур выходят A и B, где B побеждает со счетом 65 > 35. Однако в попарных сравнениях C > A, поскольку 33 + 32 = 65 > 35, и C > B, поскольку 35 + 32 = 67 > 33. Следовательно, победитель по Кондорсе отличается от победителя по абсолютному большинству, и методы неэквивалентны.
6. Метод абсолютного большинства не эквивалентен правилу Борда. Рассмотрим 21 избирателя с предпочтениями: 11: A > B > C, 6: B > C > A, 4: C > B > A. По методу абсолютного большинства кандидат A получает более половины первых мест и побеждает. По правилу Борда с очками 2,1,0 получаем: A = 22, B = 27, C = 14, следовательно, победителем является B. Таким образом, данные правила неэквивалентны.
7. Метод абсолютного большинства не эквивалентен последовательному исключению. Рассмотрим 100 избирателей с предпочтениями: 35: A > C > D > B, 25: B > C > D > A, 22: C > D > B > A, 18: D > C > B > A. По методу абсолютного большинства во второй тур выходят A и B, где B побеждает, получив 65 голосов против 35 у A. По методу последовательного исключения сначала исключается D, затем B, после чего C получает 65 голосов против 35 у A и побеждает. Следовательно, методы неэквивалентны.
8. Принцип Кондорсе не эквивалентен последовательному исключению. Рассмотрим 100 избирателей с предпочтениями: 35: A > C > B, 33: B > C > A, 32: C > B > A. В попарных сравнениях C > A (33+32=65>35) и C > B (35+32=67>33), поэтому C является победителем по принципу Кондорсе. Однако по методу последовательного исключения C имеет наименьшее число первых мест и исключается в первом туре. Следовательно, правила неэквивалентны.
9. Принцип Кондорсе не эквивалентен правилу Борда. Рассмотрим 7 избирателей с предпочтениями: 4: A > B > C > D, 2: B > C > D > A, 1: C > D > A > B. Кандидат A побеждает B, C и D в попарных сравнениях (4>2+1=3) и является победителем по принципу Кондорсе. По правилу Борда с очками 3, 2, 1, 0 кандидат B набирает 4*2+2*3=14 очков, а A — 4*3+1=13, следовательно, победителем является не А. Таким образом, правила неэквивалентны.
10. Правило Борда не эквивалентно последовательному исключению. Рассмотрим 18 избирателей с предпочтениями: 7: A > C > B, 6: B > C > A, 5: C > B > A. По правилу Борда с очками 2,1,0 получаем: A = 14, B = 17, C = 23, следовательно, победителем является C. По методу последовательного исключения C имеет наименьшее число первых мест и исключается в первом туре. Следовательно, данные правила неэквивалентны.

Правило Борда является частным случаем системы подсчета очков, если правило Борда не эквивалентно другим, то соответственно и голосование при помощи подсчета очков не эквивалентно другим.

11. Правило Борда неэквивалентно голосованию при помощи подсчета очков. Рассмотрим 21 избирателя с выбором: 11: A > B > C, 6: B > C > A, 4: C > B > A. При голосовании с помощью подсчета очков, когда за первое место дается 1 очко, а за остальные 0, кандидат A получает 11 очков, B — 6, C — 4, поэтому побеждает A. По правилу Борда с очками 2,1,0 получает: А=22, В=27, С=14, следовательно, победителем является В. Поскольку победители различны, правило Борда и голосование при помощи подсчета очков неэквивалентны.

Предположения и выводы

Проведённое исследование показывает, что различия между системами голосования обусловлены не техническими деталями подсчёта, а тем, какие аспекты интересов избирателей каждая система считает существенными. Все рассмотренные методы можно понимать как разные способы агрегирования предпочтений, отличающиеся степенью внимания к сильному и слабому интересу, а также полнотой охвата всей картины предпочтений.

Системы, основанные на первых местах, в том числе относительное и абсолютное большинство, в наибольшей степени ориентированы на сильный, фаворитный интерес. Относительное большинство практически полностью игнорирует слабые предпочтения и фиксирует только максимальную интенсивность поддержки, даже если она исходит от меньшинства. Абсолютное большинство несколько смягчает этот эффект за счёт второго тура, однако и здесь решающим остаётся расположение фаворитов, а более слабые интересы учитываются лишь опосредованно и в ограниченном объёме.

Последовательное исключение занимает промежуточное положение. С одной стороны, оно по-прежнему придаёт большое значение сильному интересу, поскольку порядок исключений определяется первыми местами. С другой стороны, система начинает учитывать слабые интересы тех избирателей, чьи кандидаты выбыли, что расширяет круг учитываемых предпочтений по сравнению с абсолютным большинством. Однако этот учёт остаётся неполным и зависит от траектории исключений, из-за чего часть предпочтений может так и не повлиять на итоговый результат.

Системы, основанные на подсчете очков, в общем виде, включая правило Борда, смещают фокус с интенсивности первого выбора на общую структуру интересов. В них сильные и слабые предпочтения агрегируются в единую количественную оценку, что позволяет выявить кандидатов с устойчивой, пусть и не максимальной поддержкой. Итог зависит от распределения очков по местам, поэтому такие системы чувствительны к выбранной шкале, могут даже копировать другие системы, как в приведенном контрпримере 11 она скопировала систему относительного большинства (требует дальнейшего изучения), однако в смысловом плане они ориентированы на более полный охват предпочтений, чем системы, учитывающие только фаворитов.

Принцип Кондорсе представляет собой наибольший отход от ориентации на силу интереса и в наибольшей степени охватывает всю картину предпочтений, но делает это не количественно, а сравнительно. Он оценивает кандидатов с точки зрения их превосходства над каждым другим кандидатом и тем самым учитывает как сильные, так и слабые интересы в совокупности. Такой подход позволяет выявить кандидата, который в целом предпочтительнее для общества, даже если он редко стоит на первом месте.

Ранжирование систем по степени охвата картины интересов и ослаблению ориентации на сильный интерес вытекает непосредственно из этих различий. Чем больше система использует только первые места, тем уже круг учитываемых предпочтений. Чем больше она вовлекает вторичные и последующие предпочтения либо сравнивает кандидатов напрямую, тем полнее отражается структура интересов избирателей. В этом смысле относительное и абсолютное большинство находятся на одном полюсе, правило Борда и другие очковые системы занимают более широкую позицию, а принцип Кондорсе представляет максимальный охват.

Общий вывод состоит в том, что ни одна система не является универсально предпочтительной. Каждая из них отвечает на свой вопрос о том, что именно считать выражением общественной воли: максимальную интенсивность поддержки, поддержку большинства в финальном выборе, устойчивую популярность или сравнительное превосходство. Различие в этих смысловых установках и является причиной неэквивалентности систем и появления разных победителей при одних и тех же предпочтениях избирателей.

Литература:

1. Нурми Х. Теория общественного выбора: введение в анализ коллективных решений. — М.: Издательство НИУ ВШЭ, 2010. — 256 с.
2. Эрроу К. Социальный выбор и индивидуальные ценности. — М.: Экономика, 2004. — 304 с.
3. Сен А. Коллективный выбор и социальное благосостояние. — М.: Прогресс, 1992. — 320 с.
4. Мулен Э. Справедливость и теория коллективного выбора. — М.: Издательство МЦНМО, 2013. — 272 с.
5. Википедия. Теория голосования // Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_голосования (дата обращения: 20.01.2026).