Доказательства теоремы Пифагора с точки зрения психологии | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 21 декабря, печатный экземпляр отправим 25 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Шамина В. В., Матешин В. Е., Павлова Е. А., Лукьянов Ф. С., Шмелева О. В. Доказательства теоремы Пифагора с точки зрения психологии // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 51-53. — URL https://moluch.ru/young/archive/9/631/ (дата обращения: 07.12.2019).



Цели и задачи проекта

  1. Ознакомиться с биографией Пифагора, с историей теоремы Пифагора с помощью дополнительной литературы и других источников информации.
  2. Выдвинуть гипотезу и провести психологическое исследование среди учащихся на латеральные функции головного мозга, на примере доказательств теоремы Пифагора.
  3. Сделать вывод о достоверности, выдвинутой теории.

Суть гипотезы в том, что определенные виды доказательств теоремы свойственны разным типам личностей.

Пифагор Самосский

Пифагор Самосский – древнегреческий математик, философ, мистик, религиозный и политический деятель.

Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом.

Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесёт столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесёт в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида, а ребёнку — Пифагор.

Первым учителем Пифагора был Гермодамас. По его совету Пифагор решил продолжить образование в Египте, у жрецов, родной остров Пифагор покинул в 18 лет. Сначала он жил на острове Лесбос. Из Лесбоса путь Пифагора лежал в Милет — к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы. Пифагор внимательно слушал в Милете лекции Фалеса. Фалес советовал ему поехать в Египет, чтобы продолжить образование. И Пифагор отправился в путь. Перед Египтом Пифагор на некоторое время остановился в Финикии, где, по преданию, учился у знаменитых сидонских жрецов. Затем он приехал в Египет, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

Вскоре Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей.

Со временем Пифагор прекращает выступления в храмах и на улицах, а учит уже в своем доме. Система обучения была сложной, многолетней.

Постепенно ученики Пифагора создали организацию, которая весьма напоминала религиозный орден. В него входили только избранные, и они всячески почитали своего лидера. В Кротоне со временем данный орден практически захватил власть.

В конце VI в. до н. э. начали расти антипифагорейские настроения. В результате философ вынужден был удалиться в другую греческую колонию, Метапонт. Здесь он прожил до самой смерти.

Теорема Пифагора

Из-за недостатка сведений трудно отличить открытия самого Пифагора от достижений его предшественников и учеников. То же можно сказать и о теореме, почти везде называемой именем Пифагора: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, египтянам было известно уже еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 г. Берлинского музея).

Теорема Пифагора встречается в вавилонских клинописных табличках приблизительно 2000 г. до н. э.

Теорема Пифагора около 900 г. до н. э. звучала так (в переводе с латинского): «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

А приблизительно около 1400 г. в Германии теорема была сформулирована так (в переводе): «Площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В современных учебниках геометрии теорема написана так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Доказательства теоремы Пифагора

Существует множество доказательств теоремы Пифагора. Рассмотрим некоторые из них:

  1. ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, – по 2. Теорема доказана.

http://school14-v.ucoz.ru/tag/2.jpg

Рис. 1

II. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА:

Дано: ∆АВС; = 90°; ВС = а; АС = b; АВ = с.

Доказать: с2 = а2 + b2

Доказательство:

  1. Дополним Построение: достроим чертеж до квадрата со стороной а + b – получим квадрат CMKN

http://festival.1september.ru/articles/610321/img6.gif

Рис. 2

  1. SCMKN = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  2. S1(∆ABC) = ab
  3. ∆BCA = ∆AMD = ∆DKP = ∆PNB (по двум катетам)
  4. Равные фигуры имеют равные площади.
  5. Значит: S1(∆ABC) = S2(∆AMD) = S3(∆DKP) = =S4(∆PNB) = ab
  6. SADPB = c2
  7. Площадь фигуры, разбитой на части равна сумме площадей её частей. Значит: SCMKL = 4S1 + c2= 4 . ab + c2 = 2ab + c2
  8. Итак: a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
  9. Значит: a2 + b2 = c2 (если мы из обеих частей верного равенства вычитаем одинаковые слагаемые, то получим верное равенство)
  10. т.е. c2 = a2 + b2

III. СРАВНЕНИЕ:

Сравните 2 рисунка и, исследуя эти рисунки объясните, почему c2 = a2 + b2.

Большие квадраты равны, следовательно, равны их площади.

http://festival.1september.ru/articles/610321/img7.gifhttp://festival.1september.ru/articles/610321/img7.gif

Рис. 3 Рис. 4

Первый квадрат состоит из квадрата со стороной с и четырёх треугольников с катетами а и в.

Второй квадрат состоит из двух квадратов (один со стороной а, другой со стороной в) и четырех таких же треугольников.

Исключив там и там треугольники видим, чтос2=а2+в2.

IV. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ИНДИЙСКИМ МАТЕМАТИКОМ БХАСКАРИ-АЧАРНА:

Дано: ∆АВС, = 90° (АВ = с; ВС = а; АС = в)

Доказать:

  1. Дополним построение: достроим чертёж до квадрата АВDE, со стороной с.

http://festival.1september.ru/articles/610321/img5.gif

Рис. 5

  1. Проведем DК ВС; DК = а
  2. Проведем ЕL DK; EL = a
  3. ПроведёмАМEL; AM = a
  4. Получили 4 прямоугольных треугольника: ∆ABC = ∆BKD = ∆DLE = ∆EMA (по гипотенузе и катету)
  5. KL = ab; LM = ab; CM = ab; KC = ab
  6. Значит KLMC – квадрат (ромб с прямыми углами – квадрат)
  7. SKLMC = (ab)2 = a2 – 2ab + b2
  8. SABDE = c2
  9. SABDE = 4 .+ (ab)2, т.е. c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2, т.е. с2=a2+b2

V. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МЕТОДОМ ГАРФИЛДА:

Дано: ABC - прямоугольный треугольник

Доказать: BC2=AB2+AC2

Рис. 6

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.

2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

SABED=(DE+AB)·AD/2

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

BC2=AB2+AC2.

Исследование

Ученые на протяжении нескольких сотен лет изучают головной мозг человека и его функции.

Мы выдвинули гипотезу, что определенные виды доказательств теоремы свойственны разным типам личностей. В качестве критерия типологии мы выбрали латеральные функции больших полушарий (латеральность – распределение функций мозга). Исходя из функционирования головного мозга, наше правое полушарие отвечает за интуицию, чувства, эмоции, а левое – за логику, чтение, письмо и т. д.

Для подтверждения своей гипотезы в нашем классе мы провели тест и определили, какие полушария мозга преобладают у наших одноклассников. Было выявлено, что у 34% ребят преобладает левое полушарие и у 66% – правое. На следующем этапе эксперимента были представлены несколько доказательств одной теоремы. В результате эксперимента мы получили следующие данные:

1) учащимся с преобладанием функции левого полушария наиболее понятные оказалось геометрическое доказательство методом Гарфилда (V);

2) ребята с преобладанием функций правого полушария выбрали доказательство методом сравнения (III).

Это частично подтвердило нашу гипотезу о том, что доказательства теоремы связано с особенностями восприятия информации.

3) Однако, алгебраическое доказательство теоремы Пифагора (II) оказалось одинаково близко и понятно ученикам и с правым, и с левым типом функционированием мозга.

Итак, мы ознакомились с основными сведениями о Пифагорейской школе и философскими идеями, которые развивали античные философы и мыслители. В ходе проделанной работы мы подтвердили гипотезу по критерию латеральных функций больших полушарий головного мозга для разных типов личностей на примере восприятия доказательств теоремы Пифагора.

Литература:

  1. Литцман В. Теорема Пифагора. 1951.
  2. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа. 1990.
  3. Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 7-9 классы» Л. С. Атанасян, 2015.
  4. http://to-name.ru/
  5. http://subscribe.ru/
Основные термины (генерируются автоматически): ABC, прямоугольный треугольник, квадрат, ABED, AMD, III, DKP, SABDE, PNB, Египет.


Похожие статьи

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Найти: стороны треугольника АВС. Решение: Так как АВСпрямоугольный треугольник, то гипотенуза АВ=2R, значит АВ=30см.

Ответ. Длина третьей стороны равна 2 . Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна трем четвертям суммы квадратов его сторон.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Таким образом, для построения основания достаточно знать длину стороны квадрата ABCD. Для проведения вычислений, построим вспомогательную пирамиду (рис. 1). Рис. 1. Вспомогательный чертёж пирамиды SABCD. Вычислить длину стороны квадрата ABCD, обозначив её , не сложно

Врач-экономист Имхотеп и начало строительства пирамид в Египте

Имхотеп жил и действовал в период III династии фараонов Древнего Египта. Бросим беглый взгляд на события, предшествовавшие этому времени. Этногенез египтян, скорее всего, связан с постепенным опустыниванием современной Сахары.

Краткий исторический очерк развития шрифта | Статья в журнале...

Из истории мировой письменности известны четыре вида письма: пиктографическое, идеографическое, слоговое, буквенно-звуковое. Значительно позже, в эпоху образования государств и развития торговли, в Китае и Египте на смену пиктографическому письму пришло...

Способы обеспечения пожарной безопасности развлекательных...

В статье представлен анализ нормативных требований к ограничению распространения опасных факторов пожара в развлекательных центрах. Рассмотрен состав развлекательной составляющей торговых центров. Проведен анализ проблематики пожарно-технической...

Некоторые способы активизации мыслительной деятельности...

В этой статье излагаются некоторые способы активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках математики и даны рекомендации их применения на уроках с целью развития творческой самостоятельности учащихся.

Совершенствование механизма обеспечения экономической...

Деятельность любой организации, даже с самой эффективной системой менеджмента, не может быть полностью предсказана, потому что каждый субъект экономики функционирует в условиях динамичности бизнес — среды.

Похожие статьи

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

Найти: стороны треугольника АВС. Решение: Так как АВСпрямоугольный треугольник, то гипотенуза АВ=2R, значит АВ=30см.

Ответ. Длина третьей стороны равна 2 . Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна трем четвертям суммы квадратов его сторон.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Таким образом, для построения основания достаточно знать длину стороны квадрата ABCD. Для проведения вычислений, построим вспомогательную пирамиду (рис. 1). Рис. 1. Вспомогательный чертёж пирамиды SABCD. Вычислить длину стороны квадрата ABCD, обозначив её , не сложно

Врач-экономист Имхотеп и начало строительства пирамид в Египте

Имхотеп жил и действовал в период III династии фараонов Древнего Египта. Бросим беглый взгляд на события, предшествовавшие этому времени. Этногенез египтян, скорее всего, связан с постепенным опустыниванием современной Сахары.

Краткий исторический очерк развития шрифта | Статья в журнале...

Из истории мировой письменности известны четыре вида письма: пиктографическое, идеографическое, слоговое, буквенно-звуковое. Значительно позже, в эпоху образования государств и развития торговли, в Китае и Египте на смену пиктографическому письму пришло...

Способы обеспечения пожарной безопасности развлекательных...

В статье представлен анализ нормативных требований к ограничению распространения опасных факторов пожара в развлекательных центрах. Рассмотрен состав развлекательной составляющей торговых центров. Проведен анализ проблематики пожарно-технической...

Некоторые способы активизации мыслительной деятельности...

В этой статье излагаются некоторые способы активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках математики и даны рекомендации их применения на уроках с целью развития творческой самостоятельности учащихся.

Совершенствование механизма обеспечения экономической...

Деятельность любой организации, даже с самой эффективной системой менеджмента, не может быть полностью предсказана, потому что каждый субъект экономики функционирует в условиях динамичности бизнес — среды.

Задать вопрос