Введение

Космическая инженерия — область, которая занимается проектированием, разработкой и испытанием космических систем, необходимых для осуществления миссий в космосе.

Вычисления используются в космической инженерии. Космос всегда завораживал людей. Без вычислений невозможно было бы построить ракету и запустить ее до нужной точки, нахождение марсоходом пути на чужой планете.

Тема данного проекта достаточно исследована. Однако в настоящее время проводится активное развитие комической отрасли, разработка новых космических объектов, и необходимо совершенствовать проведение точных расчетов.

Актуальность исследования обусловлена необходимостью изучения применения математических вычислений в космической инженерии в прошлом и в настоящее время с помощью современных технологий.

Объект исследования — математические вычисления, применяемые в космической инженерии.

Предмет исследования — процесс применения математических вычислений в процессе проектирования ракет, полетов и космических исследований.

Тип проекта: реферативно-исследовательский проект.

Цель исследования — изучить применение математических вычислений в космической инженерии.

Задачи исследования:

1. Сделать анализ литературы по вопросам применения математических вычислений в космической инженерии.
2. Проанализировать, какие вычисления были осуществлены для совершения первого полета человека в космос и других открытий.
3. Сделать обзор на электронно-вычислительную машину «Стрела» и другие технические разработки (компьютерные технологии, искусственный интеллект), которые применяются для проведения математических вычислений.
4. Сделать вывод, какое значение имеют математические вычисления для существования и развития космической инженерии.

Метод исследования: анализ научной литературы.

Гипотеза. Предполагаем, что математические вычисления играют значительную роль в космической инженерии.

1.1. Математика

В толковом словаре С. И. Ожегова указано, что математика является точной наукой, которая изучает количественные отношения и пространственные формы [7, с. 519].

Известно, что математика изучает количественные отношения и пространственные формы и общие закономерности, которые можно описать с помощью чисел, символов и логических правил.

1.2. Числа

В космической инженерии используются разные количественные характеристики, выраженные разными числами.

Рассмотрим, какими могут быть числа при вычислениях [9] .

1. Натуральными числами называются те числа, которые применяются для счета предметов [3].
2. Целые числа — это расширение множества натуральных чисел: к натуральным числам (1, 2, 3, 4...) добавляются их отрицательные значения (-1, -2, — 3, -4...) и ноль.
3. Дробные числа (дроби) — это не натуральные числа, которые можно записать как дробь. У них есть числитель (верхнее число) и знаменатель (нижнее число) [3].

Некоторые виды дробей:

— обыкновенные — числитель меньше знаменателя;

— неправильные — числитель больше знаменателя;

— смешанные числа — имеют две части: целую и дробную;

— десятичные — смешанные и обыкновенные дроби, которые записываются без знаменателя.

4. Дробные числа и иррациональные числа представляют собой дроби. Однако иррациональные числа выражены в виде бесконечной дроби (непрекращающийся остаток при делении). Иррациональные числа — это числа, которые невозможно представить в виде простой дроби, например, как или . Если их записать в виде десятичной дроби, она будет бесконечной и непериодической, то есть после запятой будет неограниченное количество цифр без какого-либо повторяющегося шаблона. Самой известным иррациональным числом является число  (отношение длины окружности к ее диаметру,   3,14…) [9].
5. Комплексные числа — это числа, которые состоят из двух частей: действительной и мнимой (обозначение: i). Комплексные числа применяются в различных областях математики, физики и электротехники, а также в экономике. Их уникальные свойства позволяют описывать явления, которые трудно или невозможно представить с помощью только реальных чисел [9].

1.3. Математические вычисления

1. Математическое вычисление — это процесс определения значений или результатов с использованием математических методов и алгоритмов.

Приведем пример математических вычислений:

В данном случае используется приведение к единому знаменателю, применение правила последовательности действий при вычислениях.

2. Математическая модель — система уравнений, которая отражает свойства объекта.

Приведем пример простой математической модели с двумя неизвестными ( х и y ). Такая математическая модель состоит из системы двух связанных уравнений. Математические модели часто используются при расчете связанных между собой характеристик (например, при сложных расчетах времени и скорости, времени и расстояния).

В настоящее время проводится изучение космоса. Современный исследователь Я. В. Жуков в своем исследовании применяет формулы с дробными числами и иллюстрирует результаты графиком [2]. Следовательно, применение чисел и действия с ними действительно проводятся с космической инженерии.

1.4. Математические вычисления в космической инженерии

В космической инженерии при решении задач проводятся вычисления с применением формул и с использованием систем уравнений, подобным рассмотренным ранее.

Формулы часто берутся из физических законов. Часто в данных формулах применяются коэффициенты (числовые множители).

Системы уравнений нередко имеют сложную форму. Для решения систем уравнений при решении задач космической инженерии часто нужно владеть глубокими знаниями математики, в том числе разделами высшей математики.

Таким образом, при проведении математических вычислений используются все виды чисел (натуральные, целые, дробные, иррациональные, комплексные)

2. Проект полета Ю. А. Гагарина в космос

Для отправки первого человека в космос (Юрия Алексеевича Гагарина на корабле «Восток») потребовалось решить ряд сложных математических задач, связанных с траекторией полета, расчетом топлива, характеристиками ракеты и другими параметрами. Эти вычисления легли в основу успешного запуска 12 апреля 1961 года.

С. П. Королев — первый инженер, сконструировавший первый в мире искусственный спутник Земли и первый космический корабль. Благодаря его таланту и знаниям наша страна стала первой космической державой [5, с. 45].

Ю. А. Гагарин облетел нашу планету за 1 час 48 минут и проторил дорогу в космос всему человечеству [5, с. 45].

Аэродинамика

Аэродинамика (от греч. «аэрос» — воздух, «динамис» — движение) — это раздел механики жидкости и газа, в котором изучаются законы движения воздуха (газа) и силы, возникающие на поверхности тел, обтекаемых воздухом (газом).

Выбор формы спускаемого аппарата. Конструкторы выбрали ассимметричную сферическую форму как наиболее хорошо изученную и имеющую стабильные аэродинамические характеристики [8].

Расчеты тепловых потоков при спуске. Проводились исследования по оценкам внешних тепловых потоков, температур наружных поверхностей, массы теплозащиты и максимальным перегрузкам в большом диапазоне значений.

Уточненные расчеты позволили снизить массу теплозащиты примерно в 2 раза [4].

Баллистика

Баллистика (от греч. «бросать») — наука о движении тел, брошенных в пространстве с действующим гравитационным полем и иными силами, основанная на математике и физике.

Ученые использовали методы космической баллистики для определения конца активного полета и факта вывода корабля на орбиту.

Ученый Игорь Яцунский поставил и решил задачу по определению траектории спуска [4].

2.1. Расчет траектории полета

Траектория полета включала несколько этапов: вертикальный выход из атмосферы, разгон по наклонной траектории, отключение двигателей, достижение апогея баллистической кривой, включение разгонного блока и выход на орбиту [8]. Для расчета использовались:

Законы Ньютона — описывали движение тела под действием сил.

1. Закон всемирного тяготения — учитывал гравитационное взаимодействие с Землей.
2. Уравнения Кеплера — помогали рассчитать орбиту.

Особое внимание уделялось выбору параметров орбиты (высота, наклонение), а также точному расчету момента включения и выключения двигателей. Необходимо было учесть, что неправильно выбранные скорость или точка выхода с орбиты могли привести к сгоранию аппарата в атмосфере или его «вечному кружению» вокруг Земли.

Расчеты траектории для полета Ю. А. Гагарина проводил, в частности, астроном Виталий Проскурин. В 1952 году он опубликовал работу о методах расчета траекторий искусственных спутников в условиях земного притяжения, которая оставалась актуальной и в эпоху первых космических полетов.

2.2. Формула К. Э. Циолковского

К. Э. Циолковский — основоположник космонавтики. Он придумал аэродинамическую трубу, спроектировал модель космического корабля и ракетного двигателя [5, с. 45]. В. С. Губарев отмечает исключительную целеустремленность этого ученого, так как К. Э. Циолковский одним из первых ставил цель — освоение космоса людьми [1].

Ключевую роль сыграла формула этого ученого, которая связывает конечную скорость ракеты с параметрами топлива и характеристиками двигателя. Формула Циолковского помогает определить, сколько топлива нужно ракете.

Она является главной формулой в ракетной технике и выглядит так:

V — конечная скорость ракеты;

I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

M ₀ M ₀ — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);

M ₁ M ₁ — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата).

Рассмотренная выше формула позволяет определить, сколько топлива нужно ракете для достижения необходимой скорости. В реальных условиях на ракету действуют не только тяга двигателей, но и другие силы (гравитация, сопротивление воздуха), поэтому расчетная скорость всегда будет меньше из-за потерь.

2.3. Расчет массы ракеты и ее ступеней

Ракета-носитель «Восток» была многоступенчатой (использовалась идея многоступенчатых ракет, предложенная К. Э. Циолковским). Это позволяло сбрасывать отработанные ступени и уменьшать общую массу конструкции, повышая эффективность полета. При расчетах учитывались:

— масса каждой ступени;

— характеристики двигателей;

— расход топлива на каждом этапе;

— изменение массы ракеты по мере сгорания топлива.

2.4. Аэродинамические и тепловые расчеты

При прохождении плотных слоев атмосферы (рис. 1) возникали аэродинамические нагрузки и тепловое воздействие.

Рис. 1. Движение ракеты по траектории

Требовалось рассчитать:

— аэродинамические силы, действующие на ракету на активном участке полета;

— тепловые потоки, которым будет подвергаться аппарат при входе в атмосферу;

— прочность конструкции, чтобы она выдержала перегрузки и температурные нагрузки.

Для правильного маневрирования (например, для торможения и снижения) нужны были вычисления, связанные с ориентацией корабля в пространстве. Например, для торможения требовалось правильно ориентировать корабль относительно Солнца с помощью системы ориентации, включавшей солнечный датчик и микродвигатели.

2.5. Использование электронной вычислительной машины

Расчеты для полета Ю. А. Гагарина проводились с помощью электронной вычислительной машины (ЭВМ) «Стрела» — первой советской серийной вычислительной машины [4]. До появления собственного компьютера в научно-исследовательском реактивном институте расчеты выполнялись вручную.

Особенностью «Стрелы» была гибкость системы команд — наличие нескольких типов групповых арифметических и логических операций, условных переходов и сменяемых стандартных программ позволяло создавать библиотеки прикладных программ объемом до 100 миллионов команд.

2.6. Дополнительные аспекты

Учитывались дополнительные аспекты [4, 8]. Рассмотрим их.

1. Влияние внешних факторов — учет возмущений от Солнца, Луны и неоднородности гравитационного поля Земли.
2. Время полета и этапы миссии — необходимо было рассчитать продолжительность каждого этапа полета, включая время на разгон, орбитальный полет и спуск.
3. Параметры посадки — расчет траектории спуска и места приземления.

Таким образом, при разработке проекта первого полета человека (Ю. А. Гагарина) в космос инженеры соблюдали множество характеристик ракеты и окружающей среды, проводили точные вычисления с использованием электронной вычислительной машины. Так точность и надежность расчетов стали ключевым фактором успеха первого пилотируемого полета в космос.

3. Роль математических вычислений в достижениях космической инженерии

Перечислим некоторые достижения советской космической инженерии [9].

1. СССР был запущен первый искусственный спутник Земли.
2. 12 апреля 1961 года, впервые в истории человечества, в космос на корабле «Восток» взлетел человек — советский космонавт Юрий Алексеевич Гагарин.
3. 18 марта 1965 года космонавт Алексей Архипович Леонов впервые вышел из корабля в открытый космос. Теперь на космических станциях в открытый космос выходят регулярно [9].

Указанные раннее достижения были бы невозможны без точных математических расчетов. Для запуска искусственного спутника весьма необходимо было вычислить массу и скорость. Для полета первого человека в космос вычислить характеристики ракеты (массу и длину каждой ступени, скорость и траекторию движения). Для выхода А. А. Леонова в открытый космос нужны были точные характеристики для запуска в космос и для обеспечения космонавта кислородом.

Достижения космической инженерии были бы невозможны без формул и точных математических вычислений.

4. Современное применение математических вычислений в космической инженерии. Компьютерные технологии и искусственный интеллект

Компьютерные технологии и искусственный интеллект (далее — ИИ) активно внедряются в космическую отрасль, особенно в процессах подготовки и запуска ракет.

Компьютерные технологии и ИИ при создании систем управления обеспечивают:

— мониторинг состояния всех систем;

— высокоскоростную передачу данных между элементами ракеты;

— диагностику неисправностей в реальном времени [2].

Математическое моделирование с использованием компьютерных технологий и ИИ позволяет:

— оптимизировать процессы двигателестроения;

— сократить количество испытаний;

— снизить затраты на разработку;

— повысить точность расчетов [2].

М. Ю. Овчинников и Д. С. Иванов в своей статье описывают свою работу в исследовательском институте. Они подчеркивают, что на данный момент необходимо развивать новые методы расчетов при создании новой техники, требуется развитие малогабаритных аппаратов, так как они должны быть жестко ограничены по массе [6]. Все перечисленные исследователями проблемы нуждаются в разработке новых подходов к обеспечению точности математических вычислений для обеспечения успешного изучения и освоения космоса.

В настоящее время происходит внедрение современных передовых технологий (компьютерные программы, ИИ) для активного развития космической отрасли.

Заключение

Без сложных расчетов и формул невозможно: построить и запустить ракету, вывести спутник на орбиту, отправить космический аппарат к другим планетам.

Изучая математику в школе, можно подготовиться к открытиям, например, рассчитать траекторию полета на Марс или спроектировать новый космический телескоп.

Наша гипотеза подтвердилась. Математические вычисления — это фундамент космической инженерии. Поэтому дорога в космос действительно начинается на Земле.

Цель нашего исследования достигнута. Мы изучили применение математических вычислений в космической инженерии. Проанализировали, какие вычисления были осуществлены для совершения первого полета человека в космос и других открытий. Сделан обзор на технические разработки, которые применялись и используются в настоящее время для проведения математических вычислений. Пришли к выводу, что точность математических вычислений в космической инженерии вычисления для существования и развития космической инженерии весьма важна.

В дальнейшем планируем углубить свои знания в применении формул при решении теоретических и практических задач.

Литература:

1. Губарев В. С. Эпоха Гагарина. Академия наук и освоение космоса. М.: Российская академия наук, 2021. 395 с.
2. Жуков Я. В. Математические методы максимизации производства ракет космического назначения в России // Научные труды Вольного экономического общества России. 2021. № 3. С. 330–341. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskie-metody-maksimizatsii-proizvodstva-raket-kosmicheskogo-naznacheniya-v-rossii (дата обращения: 23.03.2026).
3. Математика: 6-й класс: базовый уровень: учебник / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков [и др.]. — 4-е изд. М.: Просвещение, 2024. 160 с.
4. Миссия номер один: как СССР сумел вырваться вперед в космической гонке. URL: https://iz.ru/998408/arsenii-zamostianov/missiia-nomer-odin-kak-sssr-sumel-vyrvatsia-vpered-v-kosmicheskoi-gonke?ysclid=mn35lplu7j23771037 (дата обращения: 17.03.2026).
5. Моя страна — Россия. Энциклопедия российского школьника. М.: РОСМЭН. 2024. 48 c.
6. Овчинников М. Ю., Иванов Д. С. Математическое и компьютерное моделирование как неотъемлемый этап создания перспективных космических систем // Решетневские чтения. 2016. № 20. С. 643–645. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-i-kompyuternoe-modelirovanie-kak-neotemlemyy-etap-sozdaniya-perspektivnyh-kosmicheskih-sistem (дата обращения: 23.03.2026).
7. Ожегов С. И. Толковый словарь русского языка. М.: АСТ. Мир и образование. 27-е издание. 2013. 1360 с.
8. Полет Гагарина: История реальная и альтернативная. URL: https://habr.com/ru/articles/551898/ (дата обращения: 20.03.2026).
9. Спектор А. А. Большая энциклопедия школьника / А. А. Спектор. Минск: Хаверст. 2024. 160 с.