Введение

« Конформное отображение (конформное преобразование) — отображение одной области (в плоскости или в пространстве) на другую область, сохраняющее углы между кривыми» [2]. К сожалению, в школьной программе не предусмотрено глубокое изучение этой темы, поэтому многие учащиеся не имеют о ней почти никакого представления. Я выбрала эту тему, потому что конформные преобразования составляют основу для многих современных технологий — они используются в машинном обучении и компьютерной графике, что наглядно показывает практическую ценность абстрактной математики.

Актуальность работы заключается в том, что конформные преобразования иллюстрируют фундаментальную математическую идею: возможность решения сложной задачи путём её упрощения за счёт применения подходящего преобразования.

Цель статьи — исследовать свойства конформных отображений на примере некоторых функций комплексного переменного и наглядно представить их с помощью компьютерной визуализации.

I. Теоретическая часть

1.1 История изучения и условия конформности

От картографии к комплексному анализу. Начало теории конформных отображений положил Л. Эйлер в 1777 году, исследуя задачу переноса поверхности сферы на плоскость [2]. Он доказал, что идеально точного отображения не существует, и классифицировал проекции по сохраняемым свойствам: углы (конформные), площади (эквивалентные) или взаимная перпендикулярность меридианов и параллелей [8, с. 60].

Базовым примером конформного отображения является стереографическая проекция (рис. 1). Через точку на сфере (кроме северного полюса) и северный полюс проводится прямая, которая пересекает плоскость в точке-образе [4]. Это отображение сохраняет углы, но искажает площади — чем дальше от центра, тем сильнее растяжение [4].

Рис. 1. Пример стереографической проекции (рисунок взят из Сети)

Условия конформности. Любую комплексную функцию можно представить в виде , где — действительная часть, — мнимая часть, — мнимая единица. Для её дифференцируемости (аналитичности) в точке необходимо существование предела , который не должен зависеть от способа стремления к нулю в комплексной плоскости.

Это требование приводит к необходимым условиям дифференцируемости — условиям Коши — Римана [5]:

Если функция аналитична в области и её производная в точках области не равна нулю , то отображение является конформным , то есть сохраняет углы между кривыми [6, с. 24–25].

Соотношения, позднее названные условиями Коши — Римана, впервые появились у Д’Аламбера (1752) [5], а геометрический подход к конформным отображениям в работах Гаусса, подготовил почву для последующего синтеза идей комплексного анализа и геометрии [2].

Теорема Римана. Вершиной развития теории стала работа Б. Римана (1851 г.). Он доказал фундаментальную теорему: «Всякую односвязную область комплексной плоскости, граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга» [7, с. 49]. Единственное исключение — вся комплексная плоскость, поскольку её граница состоит всего из одной бесконечно удалённой точки [3, гл. 2].

Рис. 2. Визуализация теоремы Римана о отображении

Источник: https://mathematica.stackexchange.com/questions/210670/visualizing-the-riemanns-mapping-theorem?noredirect=1

Это теорема существования : она гарантирует возможность отображения, но не даёт готовой формулы [7, с. 49]. Её значение огромно: она позволяет изучать сложные физические процессы (гидродинамика, теплопроводность, теория упругости) на простой области-эталоне (единичном круге) с последующим переносом результатов на исходную область [2].

Таким образом, благодаря работам Эйлера, Коши, Гаусса и Римана конформные отображения превратились из инструмента картографии в фундаментальную математическую теорию с широкими приложениями.

1.2 Конформные преобразования стандартных областей

1.2.1 Линейное преобразование вида

Рассмотрим линейную функцию , где , — исходная точка, — её образ при данном преобразовании.

Конформность. Функция аналитична на всей комплексной плоскости, а её производная нигде не обращается в ноль. Согласно критерию конформности, такое отображение является конформным в каждой точке [7, с. 25].

Геометрическая интерпретация. Представим коэффициент в показательной форме [1]: , где .

Тогда линейное преобразование раскладывается в композицию следующих преобразований [3, гл.3]:

— гомотетия (масштабирование): (растяжение при или сжатие при относительно начала координат;

— поворот: на угол вокруг начала координат (следует из формулы Эйлера [6, c. 9];

— параллельный перенос на вектор, соответствующий комплексному числу : .

Композиция преобразований, сохраняющих углы, также сохраняет углы.

Вывод. Линейная функция конформна на всей комплексной плоскости, преобразует прямые в прямые, окружности в окружности [3, гл.3].

1.2.2 Дробно-линейное преобразование вида (инверсия)

Данное отображение является частным случаем дробно-линейного преобразования при .

Конформность. Функция аналитична при всех а ее производная не равна всюду на . Следовательно, отображение конформно в каждой точке области определения.

Геометрическая интерпретация. Запишем комплексное число в показательной форме [1], тогда .

Значит, преобразование состоит из двух геометрических операций [3, гл.3]:

— инверсия относительно единичной окружности ;

— симметрия относительно действительной оси .

Обе операции сохраняют углы, поэтому их композиция также конформна.

Круговое свойство. Отображение переводит окружности и прямые снова в окружности или прямые в зависимости от прохождения исходных линий через точку [3, гл. 3] (табл. 1).

Вывод. Функция конформна на всей комплексной плоскости, кроме точки и обладает круговым свойством.

Таблица 1

Преобразование кривых при отображении

Исходная линия в плоскости	Образ в плоскости
Прямая, проходящая через начало координат	Прямая, проходящая через начало координат
Прямая, не проходящая через начало координат	Окружность, проходящая через начало координат
Окружность, проходящая через начало координат	Прямая, не проходящая через начало координат
Окружность, не проходящая через начало координат	Окружность, не проходящая через начало координат

1.2.3 Дробно-линейное преобразование вида

Дробно-линейное преобразование можно представить как композицию линейного преобразования и инверсии , их композиция также конформна там, где определена.

Конформность. Функция аналитична во всех точках, кроме полюса Ее производная имеет вид:

Условие гарантирует, что производная не равна нулю всюду, где определена функция. Следовательно, отображение конформно во всех точках области определения [3, гл. 3]. Если , то функция вырождается в константу и не является взаимно-однозначной.

Особые точки. При точка является полюсом функции, в ней функция не определена, производная не существует, и конформность нарушается. Если , функция становится линейной: и конформна на всей комплексной плоскости.

Вывод. Дробно-линейная функция конформна во всех точках, кроме полюса

Геометрические свойства дробно-линейных преобразований

Круговое свойство . Каждое дробно-линейное отображение переводит любую окружность на комплексной плоскости снова в окружность (прямая считается окружностью бесконечного радиуса) [3, гл. 3]. Это следует из представления преобразования в виде композиции сдвига, масштабирования и инверсии ​ , каждое из которых сохраняет окружности и прямые:

В прямую переходят только линии, проходящие через полюс ​ [9, с. 10] (табл. 2).

Таблица 2

Преобразование линий при отображении

Исходная линия в плоскости	Образ в плоскости
Прямая, проходящая через полюс	Прямая
Прямая, не проходящая через полюс	Окружность
Окружность, проходящая через полюс	Прямая
Окружность, не проходящая через полюс	Окружность

Сохранение симметрии. Если две точки и симметричны относительно окружности , то их образы и будут симметричны относительно образа этой окружности [9, c.11]. Симметрия относительно окружности означает, что точки лежат на одном луче из центра по разные стороны от окружности, а произведение их расстояний до центра равно квадрату радиуса:

.

Инвариантность двойного отношения. Для любых четырёх попарно различных точек и их образов сохраняется двойное отношение [9, c.10]:

Это свойство является характеристическим: любое конформное отображение, сохраняющее двойное отношение для любых четырёх точек, обязательно является дробно-линейным.

Особые случаи дробно-линейных преобразований

Дробно-линейные отображения включают ряд важных частных случаев, решающих конкретные задачи конформного соответствия.

Отображение верхней полуплоскости на единичный круг. Преобразование верхней полуплоскости во внутренность единичного круга задается формулой [9, c.12]:

, , где

— любая точка верхней полуплоскости (она перейдёт в центр круга);

— сопряжённое к (перейдёт в бесконечность);

— поворот на угол .

Свойства отображения:

— действительная ось переходит в единичную окружность так как ;

— точка ​ переходит в центр круга ;

— для любой точки из верхней полуплоскости выполняется .

Частный случай . При и , получаем классическую формулу отображения: . Данное преобразование переводит точку на центр круга, а действительную ось на единичную окружность.

Отображение единичного круга на единичный круг. Преобразование, переводящее внутренность круга в себя, имеет вид [9, c.11]:

где:

​ —произвольная точка внутри исходного круга, которая отображается в центр ;

—угол поворота.

Для внутренних точек получаем , круг отображается на себя. А для границы сохраняется равенство .

Отображение верхней полуплоскости на себя. Преобразование, сохраняющее верхнюю полуплоскость , задаётся дробно-линейной функцией с вещественными коэффициентами [9, c.12]:

,

где условие является ключевым для сохранения ориентации и отображения верхней полуплоскости на себя.

Для наглядной демонстрации рассмотренных свойств перейдём к компьютерному моделированию.

II. Практическая часть

2.1. Классы конформных отображений, используемых для анализа

Конформные отображения, сохраняя углы между кривыми, могут существенно искажать форму и размеры фигур. Цель данного раздела — исследовать эти искажения на примере классических конформных отображений, рассмотренных в первой главе. Для анализа выбраны следующие исходные объекты в -плоскости:

— прямые — показывают искривление;

— окружности — иллюстрируют инверсию и круговое свойство;

— прямоугольная сетка — демонстрирует глобальную деформацию;

— треугольник — подтверждает сохранение углов.

2.1.1. Линейное преобразование вида

Линейное преобразование комплексной плоскости имеет вид: , где . Это преобразование является композицией трёх элементарных операций: поворот на угол , растяжение (гомотетия) с коэффициентом и параллельный перенос на вектор . Линейное преобразование конформно во всей плоскости: оно сохраняет прямые, окружности, углы между кривыми и отношения длин (подобие). Для детального исследования выбрано конкретное преобразование:

, где:

- растяжение в 2 раза и поворот на ;

-вектор сдвига.

1. Преобразование прямой линии

Исходная фигура — горизонтальная прямая , заданная уравнением Подставляя в и выделяя действительную и мнимую части, получаем параметрическое уравнение образа:

Обозначив , , находим зависимость

Вывод . Горизонтальная прямая переходит в прямую с наклоном , что соответствует повороту на . Точка на прямой переместилась из в (рис. 3).

2. Преобразование окружности

Для линейного преобразования окружность

переходит в окружность с новым центром и новым радиусом .

Исходная фигура —единичная окружность , ее центр

и радиус (рис. 3).

Вычисление образа. Новый центр: , новый радиус . Уравнение образа: или в декартовых координатах

Вывод. Единичная окружность перешла в окружность радиуса с центром в (рис. 3).

3. Преобразование прямоугольной сетки

Вертикальные прямые. Уравнение , где

уравнение образа: . Это семейство прямых с наклоном (рис. 3).

Горизонтальные прямые. Уравнение ​, где , уравнение образа: Это семейство прямых с наклоном .

Вывод. Прямоугольная сетка перешла в наклонную ортогональную сетку прямых и , конформность углов сохранились ( ).

Рис. 3. Исследование параметров линейного преобразования (создан с Python)

4. Преобразование треугольника

Исходная фигура — прямоугольный треугольник, расположенный в начале координат. Вершина — прямой угол , вершина

— угол , вершина — угол (рис. 4). Применим преобразование (*) к вершинам: , , .

Вывод. Углы треугольника сохранились, катеты растянулись в 2 раза , вершины сместились (рис. 4).

Рис. 4. Линейное преобразование треугольника (создан с Python)

Таблица 3

Сравнение исходных фигур и их образов при линейном преобразовании

Исходная фигура ( -плоскость)	Образ ( -плоскость)	Геометрическая интерпретация
Горизонтальная прямая ,	Прямая с наклоном ,	Поворот на 45° и сдвиг, точка переместилась из ( ) в
Окружность , центр , радиус	Окружность, центр , радиус ,	Центр сдвинут на вектор , радиус удвоен
Прямоугольная сетка (вертикали и горизонтали)	Наклонная ортогональная сетка и	Поворот на , сохранение углов, сохранение конформности
Треугольник , , , , ,	Преобразованный треугольник	Вершины сдвинуты, сохранение углов, растяжение катетов в 2 раза

2.1.2 Дробно-линейные преобразование вида (инверсия)

Инверсия , где является частным случаем дробно-линейного преобразования. Она осуществляет инверсию относительно единичной окружности: точка переходит в точку на том же луче, причём . Одновременно происходит симметрия относительно вещественной оси: . Отображение конформно, но меняет ориентацию и обладает круговым свойством. Неподвижными являются точки , а начало координат переходит в бесконечно удалённую точку расширенной комплексной плоскости.

1. Преобразование прямоугольной сетки

Исходная фигура — прямоугольная сетка, образованная семействами вертикальных и горизонтальных прямых (рис. 5).

Вертикальная прямая , . После постановки в ​, получаем уравнение образа . Каждая вертикальная прямая переходит в окружностьсцентром и радиусом .

Горизонтальная прямая , . Аналогично получаем Каждая горизонтальная прямая переходит в окружность с центром и радиусом .

Особые случаи. Оси координат переходят в себя; при окружности стягиваются в ; при вырождаются в прямые.

Вывод. Инверсия переводит прямоугольную сетку в два ортогональных семейства окружностей, проходящих через начало координат (рис. 5). Центры окружностей лежат на вещественной и мнимой осях. Ортогональность сетки сохраняется, что подтверждает конформность отображения.

Рис. 5. Преобразования прямоугольной сетки при инверсии (создан с Python)

2. Преобразование отдельных прямых

Исходные фигуры. Три характерные прямые: вертикальная, горизонтальная и проходящая через начало координат (рис. 6).

Вертикальная прямая уравнение . Подставляя в , получаем образ: окружность с центром радиусом Уравнение окружности или |w - 0.5| = 0.5.

Горизонтальная прямая , уравнение . Аналогично получаем образ: окружность с центром и радиусом , ее уравнение или в комплексном виде .

Прямая, проходящую через начало координат под углом : , уравнение Образ: ,

. Получаем прямую, проходящую через начало координат под углом . Параметрическое уравнение в комплексной форме или декартовых координатах

Вывод. Инверсия переводит прямые, не проходящие через начало координат, в окружности, проходящие через него, а прямые через начало координат — снова в прямые (с изменением угла наклона) (рис. 6). Это соответствует круговому свойству инверсии (табл. 1).

Рис. 6. Преобразования прямых при инверсии (создан с Python)

3. Преобразование окружностей

Исходные фигуры — три характерные окружности: единичная, смещённая (не проходящая через начало координат) и проходящая через начало координат.

Исходная фигура — единичная окружность с центром в начале координат и радиусом , уравнение в декартовых координатах . При инверсии , модуль преобразуется по правилу . Следовательно, единичная окружность отображается сама на себя. Образ: единичная окружность , центр , радиус , уравнение

Исходная фигура — окружность уравнение центр , радиус , не проходит через начало координат. Образ: окружность , уравнение центр радиус .

Важное замечание: центр исходной окружности переходит в точку (синяя точка на рис. 7), которая лежит внутри образа, но не является её геометрическим центром — это общее свойство инверсии.

Исходная фигура — окружность , уравнение , центр , радиус , проходит через начало координат, так как . Согласно круговому свойству инверсии (табл. 2), такая окружность переходит в прямую. Её уравнение: или .

Центр окружности переходит в точку — зеленая точка на рис 7.

Вывод. Инверсия переводит окружности, не проходящие через —в окружности; окружности, проходящие через 0 —в прямые; единичную окружность — в себя—круговое свойство инверсии (табл. 2, рис. 7).

Рис. 7. Преобразования окружностей при инверсии (создан с Python)

4. Преобразования треугольника

Исходная фигура — прямоугольный треугольник с вершинами , , и углами соответственно. При инверсии вершина , переходит в бесконечно удаленную точку . Вершина , переходит . Вершина переходит

Образ стороны —луч, начинающийся в точке и уходящий в вдоль вещественной оси. Образ стороны —луч, начинающийся в точке и уходящий в (вниз по мнимой оси). Образ стороны —дуга окружности, проходящей через точки и начало координат .Центр окружности , уравнение окружности: .

Сохранение углов. Касательная к окружности в точке имеет угол наклона , что вместе с горизонтальным лучом дает угол (при вершине ). Аналогично проверяется угол при . Угол при вершине сохраняется в бесконечности (лучи — образы сторон и перпендикулярны).

Вывод. Инверсия сохраняет углы треугольника, подтверждая конформность, но искажает его форму: одна вершина уходит в бесконечность, стороны становятся лучами и дугой окружности (рис. 8).

Рис. 8. Преобразования треугольника при инверсии (создан с Python)

Таблица 4

Сравнение исходных фигур и их образов при инверсии

Исходная фигура ( -плоскость)	Образ ( -плоскость)	Геометрическая интерпретация
Прямоугольная сетка	Два ортогональных семейства окружностей	Принцип двойственности инверсии между прямыми и окружностями
Прямая ,	Окружность , радиус , центр ,	Прямая, не проходящая через , переходит в окружность, проходящую через
Прямая ,	Окружность , радиус , центр ,	Прямая, не проходящая через , переходит в окружность, проходящую через
Прямая, проходящая ч/з , угол , ,	Прямая, проходящая через , угол	Прямая, проходящая через , отображается на прямую, проходящую через , угол наклона меняется на противоположный
Неподвижные точки	Неподвижные точки	Лежат на единичной окружности
Окружность центр , радиус	Окружность , центр , радиус	Единичная окружность инвариантна относительно инверсии
Окружность центр радиус	Окружность , центр радиус ,	Окружность, не проходящая через , переходит в другую окружность, также не проходящую через , образ центра в точке
Окружность, проходит ч/з , центр , радиус ,	Горизонтальная прямая ,	Окружность, проходящая через , переходит в прямую, не проходящую через , образ центра в точке
Треугольник , , (углы )	«Разорванная» фигура ,	, , —лучи, — дуга окружности. Углы сохранены, включая в бесконечности

2.1.3 Дробно-линейное преобразование вида

Функция конформна во всех точках , кроме полюса если . Для исследования выберем конкретное и важное преобразование , .

Оно конформно всюду, кроме полюса точка Точка переходит в центр круга .

Ключевое свойство — круговое: любая окружность или прямая отображается на окружность или прямую.

1. Преобразование отдельных прямых

Исходные фигуры — три характерные прямые: вертикальная, горизонтальная и прямая через начало координат. Ни одна из них не проходит через полюс , поэтому их образами будут окружности (рис. 9).

Вертикальная прямая уравнение . Образ: окружность с центром и радиусом . Уравнение , уравнение в комплексном виде .

Горизонтальная прямая уравнение . Образ: окружность с центром , радиус . Уравнение образа или , в комплексном виде .

Прямая , проходящую через начало координат под углом , ее уравнение , комплексная форма . Образ: окружность с центром радиусом , уравнение или

Вывод. Преобразование переводит прямые, не проходящие через полюс, в окружности, проходящие через образ бесконечно удалённой точки (табл. 2, рис. 9). Это иллюстрирует круговое свойство дробно-линейных отображений. Дополнительно, окружность — образ прямой проходит через точку (образ ), а окружность — образ прямой через (образ ).

Рис. 9. Преобразование прямых, не проходящих через полюс (создан с Python)

2. Преобразование вертикальной прямой, проходящей через полюс

Исходная фигура — вертикальная прямая (мнимая ось), уравнение Прямая проходит через полюс (при ), поэтому ее образ — прямая. Подставим в Это выражение — действительное число при всех . Значит, образ лежит на действительной оси плоскости

Вывод. Прямая , проходящая через полюс , отображается на действительную ось плоскости (табл. 2, рис. 10).

Рис. 10. Преобразование прямой, проходящей через полюс (создан с Python)

3. Преобразование окружностей

Исходные фигуры — две характерные окружности: проходящая через полюс и не проходящая через полюс (рис. 11).

Исходная фигура — единичная окружность , проходящая через полюс так как , с центром в начале координат и радиусом , . По круговому свойству дробно-линейных отображений, если линия проходит через полюс ( ), её образ переходит в прямую (мнимую ось) или .

Исходная фигура — окружность , не проходящая через полюс , ее центр , радиус , уравнение . Её образ также будет окружностью: с центром и радиусом Уравнение образа или .

Вывод. Преобразование переводит окружности, проходящие через полюс —в прямые, а непроходящие —в окружности (табл. 2, рис. 11).

Рис. 11. Преобразование окружностей (создан с Python)

4. Сохранение симметрии относительно окружности

Если две точки и ​ симметричны относительно некоторой окружности в плоскости то их образы и будут симметричны относительно образа этой окружности в плоскости Для точка, (вне окружности) симметрична точке (внутри окружности), так как и точки лежат на одном луче. При отображении получаем:

, координаты ,

координаты

Вывод. Симметрия относительно окружности переходит в симметрию относительно образа этой окружности (мнимая ось ) (рис. 12).

Рис. 12. Сохранение симметрии относительно окружности (создан с Python)

5. Инвариантность двойного отношения

Для любых четырёх попарно различных точек и их образов ​ их двойное отношение сохраняется:

Возьмем четыре точки на действительной оси:

Их двойное отношение

При отображении находим образы:

Вычисляем в плоскости:

Вывод. Двойное отношение осталось неизменным, что подтверждает характерное свойство дробно-линейных преобразований (рис. 13).

Рис. 13. Инвариантность двойного отношения (создан с Python)

Особые свойства дробно-линейного отображения

6. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг

Преобразование конформно отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг (рис. 14):

Верхняя полуплоскость переходит внутрь единичного круга . Действительная ось переходит в единичную окружность . Нижняя полуплоскость переходит во внешность этого же круга .

Характерные точки:

внутренняя точка переходит в центр розовая точка;

полюс уходит в бесконечность, синяя точка;

внутренняя точка попадает внутрь , зеленая точка;

точка на границе (действительная ось) попадает на границу круга , желтая точка;

внешняя красная точка переходит во внешность

Прямоугольная сетка верхней полуплоскости (вертикали и горизонтали ) переходит в ортогональную сетку окружностей, проходящие через точку образ бесконечно удалённой точки (рис. 14).

Рис. 14. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг (создан с Python)

7. Отображение единичного круга на единичный круг

Дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг на себя, имеет вид: , где произвольная точка внутри исходного круга, переходящая в центр , а — угол поворота.

Свойства преобразования: внутренность круга переходит во внутренность , граница отображается на границу

Рассмотрим преобразование: (внутри круга),

Так как вещественное, то

Преобразование принимает вид: .

Характерные точки (рис. 15):

(центр), (внутри круга), красная точка;

(внутри), (внутри круга), зеленая точка;

(граница), (на границе), синяя точка;

(внутри), (в центре), желтая точка.

Рис. 15. Отражение единичного круга на единичный круг (создан с Python)

Вывод. Преобразование отображает единичный круг на себя, сохраняя внутренность и границу и осуществляет поворот на против часовой стрелки. Точка переходит в центр . Близкие к ​ точки смещаются к центру, удаленные остаются ближе к границе (рис. 16).

Рис. 16. Отражение единичного круга на единичный круг (создан с Python)

8. Отображение верхней полуплоскости на себя

Дробно-линейное преобразование с вещественными коэффициентами и положительным определителем сохраняет верхнюю полуплоскость:

Рассмотрим ,

Для мнимая часть образа: .

Преобразование сохраняет верхнюю полуплоскость , значит .

Характерные точки и их образы (рис. 17):

точка является полюсом и переходит в бесконечность ;

точка переходит в начало координат ;

точка бесконечность переходит в конечную точку ;

точка переходит в точку на действительной оси ;

точка остается на действительной оси

точка остается на действительной оси ;

точка осталась в верхней полуплоскости ,

Рис. 17. Сохранение верхней полуплоскости (создан с Python)

Изменение сетки при дробно-линейном преобразовании

Горизонтали и вертикали переходят в окружности, проходящие через (образ бесконечности). Действительная ось остаётся на месте. Вблизи полюса линии сильно сжимаются, вдали остаются почти прямыми. Ортогональность сетки сохраняется, что подтверждает конформность.

Вывод. Преобразование сохраняет верхнюю полуплоскость и действительную ось, а прямоугольная сетка переходит в ортогональную сетку окружностей, сохраняя углы (рис. 17).

Таблица 5

Сравнение исходных фигур и их образов при дробно-линейном преобразовании

Исходная фигура ( -плоскость)	Образ ( -плоскость)	Геометрическая интерпретация
Круговое свойство дробно-линейного отображения
Точка (внутри)	Точка	Переходит в центр круга
Точка	Точка	Полюс отображения
Вертикальная прямая ,	Окружность с центром , радиус ,	Вертикальная прямая, не проходящая через полюс, перешла в окружность, проходящую через (образ бесконечности)
Горизонтальная прямая , ,	Окружность с центром радиус ,	Горизонтальная прямая, не проходящая через полюс, перешла в окружность, проходящую через (образ бесконечности)
Прямая через начало координат (угол ),	Окружность, с центром , радиус , ,	Прямая через , не проходящая через полюс, переходит в окружность, через (образ ) и (образ )
Прямая (мнимая ось), ,	Действительная ось , , ,	Прямая, проходящая через полюс, переходит в действительную ось
Окружность через полюс , центр , радиус ,	Прямая (мнимая ось) ,	Окружность, проходящая через полюс , перешла в прямую
Окружность, центр , радиус , не проходит ч/з полюс	Окружность, центр радиус ,	Окружность, не проходящая через полюс, осталась окружностью
Сохранение симметрии относительно окружности
Пара симметричных точек относительно окружности (вне) (внутри)	Образы точек: . Образ окружности: мнимая ось	Точки ​ и симметричны относительно мнимой оси — образа исходной окружности.
Инвариантность двойного отношения
Четыре точки на действительной оси	Образы точек:	Двойное отношение четырёх точек остаётся неизменным
Преобразование верхней полуплоскости и отображение в единичный круг
	,	Область сворачивается», её граница становится границей круга, точка становится центром
Прямоугольная сетка: , в	Ортогональная сеть окружностей, проходящие через точку	Исходная ортогональная сетка сохранила ортогональность (конформность)
Отображение единичного круга на единичный круг
Точки: центр, внутри, на границе, (внутри)	Образы точек: (внутри), (внутри), (на границе), (центр)	Преобразование отражает единичный круг на себя
Отображение верхней полуплоскости на себя
Точки:	Образы точек:	Преобразование сохраняет верхнюю полуплоскость и отображает действительную ось и верхнюю полуплоскость на себя
Верхняя полуплоскость , Действительная ось	Верхняя полуплоскость Действительная ось	Верхняя полуплоскость неравномерно сжимается к отрезку на действительной оси. Действительная ось отображается на себя
Изменение сетки
Прямоугольная сетка:	Ортогональная сетка окружностей	Сжатие сетки неравномерно, сильнее к полюсу, конформность сохраняется
Горизонтали , вертикали	Окружность, проходящая через	Прямые превращаются в окружность, проходящие через образ бесконечности

Заключение

Целью статьи было изучение функций комплексного переменного через понимание важнейшего свойства конформности. В ходе работы эта цель была достигнута и свойства наглядно визуализированы.

В теоретической части проекта особое внимание уделено классификации и геометрической интерпретации основных видов конформных преобразований: линейных, инверсии и дробно-линейных.

Проведённые вычисления и визуализации в практической части наглядно демонстрируют, что каждое преобразование обладает уникальными геометрическими свойствами: линейные сохраняют параллельность и подобие, инверсия превращает окружности и прямые друг в друга, а дробно-линейные сочетают оба этих действия, сохраняя при этом верхнюю полуплоскость или единичный круг. Таким образом, работа подтвердила, что конформные преобразования, могут кардинально изменять геометрию объекта, сохраняя при этом его внутреннюю структуру.

Практическая значимость статьи заключается в том, что созданные визуализации могут быть использованы как учебные пособия на занятиях по комплексному анализу, помогая учащимся преодолеть абстрактность темы.

Литература:

1. Комплексные числа для чайников. Мнимая единица, действия с комплексными числами, комплексно сопряженные числа [Электронный ресурс] // MathProfi. — URL: Комплексные числа для чайников (дата обращения: 21.03.2026).

2. Конформное отображение // Большая российская энциклопедия [Электронный ресурс]. — URL: Конформное отображение. Большая российская энциклопедия (дата обращения: 21.03.2026).

3. Конформные отображения [Электронный ресурс] // VMath: учебники по высшей математике. — URL: Глава 2. Функции комплексного переменного [VMath] Глава 3. Конформные отображения [VMath] (дата обращения: 21.03.2026).

4. Стереографическая проекция [Электронный ресурс] // Википедия. — URL: Стереографическая проекция — Википедия (дата обращения: 21.03.2026).

5. Условия Коши — Римана [Электронный ресурс] // РУВИКИ. — URL: Условия Коши — Римана — Рувики: Интернет-энциклопедия (дата обращения: 21.03.2026).

6. Ахтамова, С. С. Теория функций комплексного переменного: учебно-методическое пособие / С. С. Ахтамова, Л. Н. Бадуленко. — Красноярск: Сиб. федерал. ун-т, 2018. — 80 с. — ISBN 978–5-7638–3925–8. [Электронный ресурс]: URL: *<4D6963726F736F667420576F7264202D20D2D4CACF20C0F5F2E0ECEEE2E02E646F63>(дата обращения: 21.03.2026).

7. Волков В. Т., Минаев Д. В., Могилевский И. Е., Попов В. Ю., Шапкина Н. Е. Теория функций комплексной переменной с примерами и задачами: пособие по математике для студентов физических, физико-математических и инженерных специальностей [Электронный ресурс] / Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Физический факультет. — Москва: МГУ, 2024. — 201 с. — URL: 1_TFKP.dvi (дата обращения: 21.03.2026).

8. Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера (1707–1783): сборник научных статей [Электронный ресурс] / М-во образования и науки РФ, Оренбургский гос. пед. ун-т; отв. ред. Г. П. Матвиевская. — Вып. 5. — Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2006. — 108 с.: ил. — URL: Microsoft Word — euler_5_2006.doc (дата обращения: 21.03.2026).

9. Методическое пособие по теории функций комплексного переменного (ТФКП) [Электронный ресурс] / А. В. Ростовцев [и др.]; Министерство образования и науки РФ, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ингушский государственный университет». — Магас: ИнгГУ, 2018. — 104 с. — URL: https://inggu.ru/images/documents/inf_sait_2018_opop/matematika/metodicheskoe_posobie_po_tfkp.pdf (дата обращения: 21.03.2026).