Решение задач арифметическим методом



Эта статья была задумана в помощь для подготовки к экзамену по базовой математике, а также по физике. Она представляет интерес и для более широкого круга учителей, и учеников.

В ней можно почерпнуть полезные примеры и задачи, которые можно использовать как непосредственно на уроке, так и при организации факультативных занятий.

В 80-х годах ХХ в. интерес к решению задач арифметическими методами несколько ослаб. Распространилось мнение, что решение трудных задач арифметическими методами излишне ввиду существования более сильного метода решения задач с помощью составления уравнений.

В настоящее время решение задач арифметическим методом становится снова популярным. Так в базовом ЕГЭ по математике задачи решаются именно арифметическим методом.

Однако оказалось, что решение задач только алгебраическим методом ведет к одностороннему развитию учащихся, и к тому же для самого составления уравнений часто требуется достаточное арифметическое развитие в понимании арифметических соотношений между числами и зависимостями между величинами. Кроме того, существует ряд арифметических задач, решение которых чисто и методами изящнее и проще, чем метод уравнений.

Предлагаемая вниманию статья с арифметическими задачами предназначена для учителей математики, физики и для любителей арифметики.

Предлагаю задачи на восстановление числа, по немногим сохранившимся цифрам. Все задачи снабжены подробными решениями.

Задачи I типа:

Задача 1 : Найдите целое число, которое в 7 раз более цифры его единиц.

Решение: Если от неизвестного числа отнять число его единиц, то получится число, оканчивающееся нулем и в 6 раз большее числа единиц неизвестного числа. Из чисел, оканчивающихся нулем и дающих при делении на 6 целое однозначное число, можно указать только 30, тогда само неизвестное число равно 35.

Задача 2 : Найти двузначное число, сумма цифр которого 13, а разность между искомым числом и числом, полученным перестановкой цифр, выражается числом, цифра единиц которого 7.

Решение: Разность между двузначным числом и числом, полученным перестановкой его цифр, равна удевятеренной разности числа десятков и единиц.

Из второго условия задачи следует, что удевятеренная разность числа десятков и единиц выражается числом, цифра единиц которого 7; кроме того, это число кратно 9, и так как оно оканчивается на 7, то должно быть 27. Таким образом, имеем: разность числа десятков и единиц равна 3, а сумма равна 13; следовательно, число десятков равно 8, а единиц 5. Искомое число — 85.

Задача 3: Найти двузначное число, сумма цифр которого равна 14 и которое на 36 больше числа, изображенного теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение : Из условия задачи следует, что удевятеренная разность числа десятков и единиц равна 36, т. е. разность числа десятков и единиц составляет 4, а сумма 14; отсюда следует, что число десятков 9, а единиц 5. Искомое число 95.

Далее рассмотрим задачи II типа:

Задача 1: Из города А вышел в город В поезд со скоростью 40 км в час. Спустя некоторое время, из города А отошел по тому же направлению второй поезд со скоростью 60 км в час, который должен был прибыть в В одновременно с первым.

Но первый поезд, пройдя 3/4 пути, уменьшил свою скорость на половину, и благодаря этому второй поезд догнал первый в 45 км от В. Определить расстояние между городами А и В.

Решение: Второй поезд шел все время со скоростью 60 км в час и должен был прибыть в В через 45 минут (время, необходимое второму поезду для прохождения 45 км). После того, как он догнал первый поезд в пункте С. Если бы первый поезд шел все время с со скоростью 40 км в час, то оба поезда пришли бы в В через 45 минут после их встречи в С. Но так как скорость первого поезда уменьшилась, то он прибудет в В только через два с четвертью часа (45:20), значит, на 1,5 часа позже. Опоздание на 1,5 часа произошло вследствие уменьшения скорости первого поезда вдвое на четвертой четверти всего пути от А до В. Отсюда следует, что со скоростью в 40 км в час поезд прошел бы четвертую часть пути за 1,5 часа. Значит четвертая часть пути составляет 60 км, а все расстояние между городами А и В равно 240 км.

Задача 2: Двум братьям требовалось быть на железнодорожной станции в 4 км от дома. Поспеть к отходу поезда возможно было только, если ехать на велосипедах; но у старшего брата велосипед оказался в неисправности. Если идти пешком, то опоздаешь на 10 минут. Однако они оба одновременно и за 10 минут до отхода поезда попали на станцию. Определить как должны были поступить они, если ходьба пешком втрое медленнее, чем езда на велосипеде, и если ехать на велосипеде вдвоем нельзя.

Решение: Выходом из положения служит поочередное использование велосипеда. Первый километр едет на велосипеде младший брат, а старший идет пешком. Доехав до начала второго километра (к этому моменту старший брат проходит

км), младший брат оставляет велосипед и продолжает идти пешком. Старший брат, дойдя до велосипеда (в это время младший брат пройдет второго километра), садится на него и доезжает до конца второго километра в тот момент, когда младший брат доходит также до этого конца. Таким образом братья добираются одновременно до конца второго километра. Следовательно, и следующие 2 км они проедают так же, как и первые два, и попадут на станцию одновременно. Остается определить, с какой скоростью надо было ехать на велосипеде, чтобы успеть на станцию за 10 минут до отхода поезда. Если идти пешком, то опоздаешь на 10 минут. Фактически же братья прибывают на станцию на 10 минут раньше; значит, оттого, что 2 км из всего пути братья проезжают на велосипеде, а не проходят пешком, получается экономия в 20 минут. Эти 2 км велосипедист проезжает за время, в которое пешеход успевает пройти км, значит, на остающиеся 1 км пешеход затрачивает 20 минут, следовательно, в час он проходит 4 км, а отсюда скорость велосипедиста равна 12 км в час.

Задача 3: По железной дороге, соединяющей города А, В. И С, движутся два поезда: первый из А в В, второй из В в С. В городе В были даны два пушечных выстрела, с промежутком в 8 мин. 9 сек.. Пассажир М, ехавший на первом поезде из А в В, услышал второй выстрел, спустя 7 мин. 54 сек. после того, как слышал первый; пассажир N, ехавший на другом поезде (из В в С), мог бы услышать второй выстрел, спустя 8 мин. 18 секунд после того, как слышал первый выстрел. Предполагая, что каждый поезд двигался равномерно, и зная, что звук распространяется ос скоростью 337,33 м в секунду, определить скорость обоих поездов.

Решение: Если бы первый поезд не двигался с места, то пассажир М должен был услышать второй выстрел через 8 минут 9. Но он услышал второй выстрел на 15 секунд раньше, Это произошло оттого, что при движении навстречу второму выстрелу сократилось расстояние между ним и пушкой на столько метров, сколько звук проходит за 15 секунд, то есть на 15 = 5060 м. Это расстояние поезд прошел за 7 минут 54 сек., делая, значит, в час (км). Рассуждая аналогично, найдем, что скорость второго поезда равна (км в час)

Литература:

1. Гурьев П. С., Арифметические листки, 1832 г.
2. Бугаев Н. В., Задачник арифметических целых чисел, 1874 г.
3. Иваницкий А., Собрание арифметических задач, 1874 г.
4. Евтушевский В. А., Собрание арифметических и числовых примеров, 1880 г.
5. Каменский А. П. И Либерман И. Н., Сборник задач и упражнений по арифметике, 1939 г.
6. Чекмарев Я. Ф. И Филичев С. В., Сборник арифметических задач для педагогических училищ, 1939 г.
7. Перельман Я. И., Занимательная арифметика, 1926 г.