Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (82) январь-2 2015 г.

Дата публикации: 19.01.2015

Статья просмотрена: 510 раз

Библиографическое описание:

Баеков Ш. Г. Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней // Молодой ученый. — 2015. — №2. — С. 1-5. — URL https://moluch.ru/archive/82/15086/ (дата обращения: 15.08.2018).

В данной работе выведены формулы для объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней. Полученные формулы могут быть использованы для решения различных задач, в частности при n=2 и n=3 в школьном курсе геометрии.

 

Для нахождения площади треугольника, стороны которого заданы уравнениями где  известна формула

,                                                                                                             (1)

где , а - алгебраическое дополнение элемента . [1, c. 54]

Лемма. Для невырожденной квадратной матрицы  порядка  выполняется следующее равенство

,

где - алгебраическое дополнение элемента

Доказательство. Используя невырожденность матрицы , получим:

Откуда следует:

Теорема 1. Пусть гиперграни n-мерного симплекса заданы уравнениями

,

тогда объем симплекса будет равен

                                                                                         (2)

где  и - алгебраическое дополнение элемента

Доказательство. Пусть – гипергрань симплекса в гиперплоскости, заданной уравнением  где , – вершины симплекса, причем для  выполняется условие

.

В частности для вершины получим:

Решая систему по формулам Крамера, найдем координаты вершины в виде:

.

Аналогично найдем координаты вершин, где :

.

Подставив координаты вершин, где , в известную формулу для объема n-мерного симплекса

,

получим:

.

Данное выражение преобразуем к более компактному виду:

Откуда, используя лемму и обозначения данной теоремы, получим искомую формулу (2):

или

Теорема 2. Пусть -гиперграни n-мерного параллелепипеда заданы уравнениями

где , причем, и параллельны между собой, тогда объем n-мерного параллелепипеда будет равен

                                                             (3)

где , где

Доказательство. Перейдем от координат  к новым координатам  по формуле:

.                                                                           (4)

Якобиан преобразования (4) имеет вид:

.

После преобразования (4) получим прямоугольный n-мерный параллелепипед, уравнения гиперграней  которого, имеют вид:

.

Объем этого параллелепипеда равен:

. (5)

Искомый объем и  связаны формулой:

.

Учитывая формулу (5), получим искомый объем  n-мерного параллелепипеда:

.

Полученные формулы (2) и (3) применяются при решении различных задач. Заметим, что применение формул (2) и (3) является более рациональным и избавляет от трудоемких вычислений по сравнению со стандартными методами решений.

Задача 1. Докажите формулу

для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

Задача 2. Докажите формулу

для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостями  и .

Решение. При n=3 вычислим определители :

 

найдем объем данной пирамиды по формуле (2) при n=3:

Задача 1 получается из задачи 2, при .

Задача 3. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостями , ,  и

Решение. Вычислим определители :

или

Найдем объем пирамиды по формуле (3) при n=3:

 или .

Задача 4. Вычислить объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями  , ,  и .

Решение. Применим формулу (3) при n=3, получим:

 или .

 

Литература:

 

1.                  В. А. Садовничий, А. С. Подколзин. Задачи студенческих олимпиад по математике. М.: Наука, 1978.

2.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/simplex

3.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/parallelepiped

4.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/Jacobian

Основные термины (генерируются автоматически): формула, объем, n-мерного параллелепипед, алгебраическое дополнение элемента, задача, n-мерного симплекс, ограниченная плоскость, координата вершин, пирамида, решение.


Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Точки M и N — середины рёбер CD и AB соответственно, NT — высота пирамиды с вершиной N и основанием

Если координаты равны, то точки совпадают. Реализация решения задачи данным

Интерактивный подход к обучению решения задач двойственным симплекс-методом.

Решение транспортных задач с использованием свойств...

Проводится анализ методов решения транспортных задач с помощью гиперкуба, математических формул и САПР

На самом деле, количество измерений не ограничено, в

Уравнение 500-x-y-z определяет плоскость (RGH), пересекающую параллелепипед в точках...

Основные методы изучения объемов многогранников

Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса. По этому определению каждая пирамида также

Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней.

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой...

Поэтому решение экстремальных задач геометрии актуально и немаловажно не только с

В частности, в случае плоской фигуры при введении полярной системы координат опорная

При этом радиус кривизны фигуры в каждой точке вычисляется по формуле: , и в силу выпуклости...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Опыт решения задач распознавания свидетельствует о том, что часто основная

В изучении проблемы коррекции несовместных систем линейных алгебраических

пространство, элемент, класс, исходная задача, задача, вектор, система, n-мерного пространство.

Шаг в многомерное пространство

Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины — их 8, ребра(отрезки)

Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного

Развертка четырехмерного куба. Задача. Представим себе, что четырёхмерный куб сделан из...

GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках...

Решение: Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла.

Теория решения изобретательских задач (ТРИЗ) как педагогическая технология на уроках химии.

Аппроксимация трехпараметрического множества...

Как правило, при решении прикладных задач необходимо определить точечные и интервальные оценки

Решив каждую из этих систем, получим координаты соответствующей вершины.

Для того чтобы натянуть на параллелепипед эллипсоид минимального объема, найдем...

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Точки M и N — середины рёбер CD и AB соответственно, NT — высота пирамиды с вершиной N и основанием

Если координаты равны, то точки совпадают. Реализация решения задачи данным

Интерактивный подход к обучению решения задач двойственным симплекс-методом.

Решение транспортных задач с использованием свойств...

Проводится анализ методов решения транспортных задач с помощью гиперкуба, математических формул и САПР

На самом деле, количество измерений не ограничено, в

Уравнение 500-x-y-z определяет плоскость (RGH), пересекающую параллелепипед в точках...

Основные методы изучения объемов многогранников

Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса. По этому определению каждая пирамида также

Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней.

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой...

Поэтому решение экстремальных задач геометрии актуально и немаловажно не только с

В частности, в случае плоской фигуры при введении полярной системы координат опорная

При этом радиус кривизны фигуры в каждой точке вычисляется по формуле: , и в силу выпуклости...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Опыт решения задач распознавания свидетельствует о том, что часто основная

В изучении проблемы коррекции несовместных систем линейных алгебраических

пространство, элемент, класс, исходная задача, задача, вектор, система, n-мерного пространство.

Шаг в многомерное пространство

Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины — их 8, ребра(отрезки)

Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного

Развертка четырехмерного куба. Задача. Представим себе, что четырёхмерный куб сделан из...

GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках...

Решение: Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла.

Теория решения изобретательских задач (ТРИЗ) как педагогическая технология на уроках химии.

Аппроксимация трехпараметрического множества...

Как правило, при решении прикладных задач необходимо определить точечные и интервальные оценки

Решив каждую из этих систем, получим координаты соответствующей вершины.

Для того чтобы натянуть на параллелепипед эллипсоид минимального объема, найдем...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Точки M и N — середины рёбер CD и AB соответственно, NT — высота пирамиды с вершиной N и основанием

Если координаты равны, то точки совпадают. Реализация решения задачи данным

Интерактивный подход к обучению решения задач двойственным симплекс-методом.

Решение транспортных задач с использованием свойств...

Проводится анализ методов решения транспортных задач с помощью гиперкуба, математических формул и САПР

На самом деле, количество измерений не ограничено, в

Уравнение 500-x-y-z определяет плоскость (RGH), пересекающую параллелепипед в точках...

Основные методы изучения объемов многогранников

Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса. По этому определению каждая пирамида также

Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней.

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой...

Поэтому решение экстремальных задач геометрии актуально и немаловажно не только с

В частности, в случае плоской фигуры при введении полярной системы координат опорная

При этом радиус кривизны фигуры в каждой точке вычисляется по формуле: , и в силу выпуклости...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Опыт решения задач распознавания свидетельствует о том, что часто основная

В изучении проблемы коррекции несовместных систем линейных алгебраических

пространство, элемент, класс, исходная задача, задача, вектор, система, n-мерного пространство.

Шаг в многомерное пространство

Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины — их 8, ребра(отрезки)

Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного

Развертка четырехмерного куба. Задача. Представим себе, что четырёхмерный куб сделан из...

GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках...

Решение: Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла.

Теория решения изобретательских задач (ТРИЗ) как педагогическая технология на уроках химии.

Аппроксимация трехпараметрического множества...

Как правило, при решении прикладных задач необходимо определить точечные и интервальные оценки

Решив каждую из этих систем, получим координаты соответствующей вершины.

Для того чтобы натянуть на параллелепипед эллипсоид минимального объема, найдем...

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Точки M и N — середины рёбер CD и AB соответственно, NT — высота пирамиды с вершиной N и основанием

Если координаты равны, то точки совпадают. Реализация решения задачи данным

Интерактивный подход к обучению решения задач двойственным симплекс-методом.

Решение транспортных задач с использованием свойств...

Проводится анализ методов решения транспортных задач с помощью гиперкуба, математических формул и САПР

На самом деле, количество измерений не ограничено, в

Уравнение 500-x-y-z определяет плоскость (RGH), пересекающую параллелепипед в точках...

Основные методы изучения объемов многогранников

Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса. По этому определению каждая пирамида также

Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней.

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой...

Поэтому решение экстремальных задач геометрии актуально и немаловажно не только с

В частности, в случае плоской фигуры при введении полярной системы координат опорная

При этом радиус кривизны фигуры в каждой точке вычисляется по формуле: , и в силу выпуклости...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Опыт решения задач распознавания свидетельствует о том, что часто основная

В изучении проблемы коррекции несовместных систем линейных алгебраических

пространство, элемент, класс, исходная задача, задача, вектор, система, n-мерного пространство.

Шаг в многомерное пространство

Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины — их 8, ребра(отрезки)

Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного

Развертка четырехмерного куба. Задача. Представим себе, что четырёхмерный куб сделан из...

GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках...

Решение: Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла.

Теория решения изобретательских задач (ТРИЗ) как педагогическая технология на уроках химии.

Аппроксимация трехпараметрического множества...

Как правило, при решении прикладных задач необходимо определить точечные и интервальные оценки

Решив каждую из этих систем, получим координаты соответствующей вершины.

Для того чтобы натянуть на параллелепипед эллипсоид минимального объема, найдем...

Задать вопрос