Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования UCA Root Rare в пакете Mathcad | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 28 декабря, печатный экземпляр отправим 1 января.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №14 (73) сентябрь-1 2014 г.

Дата публикации: 29.08.2014

Статья просмотрена: 1524 раза

Библиографическое описание:

Коробков, М. А. Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования UCA Root Rare в пакете Mathcad / М. А. Коробков. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2014. — № 14 (73). — С. 54-56. — URL: https://moluch.ru/archive/73/12348/ (дата обращения: 16.12.2024).

Рассмотрены два метода нахождения корней полинома, получаемого при выполнении алгоритма редукции ранга для пеленгования источников радиоизлучения UCA‑Root‑Rare. Продемонстрированы результаты численного моделирования. Приведён соответствующий листинг программ в пакете Mathcad.

Ключевые слова: UCA‑Root‑Rare, полином, Mathcad, polyroots, roots.

Введение. Определённый подкласс быстрых корреляционных алгоритмов оценивания координат источников излучения (ИИ), требует для своего применения выполнения поиска корней полиномов, степень, а соответственно и число корней, которых, в некоторых случаях, может быть более . В таких случаях, некоторые встроенные корни функции Mathcad не позволяют выполнить поиск решений.

Цель работы — используя свойства полинома, получаемого при выполнении алгоритма UCA‑Root‑Rare (Rare‑полином) [1], найти решения Rare‑полинома при помощи встроенных функций пакета Mathcad для произвольной степени полинома.

1.Алгоритм UCA‑Root‑Rare. Вычисление координат ИИ, в данном случае азимута, при помощи алгоритма UCA‑Root‑Rare, выполняется путём нахождения корней следующего полиномиального уравнения:

,                                                                      (1)

где  — определитель матрицы,

                                                                                                     (2)

матрица размера ,

                                                                                  (3)

диагональная матрица размера ,  оператор диагонализации элементов,

.                                                                                                                              (4)

 — это  матрица отражений или антидиагональная единичная матрица:

.                                                                                                         (5)

Используя (1)‑(3) и (5) матрица  для  будет иметь следующий вид:

.                                                                                                          (6)

Матрица  — это матрица собственных векторов, соответствующих подпространству шума корреляционной матрицы данных в пространстве лучей [2].

Исследование уравнения (1) показывает, что степень полинома будет , а следовательно уже для  число корней Rare‑полинома будет равным .

2. Встроенные функции пакета Mathcad. Встроенные функции Mathcad в состоянии решить любое алгебраическое уравнение. Для решения уравнения с одним неизвестным можно использовать функции root и polyroots. Mathcad решает уравнения итерационным методом, поэтому перед решением необходимо задать начальное приближение для всех корней [3].

2.А. Функция root.

Функция root используется для решения одного уравнения с одним неизвестным. Обращение к функции: root(f(x)), где  — выражение, равное нулю;  — аргумент, варьируя который, система ищет значение, обращающее функцию в нуль. Функция  и аргумент  должны быть скалярами, то есть результат вычисления функции — число, а не вектор или матрица. Функция root использует итерационный метод секущих. Корень уравнения — ближайшее к начальному приближению значение , обращающее функцию  в нуль. Если корней несколько, для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение. Если уравнение не имеет действительных корней, то есть функция  нигде не равна нулю, то Mathcad выводит комплексное число [3].

2.А. Функция polyroots

Для нахождения корней полинома можно использовать функцию polyroots(K), которая определяет все корни полинома одновременно. Здесь  — вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. Если полином имеет  корней (с учетом кратности), то вектор  включает в себя  коэффициент. Начальное приближение вводить не надо. Следует обратить внимание, что вектор  должен содержать от  до  коэффициентов.

3. Получение оценок. Вэтом разделе рассматриваются оценки, получаемые при решении уравнения (1) при помощи функций polyroots и root.

3.А. Получение решений при помощи функции polyroots.

Как говорилось ранее, функция polyroots работает только с полиномами, степень которых не превышает . Накладываемое функцией polyroots ограничение позволяет применять её для решения уравнения (1) в случае, если параметр размера  матрицы  не превышает , что будет соответствовать  корням. Для  применение функции polyroots невозможно, поскольку в этом случае степень Rare‑полинома превышает значение  и будет больше . Решения уравнения (1) при помощи функции polyroots показаны на рисунке 1 а), где крестиком обозначены истинные координаты азимута трех источников, кружками обозначены корни уравнения (1), пунктирной линией показана единичная окружность.

                                           а)                                                                         б)

Рис. 1. Решения Rare‑полинома при помощи функции: а) polyroots, ; б) root, . Азимут источников излучения , , .

3.А. Получение решений при помощи функции root.

Исследование уравнения (1) показывает, что истинными оценками азимута будут являться только те корни, которые максимально близко расположены к единичной окружности. Следовательно, для поиска корней полинома степени большей, чем  можно применить функцию root, ограничив область поиска значениями, лежащими на единичной окружности взяв их с некоторым шагом. Для комплексной плоскости этим значениям будет соответствовать некоторый угол , косинус которого будет соответствовать действительной части числа, а синус мнимой. Ниже приведён листинг программы в пакете Mathcad реализующий поиск корней Rare‑полинома произвольной степени при помощи функции root.

Листинг 1. Нахождение корней Rare‑полинома произвольной степени

где  — это соответствующий полном уравнения (1). В случае, если заданы только коэффициенты полинома, то необходимо преобразовать функцию  в выражение, используя, например, следующий листинг:

Листинг 2. Преобразование коэффициентов полинома в выражение

где  — это переменная полинома,  — вектор столбец из действительных частей коэффициентов полинома,  — вектор столбец из мнимых частей полинома. После применения листинга 2 необходимо выполнить листинг 1. Соответствующее решение уравнения (1) показаны на рисунке 1 б).

Одним из свойств корней Rare‑полинома, является то, что все его корни обладают так называемым свойством взаимной сопряжённости, которое означает, что если  — это корень полинома, то  также будет корнем полинома [4]. Иными словами, корни симметричны относительно единичной окружности, что можно наблюдать на рисунке 1 а). Для корней вблизи центра окружности, их  парные корни находятся за пределами области построения графика, и охватывают окружность с наружи таким же плотным кольцом, как и корни вблизи центра окружности.

Поиск корней по методу, приведённому в листингах 1 и 2, даёт только один корень. Учитывать корень  нет необходимости, однако при желании это возможно сделать, просто выполнив операцию  для каждого найденного решения.

Следует также обратить внимание, на то, что полученные решения по листингам 1 и 2 получаются несколько искажёнными, а кольцо вблизи центра окружности на рисунке 1 б) имеет деформацию, в отличие от аналогичного кольца на рисунке 1 а). Такое различие может быть вызвано как большой дискретностью шага поиска, так и отличием методов поиска решений функций polyroots иroot.

Заключение. В статье были рассмотрены два варианта нахождения корней полинома, получаемого в результате нахождения определителя в уравнении (1). Приведён соответствующий листинг предлагаемых методов. На численном примере в графическом отображении показаны отличия, между нахождением корней полинома стандартными функциями пакета Mathcad polyroots иroot.

Литература:

1.         Pesavento M., Böhme J. F. Direction of arrival estimation in uniform circular arrays composed of directional elements // Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop. 2002. No 8. P. 503–507.

2.         Marple L. Digital spectral analysis with applications. New Jersey: Prentice-Hall, 1987. P. 492.

3.         Макаров Е. Инженерные расчёты в Mathcad 15: Учебный курс — Спб.: Питер, 2011. — 400 с.: ил.

4.         Li. H. Y., Xie J. L., He Z. S. A fast DOA estimation algorithm for uniform circular arrays in the presence of unknown mutual coupling // Progress In Electromagnetics Research C, 2011, Vol. 21, 257–271.

Основные термины (генерируются автоматически): UCA, функция, корень, полином, помощь функции, единичная окружность, начальное приближение, решение уравнения, корень полинома, центр окружности.


Ключевые слова

полином, MathCAD, Корень UCA Rare, polyroots, корнеплоды., UCA Root Rare, roots

Похожие статьи

Алгоритм UCA Root Rare для задач пеленгования источников радиоизлучения однородной кольцевой антенной решёткой

В статье рассмотрен алгоритм UCA Root Rare, применяемый для однородной антенной решётки с кольцевой апертурой, предназначенный для оценивания азимута и угла места источников радиоизлучения. Алгоритм позволяет получить оценки азимута источников радиои...

Метод сокращения вычислительных затрат в алгоритме UCA-Root-Rare

Рассмотрена методика сокращения вычислительных затрат при выполнении алгоритма UCA Root Rare, за счёт сокращения степени полинома. Приведены формулы расчета максимальной степени усечения. Приведены результаты численного моделирования.

Методы и алгоритмы эффективного решения задачи маршрутизации транспорта на сетях больших размерностей

В данной работе подробно рассмотрена задача маршрутизации транспорта с временными окнами и ограниченной грузоподъёмностью. В ходе работы рассматриваются различные эвристические и мета-эвристические алгоритмы, применённые к данному типу задач. Более п...

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных алгоритмах параметрической идентификации

В данной статье рассмотрен процесс исследования и реализации рекуррентных алгоритмов параметрической идентификации (на примере алгоритма Левенберга-Маркварда) в программной среде Unity Pro XL с использованием средств промышленной автоматики, в том чи...

Получение оверлеев векторных данных большого объёма

Рассмотрена задача построения оверлеев (пересечения, объединения, разности) векторных данных, содержащих большое число контуров простой структуры. С целью решения этой задачи изучены представленные в литературе методы. Как оказалось, лишь три метода ...

Реализация квантовых вычислений в программе Excel

В статье кратко изложены основы теории квантовых вычислений. Рассматриваются свойства кубитов, правила преобразования над ними, различные типы квантовых гейтов. Описан пример реализации квантового алгоритма Гровера в программе EXCEL. Показано преимущ...

Развёртывание системы GridGain для решения реальной математической задачи

В данной работе рассмотрен вариант использования промежуточного программного обеспечения GridGain для создания сети распределённой обработки данных и реализации на ней реальной математической задачи обнаружения аномалий во временном ряду.

Использование математического пакета программы Scilab в задаче проектирования зеркальной антенны

Рассмотрена задача расчета параметров зеркальной (параболической) антенны с использованием свободно распространяемого программного обеспечение. Предложен алгоритм расчета и его осуществление на языке Scilab. В результате математического моделирования...

Корреляционные методы пеленгования источников излучения

Рассмотрены методы пеленгования источников излучения (ИИ), основанные на анализе корреляционной матрицы принятых сигналов, анализе собственных значений и собственных векторов корреляционной матрицы. Приведено поэтапное описание шагов выполнения алгор...

Оценивание параметров генеральных совокупностей методом малых выборок по критерию Стьюдента с помощью шаблонов Excel

Рассмотрено применение метода малых выборок для оценивания генеральных совокупностей по распространенному критерию Стьюдента. Указываются отличия при статистическом оценивании выборок малого объема методами нормального распределения и t-распределения...

Похожие статьи

Алгоритм UCA Root Rare для задач пеленгования источников радиоизлучения однородной кольцевой антенной решёткой

В статье рассмотрен алгоритм UCA Root Rare, применяемый для однородной антенной решётки с кольцевой апертурой, предназначенный для оценивания азимута и угла места источников радиоизлучения. Алгоритм позволяет получить оценки азимута источников радиои...

Метод сокращения вычислительных затрат в алгоритме UCA-Root-Rare

Рассмотрена методика сокращения вычислительных затрат при выполнении алгоритма UCA Root Rare, за счёт сокращения степени полинома. Приведены формулы расчета максимальной степени усечения. Приведены результаты численного моделирования.

Методы и алгоритмы эффективного решения задачи маршрутизации транспорта на сетях больших размерностей

В данной работе подробно рассмотрена задача маршрутизации транспорта с временными окнами и ограниченной грузоподъёмностью. В ходе работы рассматриваются различные эвристические и мета-эвристические алгоритмы, применённые к данному типу задач. Более п...

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных алгоритмах параметрической идентификации

В данной статье рассмотрен процесс исследования и реализации рекуррентных алгоритмов параметрической идентификации (на примере алгоритма Левенберга-Маркварда) в программной среде Unity Pro XL с использованием средств промышленной автоматики, в том чи...

Получение оверлеев векторных данных большого объёма

Рассмотрена задача построения оверлеев (пересечения, объединения, разности) векторных данных, содержащих большое число контуров простой структуры. С целью решения этой задачи изучены представленные в литературе методы. Как оказалось, лишь три метода ...

Реализация квантовых вычислений в программе Excel

В статье кратко изложены основы теории квантовых вычислений. Рассматриваются свойства кубитов, правила преобразования над ними, различные типы квантовых гейтов. Описан пример реализации квантового алгоритма Гровера в программе EXCEL. Показано преимущ...

Развёртывание системы GridGain для решения реальной математической задачи

В данной работе рассмотрен вариант использования промежуточного программного обеспечения GridGain для создания сети распределённой обработки данных и реализации на ней реальной математической задачи обнаружения аномалий во временном ряду.

Использование математического пакета программы Scilab в задаче проектирования зеркальной антенны

Рассмотрена задача расчета параметров зеркальной (параболической) антенны с использованием свободно распространяемого программного обеспечение. Предложен алгоритм расчета и его осуществление на языке Scilab. В результате математического моделирования...

Корреляционные методы пеленгования источников излучения

Рассмотрены методы пеленгования источников излучения (ИИ), основанные на анализе корреляционной матрицы принятых сигналов, анализе собственных значений и собственных векторов корреляционной матрицы. Приведено поэтапное описание шагов выполнения алгор...

Оценивание параметров генеральных совокупностей методом малых выборок по критерию Стьюдента с помощью шаблонов Excel

Рассмотрено применение метода малых выборок для оценивания генеральных совокупностей по распространенному критерию Стьюдента. Указываются отличия при статистическом оценивании выборок малого объема методами нормального распределения и t-распределения...

Задать вопрос