Математическая модель конкуренции двух популяций на линейном ареале | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Колпак Е. П., Горыня Е. В., Крылова В. А., Полежаев Д. Ю. Математическая модель конкуренции двух популяций на линейном ареале // Молодой ученый. — 2014. — №12. — С. 12-22. — URL https://moluch.ru/archive/71/12182/ (дата обращения: 18.07.2018).

Поставлена математическая задача о конкуренции на линейном ареале двух популяций. Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Исследуется устойчивость стационарных состояний. Для построения численного решения предлагается вариационный метод с представлением решений в виде тригонометрических рядов.

Ключевые слова: популяция, краевые задачи, математическое моделирование.

Введение. Математическому моделированию конкуренции двух взаимодействующих популяций посвящено большое число работ [1, 2, 6, 8, 18, 19, 25, 26, 36, 37, 40, 51, 52, 56, 57, 60–63, 66–67]. В основе математических моделей лежит задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Распространение особей в пространстве в таких моделях не учитывается. Реальные популяции живут на ограниченных территориях с различными свойствами среды обитания в разных ее частях [4, 5, 11, 15, 35, 45, 64]. Часть особей по различным причинам (например, в поисках пищи или свободных мест обитания) склонна к перемещению по территории. Как показывает анализ результатов полевых наблюдений [4, 35, 45, 64] перемещение особей происходит случайным образом. В моделях с распределенными параметрами, в которых учитывается пространственное распределение особей популяции, вводится плотность популяции на единицу длины, площади или объема, и считается, что особи распределены в пространстве [3–5, 12, 18, 30–34, 49, 56, 64]. Среда обитания считается сплошной, что позволяет использовать аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, широко применяемый при разработке математических моделей сплошных сред с нелинейными свойствами [16, 20, 27–29, 41–44, 53–55, 58, 59, 65].

Существенное влияние на биоценозы оказывает и производственная деятельность человека, приводящая к изменению условий существования флоры и фауны. Для учета негативных последствий, вносимых человеком нарушений в ход эволюционных процессов, в модели популяционной биологии необходимо подключать модели математической экономики [13, 14, 38, 39, 47].

Задача анализ результатов полевых наблюдений является отдельной и достаточно сложной задачей. Здесь не просто выявить основные причины, характеризующие конкуренцию и, соответственно, определить значения параметров необходимых для разработки математических моделей [17, 21–24, 48].

Математическая модель конкуренции. Для описания динамики численности двух конкурирующих популяций Вольтера, Лотка и Гаузе [2, 4, 64] была предложена математическая модель

                                                                                           (1)

В этих уравнениях  и  — численности двух конкурирующих видов, , , , ,  и  — постоянные (положительные) коэффициенты,  и  — удельные скорости роста популяций при их малой численности,  и  — коэффициенты межвидовой конкуренции,  и  — коэффициенты внутривидовой конкуренции [2].

Система уравнений (1) заменой [2]

 и  

приводятся к виду

                                                                                                (2)

где , , .

Система уравнений (2) имеет четыре стационарные точки

1.                  , .

2.                  , .

3.                  , .

4.                  , , если  и  или  и .

Стационарные точки системы уравнений (2) считаются устойчивыми, если все собственные значения матрицы Якоби

правой части уравнения (2) в этих точках имеют отрицательные вещественные части [7].

Первая стационарная точка неустойчива, поскольку оба собственных значения якобиана  и  положительны. То есть в рассматриваемой модели из двух малочисленных конкурирующих популяций хотя бы одна выживет.

Во второй стационарной точке собственные значениями матрицы Якоби  и  будут отрицательными, если выполнится неравенство . В этом случае стационарная точка будет устойчивой, а при выполнении неравенства  — неустойчивой. То есть выживаемость первой популяции (условие ) в условиях конкуренции обеспечивается большей скоростью роста ее численности по сравнению со скоростью роста численности второй популяции () и низкой внутривидовой конкуренцией по сравнению с межвидовой (). Аналогичный результат следует и для третьей стационарной точки, в которой  и . Эта точка устойчива, если >1 и неустойчива, если .

В четвёртой стационарной точке характеристическое уравнение

имеет корни с отрицательными вещественными частями, если , и корни противоположных знаков, если . То есть эта стационарна точки будет устойчивой, если внутривидовая конференция оказывает большее влияние на численность популяции, чем межвидовая (, ). При этом в четвертой стационарной точке, если она устойчивая,  и .

Таким образом, в системе конкурирующих видов побеждает тот, кто сильнее подавляет конкурента: >1 или >1. При выполнении одного из этих неравенств четвертая стационарная точка либо не имеет физического смысла, либо будет неустойчивой. Поэтому один из видов исчезает. Если внутривидовая конкуренция слабее межвидовой (<1 и <1), то совместное существование популяций будет устойчивым.

Модель конкуренции на линейном ареале. Примерами линейных ареалов служат трубопроводы, обочины дорог, лесные просеки [4, 11, 15, 35, 45, 64]. Математическая модель конкуренции двух видов (2) на отрезке представляется системой двух эволюционных уравнений [18, 19, 33, 49, 56, 64]

                                                                                (3)

В этих уравнениях  — координата,  — время,  и  — линейные плотности популяций,  и  — параметры, характеризующие подвижности особей.

В качестве начальных условий задается значение функций  и  в начальный момент времени: при  , .

В качестве граничных условий для случая отрезка длиной  рассматриваются два варианта:

,                                                                     (4)

и

, .                                                           (5)

Условие обращения в ноль функций  и  на границе отрезка соответствует невозможности существования популяции в этой точке, а условие обращения в ноль производных  и  (условие наполнения среды [12, 56, 64]) допускает свободный рост численности популяций.

Общие численности популяций () и () на отрезке в момент времени  подсчитываются по формулам

, .

Устойчивость тривиального решения. Системе уравнений (3) при граничных условиях (4) удовлетворяют функции, не зависящие от пространственной координаты. Потому устойчивость решений уравнений (3) при граничных условиях (4) будет совпадать и с устойчивостью решений уравнений (2). Поэтому ниже будет исследоваться устойчивость решений, удовлетворяющих только граничным условиям (5).

В стационарном случае системе уравнений (3) при граничных условиях (5) удовлетворяет тривиальное решение , . Возмущение этого равновесного состояния представляется в виде [9, 10, 56, 59] , , где  и  малые по сравнению с единицей величины: , . Тогда уравнения (3) с точностью до величин второго порядка малости [27, 56, 58] приводятся к виду

Решение этих уравнений, удовлетворяющее граничным условиям (5), представляется в виде тригонометрических рядов

, .

При этом коэффициенты разложения должны удовлетворять уравнениям

,  (.).

Отсюда следует, что при выполнении неравенства  все коэффициенты  будут убывающими функциями времени и, соответственно, решение  будет устойчивым. А при выполнении неравенства  будет устойчивым решение . Последнее означает, что при высокой подвижности особей малочисленные популяции в рассматриваемой модели погибают. Аналогичный результат получен в [12] для одиночной популяции.

Численное решение. Построить аналитическое решение нелинейных уравнений (3) не представляется возможным. Поэтому используются различные методы аппроксимаций уравнений (3) или их решений. Наибольшее распространение получили конечно-разностная аппроксимация уравнений и вариационные методы, основанные на представлении решения в виде линейной комбинации аналитических функций [46, 50, 58]. Численное решение уравнений (3), удовлетворяющее граничным условиям (5) на отрезке ищется в виде суммы тригонометрических функций [56, 58]

, .                                         (6)

Система функций  () удовлетворяет граничным условиям (5), является полной и ортогональной [58] на отрезке . После подстановки выражений (6) в уравнения (3), умножения последних на  () и последующего интегрирования по промежутку  будет получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов  и  ()

                     (7)

Начальные условия для функций  и  () определяются из соотношений

,

.

Для одного члена разложения () в (6) для случая отрезка единичной длины () коэффициенты  и  удовлетворяют уравнениям

(8)

Матрица Якоби правой части этих уравнений

.

Система уравнений (8) имеет четыре стационарные точки.

1. , .

В этой стационарной точке собственные значения

 и

матрицы Якоби будут отрицательными, если выполняются неравенства  и . В этом случае тривиальная стационарная точка будет устойчивой. То есть при высокой подвижности особей обе популяции могут погибнуть.

2. Во второй стационарной точке

, .

Эта стационарная точка будет устойчивой, если собственные значения матрицы Якоби

,

будут отрицательными.

3. В третьей стационарной точке

,

Эта стационарная точка будет устойчивой, если собственные значения матрицы Якоби

 

будут отрицательными.

4. В четвертой стационарной точке

                                                                    (9)

При выполнении неравенства  при положительных значениях  и  вторая и третья стационарные точки будут неустойчивыми.

Собственные значения матрицы Якоби в рассматриваемой стационарной точке являются корнями квадратного уравнения

.

Корни этого уравнения при выполнении неравенств  и  будут иметь отрицательные вещественные части. То есть эта стационарная точки будет устойчивой, если  и . При этом вторая и третья стационарные точки будут неустойчивыми.

Общая численность популяции на отрезке подсчитывается по формулам  и . И как следует из (9) увеличение подвижности одной популяции (параметров  или ) приводит к уменьшению ее общей численности на отрезке и увеличению общей численности конкурирующей популяции.

Таким образом, условия существования четвертой стационарной точки при условии, что и , определяются системой неравенств

, , , .

В системе координат  эти неравенства определяют область значений параметров  и , в которой четвертая стационарная точка реализуется и является устойчивой (рис. 1, , )

Рис. 1. Границы области устойчивости нетривиального стационарного решения (9) в системе координат (,)

Анализ поведения решения при большем числе слагаемых в представлениях (6) не представляется возможным без использования численных методов. Решение задачи Коши для системы уравнений (7) осуществлялось с применением численных методов типа Рунге-Кутты [46]. Некоторые из результатов численных экспериментов приведены на рис. 2–4 (, , ).

На рис. 2 показано изменение коэффициентов   как «функции»  в установившемся режиме () для случая ,, а на рис. 3 — . Как следует из рис. 2 и рис. 3 при решении нелинейных уравнений с высокой степенью точности можно ограничиться 2–3 членами в представлениях (6).

На рис. 4 отражено изменение функций  и  (общей численности популяций на отрезке) в зависимости от значений параметров  и . Пара кривых  (первая популяция) и  (вторая популяция) соответствуют решению системы уравнений (2), а пара кривых  и  — системе уравнений (7). Как следует из этого рисунка высокая подвижность особей приводит к уменьшению общей численности популяции.

Рис. 2. Значения коэффициентов   в (6) при

Рис. 3. Значения коэффициентов   в (6) при

Рис. 4. Изменение функций  и  (общей численности популяций на отрезке) в зависимости от значений параметров  и

Заключение. Учет неоднородности среды обитания в математических моделях двух конкурирующих популяций приводит к результатам, не содержащихся в точечных моделях. С ростом подвижности особей уменьшается общая численность популяции. При этом численность конкурирующей популяции увеличивается. Существует критическая подвижность особей, превышение которой приводит к гибели популяции.

Литература:

  1. Апонин Ю. М., Апонина Е. А. Принцип инвариантности Ла-Салля и математические модели эволюции микробных популяций // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3. — № 2. — С. 177–190.
  2. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. — 2003. 368 с.
  3. Балыкина Ю. Е., Колпак Е. П. Математические модели функционирования фолликула щитовидной железы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2013. — № 3. — С. 20–31.
  4. Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества: в двух томах. М.: Мир, 1989. Т. 1. 667 с. Т. 2. 477с.
  5. Будянский А. В., Цибулин В. Г. Моделирование пространственно-временной миграции близкородственных популяций // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3. — № 4. — С. 477–488.
  6. Викторов А. А., Холоднов В. А., Гладких В. Д., Алехнович А. В. Математическая модель влияния окружающей среды на старение живых систем // Успехи геронтологии. — 2013. — Т. 26. — № 1. — С. 52–57.

7.      Виташевская И. С., Олемской И. В., Хитров Г.М О некоторых инвариантах квадратных (од)-матриц // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2007. — № 1. — С. 38–45.

  1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва-Ижевск:, Институт компьютерных технологий. — 2004. — 288 с.
  2. Гасратова Н. А. Напряженно-деформированное состояние упругого пространства со сферическим жестким включением // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 1. — С. 14–18.
  3. Гасратова Н. А., Шамина В. А. Решение в напряжениях линейной осесимметричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2008. — № 2. — С. 122–128.
  4. Гилев А. В. Закономерности пространственного распределения и научные основы охраны рыжих лесных муравьев // Зоологический журнал. — 2010. — Т. 89. — № 12. — С. 1413–1420.
  5. Горбунова Е. А., Колпак Е. П. Математические модели одиночной популяции // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. — 2012. — Вып. 4. — С. 18–30.

13.  Григорьева К. В., Иванов А. С., Малафеев О. А Статическая коалиционная модель инвестирования инновационных проектов // Экономическое возрождение России. — 2011. — № 4. — С. 90–98.

  1. Григорьева К. В., Малафеев О. А. Динамический процесс кооперативного взаимодействия в многокритериальной (многоагентной) задаче почтальона // Вестник гражданских инженеров. — 2011 — № 1. — С. 150–156.
  2. Громов В. С. Пространственно-этологическая структура популяций грызунов. М.: Т-во научн. изданий КМК. 2008. 581 с.
  3. Даль Ю. М., Пронина Ю. Г. Деформация шаровой поры в нелинейно-упругом теле // Известия Российской академии наук. Серия физическая. — 2006. — Т. 70. — № 9. — С. 1341–1343.

17.  Жабко Н. А. Параметрическая идентификация динамических моделей морских судов // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2012. — Т. 8. — № 1. — С. 80–84.

  1. Жукова И. В., Колпак Е. П. Математическая модель солидной опухоли // Естественные и математические науки в современном мире. — 2013. — № 13. — С. 18–25.
  2. Жукова И. В., Колпак Е. П. Математические модели злокачественной опухоли // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2014. — № 3. — С. 5–18.
  3. Кабриц С. А. Мальков В. М., Мансурова С. Е. Математическое моделирование нелинейной деформации эластомерного слоя // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2011. — № 3. — С. 56–63.
  4. Карелин В. В Один подход к задаче оценки параметров динамической системы в условиях неопределенности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2012. — № 4. — С. 31–36.
  5. Карелин В. В Точные штрафы в задаче наблюдения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2008. — № 4. — С. 3–8.
  6. Карелин В. В. Точные штрафы в задаче оценки координат динамической системы в условиях неопределенности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2011. — № 4. — С. 40–46.
  7. Карелин В. В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2010. — № 4. — С. 109–114.
  8. Колобов А. Н. Численно-аналитическое исследование модели роста дерева в условиях конкуренции за свет // Математическая биология и биоинформатика. — 2012. — Т. 7. — № 1. — С. 125–138
  9. Колокольцов В. Н., Малафеев О. А. Динамические конкурентные системы многоагентного взаимодействия и их асимптотическое поведение (часть I) // Вестник гражданских инженеров. — 2010 — № 4 — С. 144–153.
  10. Колпак Е. П. Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях // диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Санкт-Петербург, 2000.
  11. Колпак Е. П. Введение в механику сплошных сред учебное пособие / Е. П. Колпак; С.-Петерб. гос. ун-т. СПб. 2004.
  12. Колпак Е. П., Балыкина Ю. Е., Котина Е. Д., Жукова И. В. Математическая модель нарушений функционирования щитовидной железы // Молодой Ученый. — 2014. — № 2(61). — С. 19–24.
  13. Колпак Е. П., Горбунова Е. А., Балыкина Ю. Е., Гасратова Н. А. Математическая модель одиночной популяции на билокальном ареале // Молодой ученый. — 2014. — № 1 (6). — С. 28–33.
  14. Колпак Е. П., Горбунова Е. А., Жукова И. В. Математическая модель популяционной волны // Естественные и математические науки в современном мире. — 2014. — № 16. — С. 25–41.
  15. Колпак Е. П., Горбунова Е. А., Столбовая М. В., Балыкина Ю. Е Математическая модель логистической популяции на линейном ареале // Молодой ученый. — 2014. — № 3 (62). — С. 6–14.
  16. Колпак Е. П., Жукова И. В., Степанова Д. С., Крицкая А. В. О численных методах решения эволюционных уравнений на примере математической модели «хищник-жертва» // Молодой ученый. — 2014. — № 4. — С. 20–30.
  17. Колпак Е. П., Столбовая М. В. Математическая модель кинетики роста растений // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. — 2013. — № 12 (90). — С. 230–232.
  18. Коробченко М. А. Расширение ареала крота европейского (talpa europaea) в долине реки Северный Донец // Зоологический журнал. — 2009. — Т. 88. — № 4. — С. 465–472.

36.  Лежнина Е.А Свойство подтверждения и аксиоматизация наименьшего ядра // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2010. — № 1. — С. 50–64.

  1. Лугин В. Г. Математическое моделирование распространения новшеств с использованием стохастической фрактальной клеточной модели // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. — 2014. — № 4. — С. 109–114.
  2. Малафеев О. А., Пахар О. В. Динамическая нестационарная задача инвестирования проектов в условиях конкуренции // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2009. — № 41. — С. 103–108.

39.  Малафеев О. А., Соснина В. В. Модель управления процессом кооперативного трехагентного взаимодействия // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2007. — № 39. — С. 131–144.

  1. Малков С. Ю., Кирилюк И. Л. Моделирование динамики конкурирующих сообществ: варианты взаимодействия // Информационные войны. — 2013. — № 2 (26). — С. 49–56.
  2. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Исследование нелинейной задачи Фламана // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2006. — № 5. — С. 68–78.
  3. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Нелинейная задача Фламана для несжимаемого материала // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2004. — № 4. — С. 73–82.
  4. Мальков В. М., Малькова Ю. В., Иванов В. А. Бесконечная плоскость с круговым включением, имеющим отслоение на части границы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 4. — С. 152–165.
  5. Мальков В. М., Малькова Ю. В.Плоская задача нелинейной упругости для гармонического материала // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2008. — № 3. — С. 114–126.
  6. Мамонтов С. Н. Распределение по стволу дерева короеда-типографа (ips typographus, coleoptera, scolyniddae) и его энтомогафов // Зоологический журнал. — 2009. — Т. 88. — № 9. — С. 1139–1145.
  7. Матросов А. В. Сходимость степенных рядов в методе начальных функций // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2012. — № 1. — С. 41–51.
  8. Миндлин Ю. Б., Колпак Е. П., Балыкина Ю. Е Проблемы использования кластеров в Российской Федерации // Вестник НГУЭУ. — 2014. — № 1. — С. 22–32.

48.  Мышков С. К., Полякова Л. Н., Тарасова В. В. О применимости численных методов негладкого анализа к решению линейной квадратичной задачи оптимального управления с неполной информацией [6]) // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2005. — № 3–4. — С. 130–137.

  1. Мятлев В. Д., Панченко Л. А., Ризниченко Г. Ю., Терехин А. Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. М.: Издательский центр «Акадкмия», 2009. 320 с.
  2. Олемской И. В. Модификация алгоритма выделения структурных особенностей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2006. — № 2. — С. 55–64.
  3. Орлова Е. В., Ульмасова И. С. Методы ценообразования и их использование на высоко конкурентном рынке // Молодой ученый. — 2014. — № 3 (62). — С. 495–497.
  4. Поспелов И. Г., Радионов С. А. Динамика количества фирм в рамках концепции экономики разнообразия // Математическое моделирование. — 2014. — Т. 26. — № 2. — С. 65–80.
  5. Пронина Ю. Г. Периодическая задача о точечных воздействиях в упругой полуплоскости с отверстиями // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 3. — С. 118–128.
  6. Пронина Ю. Г. Сосредоточенные силы и моменты в упругой полуплоскости с отверстием // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 2. — С. 104–114.
  7. Пронина Ю. Г. Центры расширения-сжатия в упругой полуплоскости // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2007. — № 2. — С. 140–149.
  8. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. Москва — Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2004. — 464 с.
  9. Садыков О. Ф., Бененсон И. Е. Динамика численности мелких млекопитающих: Концепции, гипотезы, модели. М.: Наука, 1992. 191 с.
  10. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.
  11. Черных К. Ф., Кабриц С. А., Колпак Е. П., Слепнева Л. В. Точные решения краевых задач нелинейной теории упругости // отчет о НИР № 96–01–00739 (Российский фонд фундаментальных исследований).
  12. Шестакова Т. П. Исследование одной математической модели конкуренции трех популяций // Инновации в науке. — 2012. — № 7. — С. 6–11.
  13. Braselton J., Waltman P. A competition model with dynamically allocated inhibitor production // Mathematical Biosciences. — 2001. V. 173. — N 2. — P. 55–84.
  14. Křivan V. Competition in di- and tri-trophic food web modules // Journal of Theoretical Biology. — 2014. — V. 343. — P. 127–137.

63.  Mirrahimi S., Perthame B., Yuichiro Wakano J. Direct competition results from strong competition for limited resource // Journal of Mathematical Biology. — 2014. — V. 68. — 931–949.

  1. Murray D. D. Mathematical biology. N. Y. Springer. 2002. — 551 p.
  2. Pronina Y. G. Estimation of the life of an elastic tube under the action of a longitudinal force and pressure under uniform surface corrosion conditions // Russian metallurgy (Metally). — 2010. — Т. 2010. — № 4. — С. 361–364

66.  Sanling Yuan, Dongmei Xiao, Maoan Han Competition between plasmid-bearing and plasmid-free organisms in a chemostat with nutrient recycling and an inhibitor // Mathematical Biosciences. — 2006. — V. 202. — N 1. — P. 1–28.

67.  Sze-Bi Hsu, Xiao-Qiang Zhao A Lotka–Volterra competition model with seasonal succession // Journal of Mathematical Biology. — 2012. — DOI 10.1007/s00285–011–0408–6.

Основные термины (генерируются автоматически): система уравнений, уравнение, популяция, выполнение неравенства, собственное значение матрицы, общая численность популяций, общая численность популяции, значение параметров, высокая подвижность особей, внутривидовая конкуренция.


Похожие статьи

Модель Базыкина — Свирежева «хищник — жертва» для...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно, , , , — константы.

В этой модели учитывается внутривидовая конкуренция у жертвы и гиперболический рост численности малочисленной популяции [2].

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Общие численность первой и второй популяций ( и ) на отрезке в момент времени подсчитываются по формулам.

Первый вариант трофических функций соответствует модели Лотка-Вольтерра, во втором варианте учитывается внутривидовая конкуренция у жертвы [6].

О математических моделях симбиоза | Статья в журнале...

система уравнений, модель, эта, популяция, общая численность популяций, уравнение, модель симбиоза, правая часть уравнений, математическое моделирование, аналитическое решение.

Математическая модель одиночной популяции на билокальном...

система уравнений, обобщенная логистическая популяция, ареал, первое, неравенство, решение системы уравнений, собственное значение матрицы, характеристический полином, одиночная популяция...

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале

реализуется, если выполняется неравенство . Собственными значениями матрицы Якоби.

Основной из них: от подвижности особей, как хищника, так и жертвы может зависеть общая численность популяций.

Математические модели «ухода» от конкуренции

При этом если внутривидовая конкуренция значительно меньше межвидовой ( ) настолько, что выполнится неравенство , то вторая популяция может погибнуть. В четвёртой стационарной точке собственные значения матрицы Якоби правой части уравнений (2)...

Математическая модель популяции, подверженной промыслу

На практике регулирование численности популяции осуществляется с помощью квот.

Минимальное значение правой части этого неравенства достигается при и равно 18.

, (3). где — декартова координата, а параметр характеризует подвижность особей.

Ключевые слова: популяция, дифференциальные уравнения...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно, , , , — константы.

В этой модели учтена внутривидовая конкуренция у жертвы и нелинейность размножения жертвы при малой ее численности.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Модель Базыкина — Свирежева «хищник — жертва» для...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно, , , , — константы.

В этой модели учитывается внутривидовая конкуренция у жертвы и гиперболический рост численности малочисленной популяции [2].

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Общие численность первой и второй популяций ( и ) на отрезке в момент времени подсчитываются по формулам.

Первый вариант трофических функций соответствует модели Лотка-Вольтерра, во втором варианте учитывается внутривидовая конкуренция у жертвы [6].

О математических моделях симбиоза | Статья в журнале...

система уравнений, модель, эта, популяция, общая численность популяций, уравнение, модель симбиоза, правая часть уравнений, математическое моделирование, аналитическое решение.

Математическая модель одиночной популяции на билокальном...

система уравнений, обобщенная логистическая популяция, ареал, первое, неравенство, решение системы уравнений, собственное значение матрицы, характеристический полином, одиночная популяция...

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале

реализуется, если выполняется неравенство . Собственными значениями матрицы Якоби.

Основной из них: от подвижности особей, как хищника, так и жертвы может зависеть общая численность популяций.

Математические модели «ухода» от конкуренции

При этом если внутривидовая конкуренция значительно меньше межвидовой ( ) настолько, что выполнится неравенство , то вторая популяция может погибнуть. В четвёртой стационарной точке собственные значения матрицы Якоби правой части уравнений (2)...

Математическая модель популяции, подверженной промыслу

На практике регулирование численности популяции осуществляется с помощью квот.

Минимальное значение правой части этого неравенства достигается при и равно 18.

, (3). где — декартова координата, а параметр характеризует подвижность особей.

Ключевые слова: популяция, дифференциальные уравнения...

В этих уравнениях и — численности популяций жертвы и хищника соответственно, , , , — константы.

В этой модели учтена внутривидовая конкуренция у жертвы и нелинейность размножения жертвы при малой ее численности.

Задать вопрос