Во все времена в математическом образовании особое внимание уделялось задачам с параметрами. И это не случайно, поскольку задачи данного рода являются сложнейшими заданиями, требующими комплексного подхода при решении. Именно параметрические задачи по своей сути являются прототипами важных математических задач и вопросов, которые лежат в основе научных исследований и последующих открытий.

На сегодняшний день данные задачи включены в перечень заданий повышенного уровня сложности вступительных испытаний в ведущие технические вузы страны, а также Единого государственного экзамена. Основываясь на статистическом анализе ошибок учащихся ЕГЭ по профильной математике 2025, можно заключить, что параметрические задачи вызывают у большинства выпускников затруднения [1]. Действительно, решение задач с параметром требует от учащихся старшей школы умение применять глубокие школьные знания и приобретенные навыки начал математического анализа.

Однозначно сказать, каким способом нужно решить то или иное параметрическое задание, невозможно. Все зависит от уровня знаний и предпочтений учащегося. Однако с уверенностью можно выделить два основных подхода к их решению: аналитический и графический.

Первый способ основывается на анализе свойств, области допустимых значений и изменения функций, а также на применении равносильных преобразований (обычно при решении иррациональных параметрических уравнений и неравенств) и др [5]. Второй способ подразумевает под собой построение графиков соответствующих функций и поиск их точек пересечения при варьировании (изменении) заданного параметра.

В данном исследовании внимание будет уделено двум способам решения одного параметрического задания ЕГЭ с тригонометрическим содержанием. Сложность данной задачи заключается в исследовании свойств тригонометрических функций, которое включает в себя анализ [2]:

1. области определения данных функций на заданном интервале;
2. ограниченности области значений тригонометрических функций при изменении параметра;
3. периодичности и промежутков монотонности данных функций на заданном интервале с учетом изменения параметра;

Целью исследования является не только демонстрация двух различных способов решения одного и того же параметрического уравнения с тригонометрическим содержанием, но и сравнительный анализ двух данных способов. Сведем данные нашего исследования в таблице 1.

Таблица 1

Решение параметрической задачи ЕГЭ с тригонометрическим содержанием двумя способами (графическим и аналитическим)

Таким образом, одну и ту же задачу с параметром можно решить несколькими способами. Какой будет рациональнее — однозначно сказать невозможно, поскольку это зависит от условий задачи и дидактических целей. Стоит отметить, что графический способ основывается на геометрической интерпретации и позволяет наглядно установить количество решений в зависимости от изменения параметра. Аналитический же способ подразумевает под собой исследовании свойств функций с опорой на заданные условия задачи, а далее — последовательный анализ и умение интерпретировать полученную информацию на язык математики.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод о том, что сложность параметрических задач заключается в комплексном подходе при их решении. Задачи данного рода подразумевают под собой умение применять на практике глубокие школьные знания, включающие в себя и алгебраический, и геометрический аппарат.

Несмотря на то, что данную параметрическую задачу с тригонометрическим содержанием можно решить двумя способами, в рамках подготовки к ЕГЭ более целесообразным, по мнению авторов статей, является первый — графический способ. Что обуславливается простотой решения, а именно упрощением исследования влияния параметра на изменение областей значений тригонометрических функции на заданном промежутке. Более того, графический способ обеспечивает наглядность решения (количество точек пересечения пучка прямых с тригонометрической окружностью в первом квадранте), демонстрируя взаимосвязь аналитического и графического задания функций.

Аналитический способ в данном случае основывается на исследовании областей значений данных тригонометрических функций в зависимости от изменения параметра с учетом области монотонности двух функций на заданном промежутке. Данный способ однозначно хорош, однако может вызвать затруднения у учащихся 10–11 классов, поскольку подразумевает отличное знание свойств тригонометрических функций и использование элементов математического анализа. Однако именно рассмотрение нескольких способов решения одной и той же задачи формирует у учащихся высокий уровень математической культуры, способствует развитию исследовательских умений, а также навыков, направленных на установление взаимосвязи между различными способами представления функциональных зависимостей [3].

Данные материалы могут быть использованы в рамках подготовки учащихся старшей школы к Единому государственному экзамену [4,6], а также в рамках факультативных занятий, нацеленных на повышение уровня математической культуры и подготовки учащихся к задачам повышенного уровня сложности.

Литература:

1. Аналитическая справка о результатах выполнения заданий ЕГЭ-2025 по математике профильного уровня. URL:https://buzdroo.ucoz.ru/msoko/analiz_vypolnenija_zadanij_egeh_po_matematike_prof.pdf (дата обращения: 20.07.2026).
2. Высокий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. — М.: Научный Мир, 2011. — 316 с.
3. Натяганов В. Л. Методы решения задач с параметрами: учеб. пособие / В. Л. Натяганов, Л. М. Лужина. — Москва: Изд-во Моск. ун-та, 2003. — 366 с.
4. Параметрическая задача. Сайт РЕШУ ЕГЭ. URL: https://math-ege.sdamgia.ru/test?likes=515710.
5. Федеральная рабочая программа по математике среднего общего образования (базовый и углубленный уровень) (для 10–11 классов образовательных организаций). Москва 2025. URL: https://fgosreestr.ru/oop/primernaiarabochaiaprogrammasrednegoobshchego-obrazovaniia-uchebnogo-predmeta-matematika-uglublennyi-uroven-dlia-10–11-klassov-obrazovatelnykh-organizatsii (дата обращения: 20.07.2026).
6. Ященко И. В., Шестаков С. А. Подготовка к ЕГЭ. Задачи с параметрами. — М.: МЦНМО, 2020. — 256 с.