The article presents the results of a comparative analysis of five methods for calculating a monolithic reinforced concrete floor slab with rectangular void formers (500×500×100 mm, spacing 200 mm, slab thickness 200 mm). The study was performed in LIRA-SAPR 2022 using the finite element method as well as according to the standard formulas of SP 63.13330.2018. It was found that the equivalent plate-shell model with reduced stiffness and inertial characteristics gives results closest to the accurate volumetric model (deflection difference ~30 %) while being an order of magnitude simpler. Simplified methods (reduced cross-section height, niche modeling) lead to overestimation of deflections by 5–6 times and are not recommended. The manual calculation according to SP predictably yields conservative values. A step-by-step practical design methodology for such slabs is developed.

Keywords: monolithic floor slab, rectangular void formers, permanent formwork, finite element method, LIRA-SAPR, reduced stiffness, I-section.

Введение

Современное строительство предъявляет повышенные требования к экономичности и энергоэффективности зданий. Одним из перспективных способов снижения материалоёмкости монолитных железобетонных перекрытий является использование несъёмной опалубки в виде пустотообразователей — полых корпусов из переработанного пластика (обычно формы усечённой пирамиды). Такие элементы позволяют удалить из плиты бетон, который не участвует в работе на сжатие, без снижения несущей способности. Согласно данным производителей и нормативным документам (СТО 35546020.001–2022 [1]), применение пустотообразователей даёт следующие преимущества:

– снижение собственного веса плиты до 30 %;

– экономия арматуры (особенно верхней зоны) до 40 %;

– уменьшение нагрузки на колонны, стены и фундаменты (до 10 % по арматуре в вертикальных элементах);

– увеличение допустимых пролётов и свободы планировки (отсутствие балок и капителей);

– повышение сейсмостойкости здания за счёт уменьшения массы.

Однако расчёт таких плит до сих пор остаётся нетривиальной задачей.

Действующий [2] рекомендует проектировать плиты с пустотообразователями аналогично полнотелым плоским плитам, используя приведение к двутавровому сечению. При этом не учитывается совместная работа пластикового пустотообразователя с бетоном, не оценивается напряжённо-деформированное состояние в зонах концентрации пустот, а также не регламентируется использование программных комплексов.

Цель работы — разработка и верификация оптимальной расчётной модели монолитной плиты с прямоугольными пустотообразователями, которая обеспечивала бы достаточную точность (погрешность не более 30–40 % по сравнению с детальными объёмными моделями) при минимальных затратах времени на моделирование и обработку результатов.

Объект исследования — плита перекрытия с геометрическими параметрами:

– габаритные размеры в плане: L _x = 2,1 м, L _y = 2,1 м;

– полная толщина плиты: H = 200 мм;

– пустотообразователь: прямоугольный размером a×b×hпуст = 500×500×100 мм;

– шаг пустот: S _x = S _y = 200 мм;

– количество пустотообразователей: n = 9 шт. (3×3);

– бетон: класс В25 (R _b = 14,5 МПа, R _bt = 1,05 МПа, E _b = 30000 МПа, ρ ₀ = 2500 кг/м³);

– арматура: класс А500С (R _s = 435 МПа, E _s = 200000 МПа), диаметр 10 мм, шаг 200 мм в обоих направлениях.

Граничные условия — шарнирное опирание по контуру (запрещены перемещения по вертикали и горизонтали на четырёх гранях).

Работа выполнялась в программном комплексе «ЛИРА-САПР 2022». Дополнительно проведён ручной проверочный расчёт по формулам [2].

Конструктивные особенности плит с пустотообразователями

Пустотообразователь (рис. 1) представляет собой полый корпус в форме усечённой пирамиды, открытой со стороны большего основания.

Рис. 1. Общий вид пустотообразователя одиночной формы. 1 — полый корпус; 2 — средство фиксации; 3 — опорные ножки; 4 — ребро жесткости, подкрепляющие верхнюю сторону; 5 — ребро жесткости, опоясывающее нижнюю поверхность корпуса; 6 — желоб; 7 — зона сопряжения верхней и боковых сторон; 8 — шероховатости в виде полос

На верхней стороне имеются крестообразные выступы (средства фиксации), а на нижней — конусные опорные ножки высотой от 0 до 10 см (чаще 5–6 см). Опорные ножки служат для создания защитного слоя нижней арматуры и передачи нагрузки от пустотообразователя на нижний слой бетона. По периметру предусмотрены рёбра жёсткости и отверстия для соединения муфтами.

Соединительные муфты обеспечивают проектное расстояние между пустотообразователями в свету и жёсткость при укладке бетона. Технология производства плит перекрытия с пустотообразователями предусматривает двухслойное бетонирование.

Пустотообразователи рекомендуется размещать равномерно по площади пролета, исключая зоны действия больших поперечных сил — это места опирания вертикальных конструкций и краевые участки плиты.

Эти конструктивные особенности необходимо учитывать при создании расчётной модели: пустоты не должны попадать в приопорные зоны, а модель должна отражать снижение как веса, так и изгибной жёсткости, но не завышать его.

Описание рассмотренных методов расчёта

В рамках статьи рассмотрены пять различных подходов к расчёту одной и той же плиты. Ниже дано их краткое описание.

1. Вариант № 1 — объёмные конечные элементы (размер 50×50×50 мм)

Создана трёхмерная модель плиты из объемных конечных элементов (параллелепипедов) с размером ребра 50 мм. Арматура задана стержневыми элементами диаметром 10 мм, расположенными в двух направлениях с шагом 200 мм. Общее число объёмных КЭ достигает ~530 тыс., что делает модель очень ресурсоёмкой.

Результатом расчёта являются поля напряжений: σ _x , σ _y , σ _z (главные нормальные напряжения) и τ _xy , τ _yz , τ _xz (касательные). Для перехода к привычным инженерным усилиям (M, Q) используются формулы, основанные на сопротивлении материалов.

.2. Вариант № 2 — эквивалентная пластина (оболочка) с приведёнными характеристиками

Модель построена с использованием плоских оболочечных конечных элементов. Толщина оболочки принята равной полной высоте плиты H = 200 мм. Учёт пустот выполняется путём снижения изгибной жёсткости и объёмного веса материала. Модель выдаёт непосредственно M _x , M _y , Q _x , Q _y , прогибы.

3. Вариант № 3 — сплошная плита с приведённой высотой сечения

Основан на идее снижения толщины плиты пропорционально уменьшению объёма бетона. Высота приведённого сечения находится из равенства объёмов.

Плита моделируется также оболочечными элементами, но материал имеет стандартные характеристики. Пустоты никак не моделируются. Этот метод крайне прост, но игнорирует тот факт, что пустоты занимают только среднюю часть сечения (нейтральную зону) и не снижают момент инерции так сильно, как уменьшение всей высоты.

4. Вариант № 4 — моделирование пустот как «ниш» в ПК «Сапфир»

Специальный инструмент «Ниша» в ПК «Сапфир» позволяет задать локальное уменьшение толщины оболочки на выбранных участках. В данном случае на площадях 500×500 мм (в проекции пустотообразователей) толщина плиты уменьшена с 200 мм до 50 мм (имитация сквозного отверстия). Такая модель также очень проста в создании, но физически не соответствует работе пустот, так как в реальности пустотообразователь не создаёт сквозного проёма, а лишь замещает часть бетона полостью с пластиковыми стенками.

5. Вариант № 5 — ручной расчёт по [2]

Выполнен двумя способами:

– как для сплошной плиты с приведённой высотой 150 мм (аналогино варианту № 3, но аналитически).

– как для плиты с двутавровым сечением: ширина полок b _f' = 700 мм (по осям пустот), ширина ребра b = 200 мм, высота полки h _f' = 50 мм, полная высота 200 мм.

Результаты расчётов и их анализ

Все модели были рассчитаны в ПК «ЛИРА-САПР 2022» при одинаковых нагрузках и граничных условиях. Сравнительная таблица основных параметров приведена ниже. Значения для варианта № 5 (ручной расчёт) даны по двутавровому сечению (как более корректному).

Результаты сравнительного анализа для каждой комбинации нагружения представлены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты сравнительного анализа для каждого варианта моделирования плиты

Анализ вертикальных перемещений (прогибов).

В варианте № 1 прогиб составляет 0,0143 мм, что объясняется высокой жёсткостью объёмной.

Вариант № 2 даёт прогиб 0,0191 мм — на 34 % больше, чем № 1, что можно считать хорошей сходимостью.

Вариант № 3 (h=150 мм) даёт прогиб 0,0721 мм — в 5 раз выше варианта № 2.

Вариант № 4 (ниши) — ещё выше, 0,0869 мм в 4,5 раза выше варианта № 2.

Вариант № 5 даёт прогиб 0,55 мм — на порядок больше, так как учитывается реальная трещиностойкость и длительное действие нагрузок. Однако прогиб 0,55 мм при пролёте 2100 мм составляет L/3800, что значительно меньше предельного (L/200), поэтому по деформациям конструкция заведомо проходит.

Анализ изгибающих моментов Mx и My.

В варианте № 1 моменты очень малы (0,023 т·м), что связано с тем, что объёмная модель в рамках линейного расчёта «не видит» изгиба в полной мере из-за очень мелкой сетки и отсутствия учёта нелинейности. Этот результат не следует использовать для проектирования.

Вариант № 2 даёт умеренные моменты: M _x = ±0,068 т·м/м, M _y = 0,014–0,023 т·м/м.

Вариант № 3 сильно завышает M _x (0,194 т·м, то есть в 8 раз выше, чем M _x в варианте № 2) и M _y (0,199 т·м, в 14 раз выше). Причина — неправильный учёт снижения жёсткости.

Вариант № 4 даёт ещё большее завышение, особенно по My (до 0,422 т·м, что в 30 раз выше варианта № 2). Это объясняется локальным ослаблением до 50 мм.

Вариант № 5 (ручной расчёт) даёт моменты 2,56 и 2,39 т·м — на два порядка выше, потому что он рассчитывает балку пролётом 2,1 м, а не плиту со всех сторон. Тем не менее, эти моменты являются предельными по прочности и показывают, что запас прочности реальной плиты очень высок.

Анализ поперечных сил Qx, Qy.

Здесь также видно, что вариант № 2 даёт умеренные значения (Q _{x max} = 2,18 т, Q _{y max} = 3,89 т). Вариант № 3 завышает их до 8,09 т (в 3,7 раза), вариант № 4 — до 3,3 т (ближе к варианту № 2, но по M _x и M _y сильно искажён). Вариант № 5 даёт огромные поперечные силы (50 т), что связано с балочной схемой.

Общий характер распределения усилий.

Во всех расчётах качественная картина одинакова: в приопорных зонах (по краям плиты) верхняя зона работает на растяжение, нижняя — на сжатие; в центральной пролётной зоне — наоборот (верх сжат, низ растятнут). Зоны максимальных прогибов — центр.

Вывод по вариантам:

– Вариант № 1 — эталон по точности, но непригоден для рутинного проектирования.

– Вариант № 2 — оптимальный, сочетает достаточную точность и простоту.

– Варианты № 3 и № 4 — дают недопустимые погрешности, не рекомендуются.

– Вариант № 5 — слишком консервативен (завышение в 10–100 раз), может использоваться только как поверочный или для предварительных расчётов.

Таким образом, в качестве базовой методики для практического применения выбран Вариант № 2 .

Разработанная методика расчёта

Ниже приведен пошаговый алгоритм, который может быть реализован в любом программном комплексе, поддерживающим расчёт пластинчатых элементов.

Шаг 1. Сбор исходных данных

Необходимо знать:

– геометрические размеры плиты в плане: L _x , L _y ;

– полную толщину плиты: H;

– размеры одного пустотообразователя: a (вдоль оси X), b (вдоль оси Y), h _пуст (высота пустоты);

– шаг пустот: S _x , S _y ;

– количество пустот: n;

– класс бетона: нормативное значение начального модуля упругости E ₀ и плотность ρ ₀ ;

– нагрузки.

Шаг 2. Выбор расчётной полосы

Для вычисления приведённого модуля упругости выделяется полоса шириной, равной шагу пустот в направлении, для которого определяется жёсткость.

Если пустоты квадратные и шаг одинаков, то можно принять

B _расч = S _x = S _y .

Шаг 3. Вычисление приведённого модуля упругости

Момент инерции сплошного сечения полосы:

I _спл = B _расч · H³ / 12.

Момент инерции пустоты в пределах полосы:

I _пуст = b · h _пуст ³ / 12 (где b — размер пустоты поперёк направления изгиба).

Коэффициент снижения изгибной жёсткости:

α _I = I _пуст / I _спл .

Приведённый модуль упругости материала оболочки:

E _red = E ₀ · (1 — α _I ).

Если шаг пустот разный по осям X и Y, вычисляются α _Ix и α _Iy , и в модели задаётся ортотропный материал с модулями E _x = E ₀ ·(1–α _Ix ), E _y = E ₀ ·(1–α _Iy ). Коэффициент Пуассона принимается одинаковым (0,2).

Шаг 4. Вычисление приведённой плотности

Полный объём плиты: V _полн = L _x · L _y · H.

Объём всех пустот: V _пустот = n · a · b · h _пуст .

Объём бетона: V _бет = V _полн — V _пустот .

Коэффициент заполнения: α _V = V _бет / V _полн .

Приведённая плотность: ρ _red = ρ ₀ · α _V .

Шаг 5. Построение конечно-элементной модели в ПК

– Тип конечных элементов — оболочка (пластина) с четырьмя или тремя узлами.

– Толщина оболочки назначается равной H (полной высоте плиты).

– Создаётся новый материал «Эквивалентный бетон» с характеристиками:

E = E _red , ν = 0,2, ρ = ρ _red .

– Нагрузки: собственный вес задаётся через ρ _red , остальные — как распределённые по площади.

Шаг 6. Выполнение расчёта

Проводится статический линейный расчёт (учёт нелинейности не обязателен, так как приведённые характеристики уже дают приемлемую точность для определения усилий). Результаты — поля прогибов, изгибающих моментов M _x , M _y , крутящих моментов M _xy , поперечных сил Q _x , Q _y .

Шаг 7. Проверка приопорных и краевых зон

Согласно конструктивным требованиям, в зонах, где Q _x или Q _y превышают 30–40 % от предельных, следует предусмотреть сплошной бетон (без пустот) и усиленное поперечное армирование. В предложенной методике эти зоны выявляются автоматически по эпюрам Q.

Заключение

В результате выполнения диссертационного исследования были решены следующие задачи:

1. Выполнен анализ существующих конструктивных решений и методов расчёта монолитных плит перекрытия с пустотообразователями. Установлено, что нормативный подход (как к сплошной плите) не учитывает совместную работу элементов, а объёмные конечно-элементные модели слишком трудоёмки для повседневного проектирования.
2. Разработана и протестирована методика расчёта на основе моделирования плиты эквивалентной пластиной-оболочкой с приведёнными модулем упругости (E _red ) и плотностью (ρ _red ). Для рассматриваемой плиты с пустотообразователями 500×500×100 мм, шаг 200 мм, H=200 мм: E _red = 27300 МПа, ρ _red = 1,9 т/м³.
3. Проведён сопоставительный расчёт пяти вариантов моделирования (объёмные КЭ, эквивалентная пластина, приведённая высота, ниши, ручной расчёт). Показано, что варианты № 3 и № 4 дают завышение прогибов в 5–6 раз, моментов — до 30 раз, а ручной расчёт по балочной схеме завышает усилия на порядок. Наилучшее соотношение точности и трудоёмкости обеспечивает вариант № 2.
4. Разработана пошаговая инженерная методика, включающая сбор данных, вычисление приведённых характеристик, создание конечно-элементной модели и подбор армирования. Методика опубликована в виде алгоритма.

Литература:

1. СТО 35546020.001–2022 Конструкции бетонные и железобетонные сборно-монолитные. Правила проектирования. — М.: ОАО «РЖД», 2022. — 127 с.
2. СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52–01–2003. — М.: Минстрой, 2018. — 148 с.
3. СП 20.13330.2016. Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07–85*. — М.: ОАО «НИЦ «Строительство», 2017. — 104 с.
4. Флимонова Е. С. Анализ рекомендуемой методики расчета для монолитных плит перекрытия с различными типами пустотообразователей по системе Cobiax // Строительство и архитектура. — 2023. — № 2. — С. 18–25.
5. Егоров П. И., Тереза Е. А. Анализ расчета монолитной плиты перекрытия с пустотообразователями прямоугольной формы // Ученые заметки ТОГУ. — 2016. — № 4. — С. 186–191.
6. Мохова А. В. Преимущества использования несъемной опалубки (пустотообразователи и соединительные муфты) при проектировании и строительстве зданий и сооружений // Актуальные вопросы техники, науки, технологии. — Брянск, 2023. — С. 696–702.
7. Абаев З. К., Базоев А. Р., Есенов З. К. Методика проектирования монолитной многопустотной плиты с использованием ПК ЛИРА-САПР // Современные научно-технические и социально-гуманитарные исследования. — Владикавказ, 2021. — С. 10–14.
8. Шаленный В. Т., Акимов С. Ф., Павлов К. Н. Совершенствование технологии устройства монолитных и сборно-монолитных железобетонных перекрытий с применением пустотообразователей // Инновационное развитие строительства и архитектуры. — Симферополь, 2023. — С. 259–265.
9. Карпов Р. Е., Бочкарева Т. М. Исследование характера работы облегченной фундаментной плиты с применением пустотообразователей // Современные технологии в строительстве. — Пермь, 2023. — Т.1. — С. 45–49.
10. Джамуев Б. К. Влияния несъемных пустотообразователей на прочность защемленных по контуру монолитных железобетонных плит перекрытия // Строительство и реконструкция. — 2024. — № 2(112). — С. 3–15.