Введение

Математика — царица всех наук и служанка физики. Это известное выражение можно распространить и на другие инженерно-технические (и не только) дисциплины, т. к. математика — это главный инструмент всех наук. Конечно, не обделена вниманием математики и автодорожная отрасль. Например, большое значение в автодорожной отрасли имеют различные кривые. Это, например:

1) окружность (колесо, перекрестки с круговым движением, шкивы ременных передач и др.);

2) эвольвента , которая описывает профиль зуба шестеренок;

3) циклоида и брахистохрона — траектория точки на ободе катящегося колеса;

4) различные переходные кривые ( клотоида , кубическая парабола ) с помощью которых устраивают повороты на дорогах для более комфортного их прохождения.

Основные разделы математики, изучающие кривые:

– Дифференциальная геометрия: изучает гладкие кривые, их кривизну, кручение, длину дуги и др. методами дифференциального и интегрального исчисления.

– Аналитическая геометрия: исследует кривые (особенно линии 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола) с помощью метода координат и уравнений.

– Алгебраическая геометрия: изучает кривые, задаваемые полиномиальными уравнениями.

– Топология: изучает общие свойства кривых, которые не меняются при непрерывных деформациях (форма, связность).

Вычислительная геометрия: занимается алгоритмами построения и обработки кривых в компьютерной графике (сплайны, кривые Безье).

В данной работе рассмотрим некоторые из основных видов кривых с точки зрения их приложений в автодорожной отрасли.

1. Окружность

1.1 Кольцевые пересечения (перекрестки с круговым движением)

Это самое наглядное применение окружности в автодорожной отрасли. Вся геометрия такого перекрестка строится вокруг центрального островка, который, как правило, имеет форму круга (рис. 1). Дороги примыкают к этому кольцу по касательной или через специальные переходные кривые.

Рис. 1. Участок автодороги с круговым движением

В зависимости от размера и места расположения, такие перекрестки делятся на:

– Кольцевые пересечения малого радиуса

Их внешний диаметр составляет от 12 до 20 метров. Они используются на небольших улицах, в жилых зонах и на площадях, где нет места для большого кольца. Из-за малого радиуса водители вынуждены снижать скорость до 20–30 км/ч, что повышает безопасность. Пропускная способность такого перекрестка может достигать 1800 машин в час.

– Классические кольцевые пересечения (среднего и большого радиуса)

Их диаметр может составлять от 20 до 50 метров и более. Они применяются на магистральных улицах и позволяют обеспечить более высокую пропускную способность и плавность движения транспортных потоков.

1.2 Колесо

Колесо — главный инструмент воздействия на дорогу (рис. 2). Анализ взаимодействия колеса с покрытием показывает, что силы от него действуют в разных плоскостях, создавая сложные напряжения. Это приводит к одному из самых распространенных видов разрушения дорог — колееобразованию.

Рис. 2. Колесо (источник: https://cs.p-static.ru/image/57757292/original.jpg)

– Геометрическая модель и кинематика

В инженерных расчетах колесо описывается как тело вращения со сложной системой координат. Его геометрия определяет пятно контакта — область, где все нагрузки передаются на дорогу. Такие параметры, как свободный радиус (половина наружного диаметра недеформированной шины) и угол увода, критически важны для понимания того, как автомобиль вписывается в повороты (в т. ч. на кольцевых пересечениях) и как распределяется нагрузка на дорожное полотно.

2. Циклоида

Циклоида — это кривая, которую описывает точка на окружности колеса, катящегося без скольжения по прямой линии (рис. 3). В зависимости от положения точки относительно центра колеса различают три основных вида циклоидальных кривых (трохоид). Ниже приведены их математические формулы и основные свойства.

Рис. 3. Циклоида — траектория точки на ободе катящегося колеса (источник: https://stihi.ru/pics/2021/06/25/3171.jpg)

Обыкновенная циклоида (рис. 4)

Точка находится на ободе колеса (на расстоянии R от центра). Параметрически уравнение циклоиды выглядит:

, (1)

где R — радиус катящегося круга, t — параметр (угол поворота круга в радианах; t =0 соответствует точке касания с прямой).

Рис. 4. Обыкновенная циклоида

Примеры

Траектория движения колеса. В курсах теоретической механики и динамики транспортных средств изучается траектория движения точек колеса относительно земли.

Мгновенный центр скоростей: Точка колеса, касающаяся дороги, неподвижна. Точка на ободе движется именно по циклоиде.

Практическая польза: используется при расчетах на прочность элементов подвески и шин, а также при моделировании процессов износа дорожного покрытия и образования колеи, так как позволяет точно рассчитать, с какой скоростью и ускорением частицы шины врезаются в микронеровности асфальта.

3. Брахистохрона (таутохрона, перевернутая циклоида)

Используется при проектировании велодорожек и рамп (рис. 5).

Рис. 5. Рампа для спортивной площадки (источник: https://papa-joy.ru/upload/iblock/5eb/4v82s5oflbuc4nxrrop88z9yf7l81ltq.png)

Хотя это не автомобильная дорога общего пользования, а инфраструктура для спорта и рекреации, она проектируется по тем же инженерным принципам, что и дорожные сооружения (как часть циклоиды или близкой к ней кривой). Именно эта кривая обеспечивает оптимальный разгон и безопасное приземление при переходе энергии из поступательного движения во вращательное. Это прямое следствие свойства брахистохроны (рис. 6) (кривой наискорейшего ската) — таутохронности .

Рис. 6. Брахистохрона (источник: https://en.etudes.ru/.data/etudes/cycloid/05@uhd.jpg)

4. Переходные кривые

Переходная кривая используется для того, чтобы кривизна трассы изменялась плавно, а не скачкообразно в месте сопряжения элементов пути с разной кривизной (прямая и круговая кривая, круговые кривые разных радиусов или направленные в разные стороны в виде буквы S (обратные кривые)). При резком изменении кривизны пути поперечные силы, действующие на транспортное средство, изменяются скачкообразно, что приводит к повышенному динамическому воздействию на дорогу (путь) и экипажную часть, увеличивая их износ повышает вероятность вылета за пределы дороги (схода с рельсов) или опрокидывания транспортного средства и вызывает дискомфорт у пассажиров.

Особенно важно устройство переходных кривых при высоких скоростях движения, применении путевых кривых малого радиуса, тяжёлом подвижном составе, пропуске длиннобазового подвижного состава (особенно ПС с длинной жёсткой базой, например, локомотивов) (рис. 7).

Рис. 7. Переходная кривая на железной дороге (источник: https://cdn.railstorg.ru/wp-content/uploads/image-24.png)

4.1 Кубическая парабола:

Кубическая парабола — это график функции, заданной уравнением вида

, (2)

где a≠0. Простейший и самый известный случай — это функция . Это базовая, «родительская» кубическая парабола. Она кардинально отличается от квадратичной параболы ( ). У неё нет «чаши», вместо этого она имеет изгиб (перегиб) и уходит в разные бесконечности своими «рукавами». Называется «кубической» именно из-за наличия куба переменной. Это гладкая, симметричная (нечетная) кривая, проходящая через начало координат. Она всегда возрастает, меняя свою выпуклость в точке перегиба. В общем виде ( ...) она может иметь «горб» и «впадину», но всегда сохраняет свой характерный изгиб и уходит своими ветвями в бесконечность (одна вверх, другая вниз, в зависимости от знака a).

Уникальные черты, которые отличают ее от других графиков (например, от прямой или квадратичной параболы):

Центральная симметрия: График простейшей кубической параболы ( ) симметричен относительно начала координат. Если функцию усложнить ( ...), симметрия пропадает, но точка перегиба остается центром «равновесия».

Точка перегиба: Это место, где график меняет направление своей кривизны. С одной стороны, от этой точки он закручен как чаша (вогнут), с другой — как холм (выпукл). Это единственная точка, где кривая «протыкает» свою касательную.

Отсутствие глобальных границ: В отличие от квадратичной параболы (которая упирается в вершину и идет только вверх или только вниз), кубическая всегда уходит в разные стороны: один конец — в минус бесконечность, другой — в плюс бесконечность.

Наличие двух «лиц»: В зависимости от коэффициентов, входящих в (2), кубическая парабола может быть либо строго монотонной (всегда растет или всегда падает, как , либо иметь локальные максимум и минимум (образовывать «горб» и «впадину»).

Форма S-образной кривой: Даже если у нее есть волны, общий силуэт всегда напоминает вытянутую букву S (или зеркальную Z).

Достоинства кубической параболы

Моделирование равномерного перехода: Она хорошо подходит для описания процессов, которые плавно ускоряются. Например, если что-то сначала уменьшалось, а потом начало возрастать (или наоборот) без резких скачков.

Гибкость формы: Благодаря наличию двух коэффициентов (при и x), которые создают волны, она может имитировать более сложные процессы [1], чем прямая или квадратичная парабола, оставаясь при этом достаточно простой для расчетов.

Неограниченный рост (или падение): Там, где нужно показать, что процесс уходит в бесконечность (например, количество накопленных дефектов в детали растет после определенного момента), кубическая парабола справляется лучше всего.

Недостатки кубической параболы

Несимметричность (в общем случае): в отличие от четных функций (как квадрат), её сложнее анализировать. Она не имеет оси симметрии, что усложняет построение от руки, если уравнение (2) содержит все члены.

Неоднозначность поведения: Если у нее есть «горб» и «впадина», то на одном участке она растет, потом падает, потом снова растет. Это значит, что одним и тем же значением y (кроме экстремумов) могут соответствовать три разных значения x. В связи с этим трудно решать обратные задачи (поиск х при заданном у).

Сложность расчета корней: Найти точки пересечения с осью X (решить кубическое уравнение ) вручную гораздо сложнее, чем для квадратичной параболы (где есть простая формула дискриминанта). Хотя формула Кардано существует, она очень громоздкая.

Чувствительность к коэффициентам [1]: Малое изменение коэффициента b или c в (2) может кардинально изменить форму графика: убрать волны или, наоборот, создать их. Это требует аккуратности при настройке математических моделей.

Экстремумы не гарантированы: Если нужно, чтобы у процесса был четкий пик (максимум) и спад, квадратичная парабола даст это всегда. Кубическая же может просто монотонно расти, «обманув» ожидания.

4.2 Клотоида

Клотоида (также известная как спираль Корню или радиоидальная спираль) — это замечательная кривая, чья кривизна меняется линейно вдоль ее длины. Если кубическую параболу несложно записать в виде явной зависимости у от х и легко представить на графике, то клотоида — это параметрическая кривая, которую удобнее всего описывать, представив, что вы едете по ней на машине. Вы едете прямо по шоссе (руль стоит прямо, кривизна равна нулю). Вам нужно въехать в крутой поворот (кольцо) с постоянным радиусом R (кривизна равна 1/ R ). Если вы повернете руль мгновенно от 0 до нужного угла, машину занесет, пассажиров вдавит в дверцу, а груз опрокинется. Это небезопасно и некомфортно. Клотоида — это траектория, которая получается, если вы будете поворачивать руль очень плавно и равномерно (с постоянной скоростью). Так как поворот руля определяет кривизну траектории, на клотоиде кривизна нарастает от 0 (прямая) до нужного значения равномерно, шаг за шагом.

Клотоида выглядит как две сходящиеся или расходящиеся спирали. В самом центре (в точке s =0) кривизна равна нулю — это условная прямая.

Рис. 8. Клотоида

По мере удаления от центра кривая начинает закручиваться все сильнее и сильнее, стремясь к бесконечному закручиванию (хотя в реальной инженерии используют только небольшой начальный кусок).

Клотоида — это не просто абстрактная кривая, это стандарт в проектировании дорог и железнодорожных путей.

Дорожное строительство (виражные кривые): Это самое известное применение. На трассах и железных дорогах прямой участок никогда не соединяют с круговым поворотом напрямую. Между ними всегда вставляют клотоиду (переходную кривую). В результате водитель плавно поворачивает руль, центробежная сила нарастает постепенно, не создавая рывка.

Проектирование гоночных трасс: Некоторые повороты на гоночных трассах специально проектируют по клотоиде, чтобы найти идеальную траекторию, на которой можно войти в поворот на максимальной скорости без сноса.

Автоматизация (робототехника): Когда робот или беспилотный автомобиль паркуется или объезжает препятствие, его траектория часто аппроксимируется отрезками клотоид. Это гарантирует, что управляющие колеса (или шарниры) будут вращаться плавно, без рывков, экономя энергию и ресурс механизмов.

Достоинства клотоиды:

Комфорт и безопасность: Самое главное достоинство. Полное отсутствие ударных нагрузок при переходе с прямой на дугу.

Постоянство нарастания сил: Центробежное ускорение нарастает линейно, что легко прогнозировать и компенсировать (например, наклоном полотна дороги — виражом).

Предсказуемость: Положение на клотоиде жестко привязано к пройденному пути и накопленной кривизне.

Недостатки клотоиды:

Сложность расчета: Это не просто функция y = f ( x ), как парабола. Клотоида задается через специальные интегралы (интегралы Френеля), которые вручную считать очень трудно. Раньше инженеры пользовались толстыми справочниками с таблицами, а теперь используют компьютерные программы (САПР).

Невозможность точного построения циркулем и линейкой: Её нельзя начертить идеально точно без специального оборудования или софта.

Ограниченность использования: в бытовом черчении или простых графиках она не нужна. Это узкоспециализированный инструмент транспортных инженеров.

Особенности

1. Кинематическая особенность (закон движения точки)

Это самое главное свойство, из которого вытекают все остальные.

Равномерное изменение кривизны: Если представить, что точка движется вдоль клотоиды с постоянной скоростью, то кривизна траектории в этой точке будет изменяться пропорционально пройденному пути.

2. Геометрические особенности

Двойная спираль (симметрия): Клотоида состоит из двух ветвей, закрученных в противоположные стороны. Она симметрична относительно начала координат. Если мысленно раскручивать одну ветвь, она переходит в другую.

Наличие точек перегиба: в самом центре (в точке s =0) клотоида имеет точку перегиба. В этой точке кривизна равна нулю (кривая выглядит как прямая), и направление закручивания меняется на противоположное.

Асимптотическое закручивание: Ветви клотоиды не замыкаются в кольцо, а бесконечно закручиваются вокруг двух точек-фокусов (центров спиралей), приближаясь к ним, но никогда не достигая (подобно тому, как логарифмическая спираль приближается к полюсу).

3. Прикладные особенности (для инженеров)

Начало в нуле: Клотоида всегда начинается с прямой линии (кривизна равна 0) в точке s =0. Это идеально для стыковки с прямолинейным участком дороги.

Плавный выход на дугу: По мере удаления от начала, кривизна плавно нарастает. В точке, где S достигает расчетного значения, кривизна становится равна 1/ R (нужной кривизне круговой дуги). В этой точке клотоида идеально (с общей касательной и общей кривизной) сопрягается с окружностью.

Отсутствие разрывов производных: На стыках «прямая — клотоида — окружность» математически обеспечивается непрерывность не только самой линии, но и её первой и второй производных (угла наклона и кривизны). Это и есть отсутствие «удара» при движении.

Заключение

Из приведенного в статье обзора можно сделать следующие выводы:

1. Аппарат математики неисчерпаем и находит приложения во многих (даже более категорично — во всех) областях науки и техники, и автодорожная отрасль — не исключение.
2. На транспорте, в машиностроении, дорожном строительстве используется богатый набор аналитических кривых, поэтому исследовательская деятельность и внедрение ее результатов на практике является высоко актуальной для ученых, инженеров, конструкторов и проектировщиков.

Литература:

1. Кириллов, А. М., Завьялов М. А. Синергетический подход к моделированию физического износа инженерно-технических систем // Вестник МГСУ. — 2015. — № 5. — С. 93–102. — EDN TSIMPH.