Проблемы использования задач на уроках математики занимают значительное место в методике обучения математике, при этом особое место отводится обучению их решения. Одной из главных причин тех методических затруднений, которые испытывает учитель при обучении решению задач, является отсутствие анализа задачи с точки зрения их определяемости и в связи с этим — неумение видеть внутреннюю структуру задачи, неумение видеть процесс образования задачи.
Чтобы избежать подобных трудностей, необходимо решение достаточного количества разнообразных по содержанию и математической фабуле задач. А поэтому учителю желательно применять на практике неопределенные и переопределенные задачи, а именно задачи с «аномальным» условием. Речь идет о задачах с неполным, избыточным и противоречивым условием. Рассматривая школьные учебники можно убедиться, что ни один из них, практически, не содержит задач такого вида. Чаще всего в них встречаются задачи, относящиеся к алгоритмически разрешенным, не развивающим у учеников вариативного мышления, задачи, которые не учат множеству навыков, столь необходимым для решения задач. Как правило столкнувшись с «аномальной» задачей ученик не может самостоятельно дать правильный ответ. Они не ставят перед собой вопросов о переизбыточности, недостаточности и противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем начать ее решение, не возвращаются к началу задачи, чтобы проверить его.
При целенаправленном использовании переопределённых задач ученики довольно быстро приучаются анализировать условие задачи, но в первое время всё же делают довольно грубые ошибки в решении, объясняющие прежде всего их неумением проводить такой анализ.
При решении задач переопределённых, но имеющих в условии противоречие, ученики после небольшой тренировки находят очевидные или слабо скрытые противоречия, но, если противоречие хоть сколько-нибудь завуалировано, не замечают его и просто игнорируют вместо того, чтобы вернуться к условию задачи и проверить решение. То есть необходимость работы над задачей после получения ответа, необходимость анализа этого ответа, выявление его соответствия тексту задачи формируются у учащихся за более длительный срок и затратой больших усилий как самих учащихся, так и учителя. Потому желательно начинать этот процесс обучая решению задач в младших классах.
При решении неопределённых задач учащиеся не умеют перебирать всевозможные случаи, которые возникают из — за этой неопределённости, и часто либо находят одно решение, либо пишут, что задача не решается.
Приведем примеры каждого из этих видов задач:
Задачи с избыточным условием:
1. Точки А,В,С лежат на окружности с центром в точки О, ÐАВС = 50°, ÈАВ:ÈСВ = 5:8. Найти ÐАОС. (Эту задача легко решается, не использовав отношения ÈАВ:ÈСВ = 5:8)
2. Упростите выражение (2а — b)(2а+b) — (2а + 3b)(2а-3b) и найдите его значение при а = -12.5, b= -2. (При упрощении данного выражения а сокращается, для подсчета значения нам достаточно знать только значение b).
Задачи с недостаточным условием:
1. На первой и второй полках лежало 90 книг, а на первой и третьей лежало 75 книг. На сколько больше книг лежало на второй полке, чем на третьей? (Решая эту задачу, ученики сталкиваются с четырьмя неизвестными. Чтобы решить эту задачу нам не хватает еще одного данного. Например общее количество книг.)
2. Один из углов больше другого на 40°. Найдите эти углы. (Если мы добавим в условие задачи, что эти углы смежные, то задача легко решается, иначе данных для ее решения нам недостаточно.)
Задачи с противоречивым условием:
1. В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена было в 3 раза больше чем во втором. После того как в первый сарай привезли 20 т., а из второго взяли 10 т. в обоих сараях сена осталось поровну. Сколько всего сена было в двух сараях первоначально. (Условие содержит противоречие, т. к. из меньшего взяли, а в большее добавили и стало одинаково, такого быть не может.)
2. Вписать в окружность трапецию, углы которой выражены следующим отношением 3:2:4:3. (Решая получаем трапецию с двумя прямыми углами, такую трапецию невозможно вписать в окружность, противоречие условия заключается в пропорциональности углов.)
Рассмотрим методику работы с задачей на примере первой задачи с противоречивым условием.
І. Осмысление условия:
В: Какая ситуация описана в задаче? О каких величинах идет речь в задаче? О: О количестве сена в сараях.
В: Что нам известно о его первоначальном количестве?
О: В первом сарае в 3 раза больше сена, чем во втором.
В: Что произошло с количеством сена в первом сарае, когда в него привезли 20 т.? О: Увеличилось на 20 т..
В: По сравнению со вторым сараем сена в первом сарае стало больше или нет? О: Больше, было в 3 раза больше и еще увеличилось на 20 т..
В: А что стало с количеством сена во вором сарае, когда из него увезли 10т.? О: Уменьшилось на 10 т..
В: Сколько стало сена во втором сарае по сравнению с первым?
О: Меньше чем в первом, т. к. там было в 3 раза меньше, да еще увезли 10 т..
В: А что сказано о количестве сена в сараях после изменения?
О: Стало одинаковым. В: Возможно ли такое?
О: Нет, т. к. невозможно к большему прибавить, а из меньшего отнять и получить равные величины.
В: В чем ошибка этой задачи?
О: Она содержит противоречие в условие.
В: А что нужно изменить в условие задачи, чтобы она имела решение?
О: Наоборот из первого сарая увезти сено, а во второй привезти, тогда задача имеет смысл. (Этот вариант изменения условия не единственный, учащиеся могут предложить и другую формулировку задачи).
У: Убедимся в правильности наших рассуждений решив эту задачу. Запишем кратко условие.
ІІ Поиск пути решения.
У: Попробуем решить задачу с помощью уравнения.
В: Что нужно найти?
О: Первоначальное количество сена в каждом сарае.
В: Что удобнее обозначить за х? О: Количество сена во втором сарае.
В: Сколько сена тогда будет в первом сарае? О: 3х
В: Что следует из того, что в первый сарай привезли 20 т. сена?
О: 3х + 20
В: Что следует из того, что из второго сарая увезли 10 т. сена?
О: х – 10
В: Какой вывод можно сделать из того, что после перевозок сена стало поровну. О: 3х + 20 = х – 10
ІІІ. Реализация плана решения.
Решение оформим в виде таблицы.
|
БЫЛО |
ИЗМЕНИЛИ |
СТАЛО |
|
|
І сарай |
3х |
3х + 20 |
Одинаково |
|
ІІ сарай |
х |
Х – 10 |
Одинаково |
3х + 20 = х – 10
3х – х = – 30
2х = – 30
х = – 15 < 0, не удовлетворяет условию задачи.
У: Мы убедились в противоречивости этой задачи.
Итак, мы выяснили, что каждый из указанных типов задач несет в себе определенную развивающую функцию. Так, переопределенные задачи требуют умение анализировать условие и строить решение задачи при помощи минимального число данных. Противоречивые задачи заставляют делать проверку решения, более внимательно анализировать данные задачи. Неопределенные задачи требуют достаточно обширных знаний об объекте задачи, о связях его с другими математическими объектами, которые могут оказаться полезными при получении пусть неопределенного, но все же ограниченного некими рамками ответа.
Литература:
1. Бузулина Т. И. Неопределенные задачи в профессиональной подготовке будущих учителей математики [Текст]. — Ростов Н/Д, 2002г.
2. Гребенев И. В., Ермолаева Е. И., Круглова С. С. Математическая подготовка абитуриентов — основа получения профессионального образования в университете// Наука и школа, № 6, 2012г. С 27–31.
3. Ермолаева Е. И. Проблемы усвоения математических знаний студентами технических вузов// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук, № 7, 2010г. С. 270–272.
