Рассматривается задача приведения к тригонометрической проблеме моментов при исследовании задачи гашения колебаний на примере исследования таких структур как прямоугольная мембрана, балка и прямоугольная пластина.
Ключевые слова: прямоугольная мембрана, балка, прямоугольная пластина, колебания системы, метод Фурье, тригонометрическая проблема моментов.
Введение. Исследование колебаний и незамедлительная реакция на разрушительные воздействия от них имеет важную не только научную, но практическую значимость для общества. Сколько можно было бы предотвратить несчастных случаев, если бы удалось предотвратить разрушение механических конструкций в связи с внешним воздействием. Необходимо создавать инструменты, которые позволяли бы будучи встроены в технику предотвращать подобные явления или предупреждать о них заранее. Но для этого необходимо научиться быстро анализировать колеблющиеся процессы и оценивать дальнейшее развитие ситуации, что требует модификации в существующих подходах.
В этой работе будет показан классический подход к решению таких задач — приведение к проблеме моментов. Полученные проблемы моментов относятся к тригонометрическим проблемам моментов и являются довольно-таки сложным инструментом получения управляющей функции.
В данной работе решается проблема колебаний сложных механических структур на примере прямоугольной мембраны, балки и прямоугольной пластины. Каждая из этих механических структур имеет ряд своих особенностей, которые требуют отдельного рассмотрения относительно каждой из них.
Задача гашения колебаний прямоугольной мембраны. Колебания таких структур как прямоугольные мембраны описываются уравнением общего вида
, 
,
,
,
. (1)
Начальные отклонения и скорость перемещения этого первоначального возмущения мембраны
, 
(2)
будем рассматривать как начальные условия. На границе прямоугольной мембраны наложим условие закрепления согласно
(3)
Задача гашения колебаний прямоугольной мембраны формулируется следующим образом: требуется найти управляющую функцию 
(из некоторого класса), позволяющую за конечное время 
полностью погасить начальные возмущения (2), то есть
, 
(4)
Для начала необходимо получить аналитическое решение, что cделать посмотрев [9]. Получается, что решением уравнения является
(5)
где 
, 
, 
для собственных функций 
, с коэффициентами ряда Фурье
(6)
, (7)
где 
получается по формуле коэффициентов ряда Фурье
(8)
Для того, чтобы получить тригонометрическую систему моментов для задачи гашения колебаний прямоугольной мембраны необходимо аналитическое решение уравнения (5) подставить в условия гашения (4)
(9)
Нашу система моментов (9) можно переписать следующим образом
(10)
Умножая на мнимую единицу 
, складывая уравнения в системе, её можно привести к виду
(11)
Система (11) и есть искомая тригонометрическая проблема моментов для прямоугольной мембраны.
Задача гашения колебаний балки. Колебания балки описываются гиперболическим по Петровскому уравнением
, 
,
, (12)
Начальные отклонения и скорость перемещения этого первоначального возмущения балки
, 
, (13)
будем рассматривать как начальные условия. На концах балки наложим условия нежёсткого (шарнирного) закрепления
, 
. (14)
Задача гашения колебаний балки формулируется следующим образом: требуется найти управляющую функцию 
(из некоторого класса), позволяющую за конечное время полностью погасить начальные возмущения (13), то есть
, 
(15)
Для начала необходимо получить аналитическое решение, что можно сделать использовав метод Фурье. Тогда мы получим, что решением уравнения будет
, (16)
где 
, 
, с коэффициентами ряда Фурье
(17)
, (18)
где 
получается по формуле коэффициентов ряда Фурье
(19)
Для того, чтобы получить тригонометрическую систему моментов для задачи гашения колебаний балки необходимо аналитическое решение уравнения (16) подставить в условия гашения (15)
(20)
Нашу система моментов (20) можно переписать следующим образом
(21)
Умножая на мнимую единицу , складывая уравнения в системе, её можно привести к виду
(22)
Система (22) эквивалента следующей системе моментов
, (23)
Системы (22) и (23) и есть искомая тригонометрическая проблема моментов для прямоугольной мембраны.
Задача гашения колебаний прямоугольной пластины. Колебания Малые поперечные колебания упругой изотропной пластины постоянной толщины описываются уравнением Жармен-Лагранжа
, ,, (24)
где 
— изгибная жесткость пластинки; 
— коэффициент Пуассона; 
— модуль Юнга; 
— удельная плотность на единицу площади пластинки; 
— время. Для большего удобства это уравнение можно привести у виду
, (25)
Начальные отклонение и скорость его распространения будем рассматривать как начальные условия
, 
. (26)
На концах пластины наложим условия шарнирного закрепления
, 
(27)
Задача гашения колебаний прямоугольной мембраны формулируется следующим образом: требуется найти управляющую функцию 
(из некоторого класса), позволяющую за конечное время полностью погасить начальные возмущения (11), то есть
, (28)
Для начала необходимо получить аналитическое решение, что можно сделать использовав метод Фурье. Тогда мы получим, что решением уравнения будет
(29)
где 
, с коэффициентами ряда Фурье
(30)
(31)
где получается по формуле коэффициентов ряда Фурье
(32)
Для того, чтобы получить тригонометрическую систему моментов для задачи гашения колебаний балки необходимо аналитическое решение уравнения (29) подставить в условия гашения (28).
(33)
Нашу система моментов (33) можно переписать следующим образом
(34)
Умножая на мнимую единицу , складывая уравнения в системе, её можно привести к виду
(35)
Система (35) эквивалента следующей системе моментов
(36)
Системы (35) и (36) и есть искомая тригонометрическая проблема моментов для прямоугольной мембраны.
Данные тригонометрические проблемы моментов требуют дальнейших исследований. Но, как можно увидеть, решение получить из них не так уж и просто. Поэтому разрабатываются альтернативные подходы к решению задачи гашения, основанные на численных методах [2–9]. Численные методы решения задачи гашения колебаний является очень удобным. Эти способы дают возможность автоматизации процесса обнаружения и исследования деформационной картины объекта, при этом не зависит от выбранных функций в качестве начальных условий. Всё это и многие другие преимущества могут стать большим подспорьем для дальнейшего исследования и разработки новых методик.
Литература:
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977.
2. Атамуратов А. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. О гашении колебаний балки. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Т.50(1). –М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. С. 53–58.
3. Атамуратов А. Ж., Михайлов И. Е. Численное решение задачи о гашении колебаний балки. Тезисы докладов Международной конференции по прикладной математике и информатике, посвященной 100-летию со дня рождения академика А. А. Дородницына. ВЦ РАН, Москва, 7–11 декабря 2010 г. С. 83–84.
4. Aslanov S., Atamuratov A., Mikhailov I., Muravey L., The damping of vibrations for mechanical systems // II International Conference «Optimization and applications» (OPTIMA-2011), Abstracts, Petovac, Montenegro, Sept. 25- Oct. 2, 2011. P. 34.
5. Muravey L., Mikhailov I., Atamuratov A., The damping problem of vibrations for large mechanical systems // ICIAM2011, Abstracts, Vancouver, Canada, July 18–22, 2011. P. 87.
6. Атамуратов А. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. О гашении колебаний сложных механических структур // Авиакосмическая техника и технология, 2012, № 4. С. 54–59.
7. Atamuratov A., Mikhailov I., Muravey L. On the numerical damping of beam’s vibrations // VII International Aerospace Congress IAC’12. Abstracts. Moscow, Russia. 26–31 August, 2012. P. 31–32.
8. Атамуратов А. Ж. Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны // Молодой ученый. № 10. 2013. С. 1–5. http://www.moluch.ru/archive/57/6198/
