Об учете размерности экономических показателей сложных процентов в оценочной деятельности



Статья посвящена рассмотрению нарушений правил математики в формулах сложных процентов, используемых в доходном подходе при осуществлении оценочной деятельности. Предложены корректировки формул сложных процентов и приведены примеры их использования в стоимостных оценочных расчетах.

Ключевые слова : показатель, размерность, функция, сложный процент, оценочная деятельность .

В оценочной, финансовой, банковской, инвестиционной, страховой и иных видах экономической деятельности широко применяются шесть функций сложного процента, из которых три функции являются базовыми, а три функции — им обратные.

Функциями базовыми являются: 1. Накопленная сумма единицы; 2. Накопление единицы за период;3. Текущая стоимость аннуитета [7, c. 64] .

Обратные функции : 1. Текущая стоимость единицы. 2. Фактор фонда возмещения: 3. Взнос на амортизацию единицы [7, c. 64].

Все шесть функций сложного процента строятся с использованием общей базовой формулы , описывающей будущую стоимость единицы. Поэтому все функции сложного процента являются производными от этого базового уравнения.

В общей базовой формуле сложного процента показатель выражает периодическую ставку процента, а показатель — число периодов [7, c. 38].

Процентная ставка по своему названию первично измеряется в процентах с последующим переводом в расчетах в десятичные или обыкновенные дроби. Чаще всего в оценочных и финансовых расчетах процентная ставка измеряется в десятичных дробях.

Процентная ставка является периодической, потому что проценты начисляются за определенный временной интервал, который называют периодом начисления. Вкачестве периода начисления процентов принимаются год, полугодие, квартал, месяц или даже день [8, c. 17]. На практике чаще всего употребляются годовые процентные ставки (1/год), которые могут быть переведены в другие единицы измерения.

В учебном пособии по финансовой математике приведены переводы единицы измерения процентной ставки: « Так, например, если дана годовая процентная ставка (1/год), то месячная процентная ставка равна и т. д». [1, c. 8] .

Из приведенных суждений следует, что процентная ставка имеет не только числовое значение, но и временную характеристику (год, квартал, месяц и т. д.).

Как известно, сложный процент применяется в оценочных и финансовых расчетах, связанных с учетом фактора времени, которое чаще в прямой или косвенной форме выражается в общей базовой формуле показателем степени.

В учебнике «Финансовая математика» приведена формула сложного процента в расшифровке формулы показатель « срок, число лет наращения » [8, c. 43], т. е. показатель

выражается в единицах времени.

В теори и оценки «время получения инвестиционного дохода измеряется интервалами, или периодами. Интервал, или период, может быть равен дню, неделе, месяцу, кварталу, полугодию или году» [7, c. 35]. Значит, число периодов выражается в единицах времени.

В учебной литературе по оценочной деятельности при иллюстрации доходного подхода приводятся различные примеры применения функций сложного процента, в которых процентная ставка и число периодов в явном виде не имеют единицы измерения (размерности), т. е. принимаются условно в качестве безразмерных величин, что позволяет реализовывать функции сложного процента в экономических расчетах.

Например, в книге «Элементы финансовой математики для оценщиков (курс лекций и сборник задач)» для иллюстрации применения первой функции сложного процента в оценочных расчетах приведена следующая задача:

«Задача 1. Вы хотите положить 100 $ в банк на 3 года. Все банки предлагают одинаковую процентную ставку (10 % годовых), но с разной периодичностью начисления процентов (один раз в год, один раз в полугодие, ежеквартально, ежемесячно). В какой из банков выгоднее вложить деньги?» [9, с. 12] .

Задача для иллюстрации применения первой функции сложного процента имеет вид: , где будущая сумма, настоящая сумма.

Решение с применением первой функции сложного процента:

— при начислении процентов один раз в год :

[9, с. 13].

— при начислении процентов один раз в полугодие: [9, c. 13].

— при начислении процентов ежеквартально: ($) [9, c. 14].

— при начислении процентов ежемесячно: [9, c.14].

Как видно из приведенной иллюстрации, единицы измерения (размерности) в явном виде у процентной ставки и числа периодов отсутствуют, хотя в преобразованиях, связанных с разной периодичностью начисления процентов, они применяются.

Процентная ставка и число периодов являются экономическими показателями, но без учета в явном виде размерности они теряют свою экономическую природу и становятся просто коэффициентами, что нельзя признать правомерным для учебных примеров и практических расчетов в оценочной деятельности.

В прикладной экономической науке в содержание экономического показателя включают « наименование, числовое значение и единицу измерения » [6, c. 13]. Такое же содержание должны иметь процентная ставка и число периодов в общей базовой формуле и всех функций сложного процента, используемых в оценочной деятельности.

Вопросы учета размерности процентной ставки и числа периодов затрагивались в ряде работ по оценочной деятельности [3, 4, 5]. Однако они ограничивались рассмотрением размерности показателей только первой и четвертой функций сложного процента и не распространялись на остальные его функции.

Если в основании общей базовой формулы сложного процента внести числовое значение и размерность процентной ставки то по правилам математики нельзя суммировать единицу с процентной ставкой, имеющей размерность. Кроме того, по правилам математики нельзя возводить основание общей базовой формулы сложного процента в степень, показатель которой имеет единицу измерения.

Например, при учете размерности процентной ставки и числа периодов формулы, используемые для решения задачи 1, будут иметь следующий вид:

— при начислении процентов один раз в год:

— при начислении процентов один раз в полугодие:

— при начислении процентов ежеквартально:

— при начислении процентов ежемесячно:

В этих формулах единицы измерения процентной ставки и числа периодов не сокращаются, поэтому такие выражения решения не имеют.

Следовательно, как показатель степени , так и основание общей базовой формулы сложного процента с точки зрения математики являются некорректными. Но если общая базовая формула некорректна, то некорректны и все функции сложного процента, на основе которой они построены. Поэтому при выполнении требований к учету размерности показателей общей базовой формулы и всех функций сложного процента возникает проблема их реализации в соответствии с правилами математики.

Для решения этой проблемы следует обосновать и внести определенные коррективы в общую базовую формулу и во все функции сложного процента для их реализации в экономических расчетах по правилам математики.

Целью статьи является совершенствование теории и практики оценочной деятельности в рамках доходного подхода путем применения размерности показателей функций сложного процента и обеспечения возможности их реализации в стоимостных оценочных расчетах.

Экономический смысл сложного процента заключается в том, что проценты, начисленные в конце каждого периода, не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме вложенного капитала, и в следующий расчетный период процент начисляется уже на большую сумму.

Наряду со сложным процентом в финансовых расчетах применяется и простой процент, в котором базовая формула имеет те же составляющие, но другое выражение — .

Смысл простого процента заключается в том, что процент начисляется только на первоначальный капитал, а полученная постоянная величина прибыли не участвует в обороте капитала и ее можно использовать после окончания каждого отчетного периода.

В формуле простого процента нет нарушений правил математики, так как при умножении ставки процента в форме десятичной дроби на срок начисления процентов, выраженных в одинаковых единицах времени, происходит сокращение этих единиц измерения. В результате умножения ставки процента на срок начисления процентов получается безразмерная величина, которая может суммироваться с единицей в общей формуле простого процента.

« Переход от простого процента к сложному проценту иллюстрируется на примере инвестора, который по депозитному договору с банком вложил определенную сумму денежных средств на депозитный счет на определенный срок с начислениями по простому проценту. После получения вложенной суммы денег с начисленными процентами инвестор перезаключил договор с банком на следующий такой же срок с начислениями по простому проценту. Число перезаключений депозитного договора инвестора с банком может быть многоразовое, что означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения с помощью постоянной или переменнойставки процента » [5, c. 19].

Схема наращения денежных средств инвестора по простому проценту в результате перезаключений договоров (реинвестирования средств), например для числа периодов реинвестирования средств, будет иметь следующий вид

(1)

где:

будущая стоимость средств инвестора, ден. ед.;

настоящая стоимость средств инвестора, ден. ед.;

ставка процента, 1/период;

срок (период) первичного начисления или периодичность начисления процентов,

число повторений реинвестирования (частота инвестирования капитала).

Если в формуле наращения (1) срок начисления процентов у всех перезаключаемых договоров принять равным одному периоду (году, полугодию, кварталу, месяцу и т. д. или определенному числу дней в пределах года), то в этом случае будет выражать один период (срок) или периодичность начисления процентов в течение заданного общего срока реинвестирования средств. Такой вид наращения будет представлять собой наращение по сложным процентам, которое «можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления» [8, c. 44].

В формуле наращения (1), которая представляет первую функцию сложного процента, как и в общей формуле простого процента, произведение является безразмерной величиной, так как знаменатель единицы измерения процентной ставки и числитель периодичности начисления процентов имеют одинаковые единицы измерения, которые при умножении сокращаются. Поэтому математически правомерно в множителе наращения складывать единицу с безразмерным произведением

Если периодичность начисления процентов не совпадает с размерностью процентной ставкой, то в этом случае размерность процентной ставки переводится в размерность периодичности начисления процентов. Если заданная периодичность начисления процентов составляет один квартал, тогда и процентная ставка должна выражаться в кварталах.

Например, при числовом значении годовой процентной ставки равной 0,12 в год и заданной периодичности начисления процентов равной одному кварталу, получим скорректированное значение процентной ставки — 0,12/4 квартала = 0,03/ квартал. Тогда произведение будет представлять коэффициент наращения первоначальной суммы вклада за один квартал, который можно суммировать с единицей множителя наращения, как две безразмерные величины (1+0,03=1,03).

Параметр в общей формуле наращения может быть рассчитан по формуле

(2)

где общий срок инвестирования средств, выраженный в единицах времени.

Если общий срок инвестирования средств задан в одних единицах измерения, а периодичность начисления процентов — в других, то нужно общий срок инвестирования средств перевести в единицы измерения заданной периодичности начисления процентов. Для получения показателя нужно преобразованный общий срок инвестирования средств разделить на периодичность начисления процентов.

Общая базовая формула сложных процентов после внесения в нее изменений примет следующий вид:

(3)

где

периодическая процентная ставка;

заданный период или периодичность начисления процентов;

частота или периодичность инвестирования капитала (платежа).

Периодичность начисления процентов

имеет размерность, которая используется в практических оценочных и финансовых расчетах.

Частота инвестирования капитала является безразмерной величиной и определяется из соотношения общего срока инвестирования к заданной периодичности начисления процентов. Общий срок инвестирования капитала является размерной величиной, так как измеряется временными периодами, как и процентная ставка.

На основе откорректированной общей базовой формулы (3) в таблице 1 представлены откорректированные формулы шести функций сложного процента при платежах в начале периода (Begin).

Таблица 1

Шесть функций сложного процента*

Наименование функции	Формула
	откорректированная	действующая [9, с. 7–44]
1. Накопленная сумма единицы
2. Накопление единицы за период
3. Текущая стоимость аннуитета
4. Текущая стоимость единицы
5. Фактор фонда возмещения
6. Взнос на амортизацию единицы

Примечание*. В таблице 1 указаны порядковые номера трех базовых функций и порядковые номера трех обратных им функций, которые используются в их названиях.

Все основные обозначения показателей шести функций сложного процента приняты по аналогии с используемыми в финансовых калькуляторах и оценочной литературе.

Существенное различие между действующими и откорректированными функциями сложного процента заключается в том, что в откорректированных функциях сложного процента процентная ставка сопряжена с периодичностью начисления процентов, что приводит размерность этих показателей к безразмерной величине. Кроме того, показатель в откорректированных функциях сложного процента является безразмерной величиной и выражает число платежей (инвестирования капитала), а не число периодов, которые выражаются в единицах времени.

В качестве иллюстрации представим решения задачи 1 при применении первой откорректированной функции сложного процента для случаев начисления процентов:

— при годовом начислении процентов

— при полугодовом начислении процентов

— при квартальном начислении процентов

— при ежемесячном начислении процентов (

Как видно из решения задачи 1, правила математики в откорректированной первой функции сложного процента соблюдаются, и все расчеты выполнены корректно.

Проведем теперь более общую проверку откорректированных функций сложного процента на числовых примерах и сравним результаты расчета по функциям и по финансовому калькулятору FC-100. Примеры расчета по трем откорректированным функциям наращения (1, 2, 3) сложного процента приведены в табл. 2–4а.

Условные обозначения : периодичность начисления процентов, мес.; процентная ставка, % /год; срок инвестирования, год; число платежей за срок инвестирования; настоящая сумма, руб.;

будущая сумма, руб.; сумма платежа.

Постоянные исходные данные:

Таблица 2

Исходные данные и результаты расчета по первой откорректированной функции сложного процента

1,0	0.01	0.01	3.0	36.0	36.0	1.01	1.4307	1.0	1.430
2,0	0.01	0.02	3.0	36.0	18.0	1.02	1.4283	1.0	1.428
3,0	0.01	0.03	3.0	36.0	12.0	1.03	1.4257	1.0	1.425
4,0	0.01	0.04	3.0	36.0	9.0	1.04	1.4233	1.0	1.423
5,0	0.01	0.05	3.0	36.0	7.2	1.05	1.4208	1.0	1.420
6,0	0.01	0.06	3.0	36.0	6.0	1.06	1.4185	1.0	1.418
7,0	0.01	0.07	3.0	36.0	5.1	1.07	1.4159	1.0	1.415
8,0	0.01	0.08	3.0	36.0	4.5	1.08	1.4138	1.0	1.413
9,0	0.01	0.09	3.0	36.0	4.0	1.09	1.4115	1.0	1.411
10.0	0.01	0.10	3.0	36.0	3.6	1.10	1.4093	1.0	1.409
11,0	0.01	0.11	3.0	36.0	3.2	1.11	1.4067	10	1.406
12,0	0.01	0.12	3.0	36.0	3.0	1.12	1.4049	1.0	1.404

В таблице 2 изменяется значение периодичности начисления процентов при неизменных значениях процентной ставки и сроков инвестирования. Остальные показатели таблицы 2 являются расчетными в зависимости от изменения периодичности начисления процентов. При увеличении периодичности начисления процентов и одинаковой процентной ставке и сроке инвестирования будущая сумма имеет тенденцию к уменьшению, так как проценты начисляются все реже и реже. Для проверки полученных значений будущей суммы проведем вычисления с использование финансового калькулятора, который имеет некоторые отличительные показатели и их условные обозначения.

Условные обозначения по финансовому калькулятору F С-100: число периодов начислений сложного процента; I % — процентная ставка; PV — основная (текущая) сумма; PMT — сумма платежа; FV- будущая сумма (основная сумма и процент, или окончательная сумма платежа); P/Y — число платежей за гол; C/Y- число начислений сложного процента за год.

Постоянные исходные данные: n = 3 года = 36 мес.; I =12 % /год = = 0,12/год = 0.01 /мес.: PV= 1.0 руб.

Таблица 2а

Исходные данные и результаты расчета по первой функции сложного процента по финансовому калькулятору

3.0	3.0	12.0	1.0	12.0 (1.0)	1.0	1.430
3.0	3.0	12.0	1.0	6.0 (2.0)	1.0	1.428
3.0	3.0	12.0	1.0	4.0 (3.0)	1.0	1.425
3.0	3.0	12.0	1.0	3.0 (4.0)	1.0	1.423
3.0	3.0	12.0	1.0	2.4 (5.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.0	2.0 (6.0)	1.0	1.418
3.0	3.0	12.0	1.0	1.7 (7.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.0	1.5 (8.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.0	1.3 (9.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.2	1.2 (10.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.0	1.1 (11.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.0	1.0 (12.0)	1.0	1.404

В головке таблицы 2а в скобках указаны условные обозначения показателей, приведенные в таблице 2. Результаты расчета по строкам с целым числом платежей за год полностью совпадают с результатами расчета, по аналогичным строкам, полученными по откорректированным функциям, что свидетельствует о правомерности используемой функции.

Теперь рассмотрим расчеты по второй откорректированной функции сложного процента (табл.3).

Таблица 3

Исходные данные и результаты расчета по второй откорректированной функции сложного процента

1,0	0.01	0.01	3.0	36.0	36.0	1.01	43.07	1.0	43.07
2,0	0.01	0.02	3.0	36.0	18.0	1.02	21.41	1.0	21.41
3,0	0.01	0.03	3.0	36.0	12.0	1.03	14.19	1.0	14.19
4,0	0.01	0.04	3.0	36.0	9.0	1.04	10.58	1.0	10.58
5,0	0.01	0.05	3.0	36.0	7.2	1.05	8.41	1.0	8.41
6,0	0.01	0.06	3.0	36.0	6.0	1.06	6.97	1.0	6.97
7,0	0.01	0.07	3.0	36.0	5.1	1.07	5.88	1.0	5.88
8,0	0.01	0.08	3.0	36.0	4.5	1.08	5.16	1.0	5.16
9,0	0.01	0.09	3.0	36.0	4.0	1.09	4.57	1.0	4.57
10.0	0.01	0.10	3.0	36.0	3.6	1.10	4.09	1.0	4.09
11,0	0.01	0.11	3.0	36.0	3.2	1.11	3.60	10	3.60
12,0	0.01	0.12	3.0	36.0	3.0	1.12	3.37	1.0	3.37

Сравнительные результаты расчета по второй откорректированной функции с использованием финансового калькулятора приведены в табл. 3а.

Постоянные исходные данные: n = 3 года = 36 мес.; I =12 % /год = = 0,12/год = 0.01 /мес.: PMT= 1.0 руб.

Таблица 3а

Исходные данные и результаты расчета по второй функции сложного процента по финансовому калькулятору FC -100

3.0	36.0	12.0	12.0	12.0 (1.0)	1.0	43.07
3.0	18.0	12.0	6.0	6.0 (2.0)	1.0	21.41
3.0	12.0	12.0	4.0	4.0 (3.0)	1.0	14.19
3.0	9.0	12.0	3.0	3.0 (4.0)	1.0	10.58
3.0	7.2	12.0	2.4	2.4 (5.0)	1.0	-
3.0	6.0	12.0	2.0	2.0 (6.0)	1.0	6.97
3.0	5.1	12.0	1.7	1.7 (7.0)	1.0	-
3.0	4,5	12.0	1.5	1.5 (8.0)	1.0	-
3.0	3.9	12.0	1.3	1.3 (9.0)	1.0	-
3.0	3.6	12.0	1.2	1.2 (10.0)	1.0	-
3.0	3.3	12.0	1.1	1.1 (11.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.0	1.0 (12.0)	1.0	3.37

В каждой строке таблицы 3а представлено числу платежей за год (P/Y), которому соответствует число начислений процентов за год (C/Y), и число периодов начислений процентов, которое определяется путем умножения числа платежей за год на срок инвестирования, выраженный в годах. Показателя «Срок инвестирования» (N) в данных калькулятора нет, он задается в условиях задачи.

Финансовый калькулятор по не целым значениям показателя P/Y не выдает результаты по FV. По другим показателям C/Y и P/Y данные в таблицах 3 и 3а полностью совпадают. Показатель P/Y определяется, как отношение количества месяцев в году к заданной периодичности начисления процентов, а численное значение показателя P/Y принимается равным значению показателя C/Y. Это означает, что число начислений процентов соответствует числу платежей. Однако число платежей может быть больше, чем число начислений процентов. Например, если число начислений процентов за год составляет 2, а числа платежей в год — 12 при сроке инвестирования 3 года, то FV составит 42.88 руб., что в 6 раз более значения, указанного в таблице 3а (6.97 руб.).

Перейдем к рассмотрению расчетов по третьей функции сложного процента (табл. 4). В литературе по оценке это пятая функция [9, c. 32].

Таблица 4

Исходные данные и результаты расчета по третьей откорректированной функции сложного процента

1,0	0.01	0.01	3.0	36.0	36.0	1.01	30.10	1.0	30.10
2,0	0.01	0.02	3.0	36.0	18.0	1.02	14.98	1.0	14.99
3,0	0.01	0.03	3.0	36.0	12.0	1.03	9.95	1.0	9.95
4,0	0.01	0.04	3.0	36.0	9.0	1.04	7.43	1.0	7.43
5,0	0.01	0.05	3.0	36.0	7.2	1.05	5.92	1.0	5.92
6,0	0.01	0.06	3.0	36.0	6.0	1.06	4.91	1.0	4.91
7,0	0.01	0.07	3.0	36.0	5.1	1.07	4.16	1.0	4.16
8,0	0.01	0.08	3.0	36.0	4.5	1.08	3.65	1.0	3.65
9,0	0.01	0.09	3.0	36.0	4.0	1.09	3.23	1.0	3.23
10.0	0.01	0.10	3.0	36.0	3.6	1.10	2.64	1.0	2.64
11,0	0.01	0.11	3.0	36.0	3.2	1.11	2.58	10	2.58
12,0	0.01	0.12	3.0	36.0	3.0	1.12	2.40	1.0	2.40

Сравнительные результаты расчета по третьей функции сложного процента с использованием финансового калькулятора приведены в табл.4а.

Постоянные исходные данные: n = 3 года = 36 мес.; I =12 % /год = = 0,12/год = 0.01 /мес.; PMT= 1.0 руб.

Таблица 4а

Исходные данные и результаты расчета по третьей функции сложного процента по финансовому калькулятору FC -100

3.0	36.0	12.0	12.0	12.0 (1.0)	1.0	30.10
3.0	18.0	12.0	6.0	6.0 (2.0)	1.0	14.99
3.0	12.0	12.0	4.0	4.0 (3.0)	1.0	9.95
3.0	9.0	12.0	3.0	3.0 (4.0)	1.0	7.43
3.0	7.2	12.0	2.4	2.4 (5.0)	1.0	-
3.0	6.0	12.0	2.0	2.0 (6.0)	1.0	4.91
3.0	5.1	12.0	1.7	1.7 (7.0)	1.0	-
3.0	4,5	12.0	1.5	1.5 (8.0)	1.0	-
3.0	3.9	12.0	1.3	1.3 (9.0)	1.0	-
3.0	3.6	12.0	1.2	1.2 (10.0)	1.0	-
3.0	3.3	12.0	1.1	1.1 (11.0)	1.0	-
3.0	3.0	12.0	1.0	1.0 (12.0)	1.0	2.40

В таблице 4а результаты расчета PV по целым числам C/Y и P/Y полностью совпадают с аналогичными результатами, приведенными в таблице 4. По дробным числам C/Y и P/Y финансовый калькулятор выдает ошибку, т. е. не выдает числовое значение, что с точки зрения здравого смысла является правильным, так как число платежей (P/Y) не может быть дробным числом.

По трем остальным функциям сложного процента расчеты не приводятся, так как они являются обратными основным функциям наращения и не изменяют технику вычислений.

ВЫВОДЫ:

В учебной литературе по оценочной деятельности в общей базовой формуле сложного процента ставка процента и число периодов используются без указания единиц измерения, что является неправомерным.

При установлении единицы измерения процентной ставки и числа периодов по правилам математики в основании общей базовой формулы сложного процента нельзя суммировать единицу с процентной ставкой, имеющей размерность. Также нельзя по правилам математики возводить основание общей базовой формулы сложного процента в степень с показателем, имеющим размерность.

Для корректировки общей базовой формулы и всех функций сложного процента предложено внести дополнительные показатели, характеризующие периодичность начисления процентов, срок и частоту инвестирования капитала, что позволяет реализовывать функции сложного процента без нарушения правил математики.

Приведены примеры использования откорректированных формул сложных процентов в стоимостных оценочных расчетах.

Статья может быть полезна слушателям системы повышения квалификации оценщиков, практикующим оценщикам, предпринимателям, инвесторам, финансистам, страховщикам и иным лицам.

Литература:

1. Бадюков В. Ф. Финансовая математика: учеб. пособие / В. Ф. Бадюков,
2. М. Ю. Серкин. Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2009. 92 с.
3. Грибовский С. В. Методы капитализации доходов. Курс лекций. Санкт-Петербург, 1977. 172 с.
4. Мочулаев В. Е. К вопросу о безразмерных показателях в теории оценки стоимости недвижимости // Молодой ученый, 2014. № 18. С. 415–420.
5. Мочулаев В. Е. Уточненная формула сложных процентов и ее применение в теории оценки стоимости недвижимости // Конкурентоспособность в глобальном мире: экономика, наука, технологии. 2016. № 7. ч.1. С. 242–245.
6. Мочулаев В. Е. Методы накопления и дисконтирования денежных потоков в теории оценки стоимости предприятия (бизнеса) // Вопросы оценки, 2016. № 4. С.16–22.
7. Курс экономики: Учебник / Под ред. Б. А. Райзберга. М.: ИНФРА-М, 1997. 720 с.
8. Фридман Дж., Ордуэй Ник. Анализ и оценка приносящей доход недвижимости. Пер. с англ., М.: «Дело Лтд», 1995. 480 с.
9. Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник. 4- е изд. М: Дело, 2004. 400 с.
10. Элементы финансовой математики для оценщиков (курс лекций и сборник задач). Составитель и ответственный редактор канд. физ.- мат. наук, зам. директора ПИНО Т. Г. Касьяненко. СПб., ЗАО «ПИНО», 1997. 64 с.