Важнейшим параметром системы автоматического управления (САУ) является ее поведение при внешнем воздействии, данный параметр определяется устойчивостью.

Устойчивость САУ — это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после каждого выхода из него в результате какого-либо воздействия [1].

Целью данной работы является выявление зависимости между коэффициентами характеристического уравнения второго порядка, описывающего импульсную САУ, и устойчивостью системы.

Импульсные САУ — это системы автоматического управления, в которых действуют сигналы, квантованные по времени [1].

Пусть дано уравнение второго порядка, описывающее импульсное САУ:

Где a,b,c, k — коэффициенты, x- входная величина, y-выходная величина.

Для того чтобы определить устойчивость системы по одному из критериев, критерию Гурвица необходимо найти передаточную функцию системы.

Передаточная функция определяется как отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях [1].

К уравнению (1) применим преобразование Лапласа:

Передаточная функция W(z):

Для того чтобы использовать критерий Гурвица для импульсных САУ в выражении (3) введем замену переменной:

Тогда:

Окончательно преобразовав выражение (4), получим:

Для уравнения второй степени, по критерию Гурвица, положительность коэффициентов при u в знаменателе передаточной функции оказывается необходимым и достаточным критерием устойчивости [1].

Исходя из вышесказанного и выражения (5) можно сделать вывод, что для устойчивости импульсной САУ второго порядка необходимо выполнение всех трех неравенств:

Для проверки верности данного вывода используем другой критерий устойчивости, корневой критерий.

Корневой метод определения устойчивости импульсной САУ: для того, чтобы импульсная система считалась устойчивой необходимо, чтобы корни характеристического уравнения принадлежали окружности на комплексной плоскости радиусом 1 и центром в начале координат [1].

Рис. 1. Корневой метод определения устойчивости импульсной САУ

В ходе выполнения проверки было установлено, что критерий (6) является не полным, так как, например, при коэффициентах a=-5, b=3, c=1, неравенства (6) не выполняются, однако по корневому условию САУ является устойчивой.

Рис 2. Положение корней характеристического уравнения при a=-5, b=3, c=1 на комплексной плоскости

Поэтому, условие (6) нуждается в дополнении.

При определении устойчивости импульсной разомкнутой САУ второго порядка корневым методом, корнями уравнения будут значения: и , где x — действительная часть комплексного числа, iy — мнимая часть комплексного числа, — мнимая единица.

По теореме Виета:

(7)

То есть:

(8)

(9)

Известно, что уравнение окружности с центром в начале координат:

Следовательно:

(11)

Чтобы дискретная САУ была неустойчивой, нужно чтобы корни характеристического уравнения не выходили за пределы окружности R=1, то есть:

Объединяя найденные условия устойчивости (6) и (12), получим:

(13)

Вывод: в данной работе было выявлена зависимость (13) между коэффициентами характеристического уравнения второго порядка, описывающего импульсную САУ, и устойчивостью системы.

Литература:

1. Юревич Е. И. Теория автоматического управления. — 4-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2016. — 560 с.