Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 6 марта, печатный экземпляр отправим 10 марта.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса / А. У. Майканова, М. Ю. Шонин, С. А. Бекмухометова [и др.]. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 10 (248). — С. 1-5. — URL: https://moluch.ru/archive/248/56999/ (дата обращения: 25.02.2021).



В статье рассматривается алгоритм метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Выбран язык Maple, как наиболее оптимальный для реализации алгоритма. В статье содержится листинг программного кода.

Ключевые слова: система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, алгоритм реализации метода Гаусса, прямой и обратный ход, программный код.

В прикладных задачах довольно часто приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это не удивительно, поскольку математические модели тех или иных процессов либо сразу строятся как СЛАУ, либо сводятся к таковым посредством дискретизации или линеаризации.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения СЛАУ. Являясь наиболее мощным и универсальным инструментом для нахождения решения СЛАУ, он обладает рядом преимуществ: 1) нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность; 2) методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю; 3) метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Но главное, что было отмечено в работе «Метод Гаусса в школе» М. Ю. Шонина и Л. А. Мамедалиной, «Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах» [3].

Настоящая статья посвящена составлению и апробации алгоритма численного решения СЛАУ в соответствии с алгоритмом метода Гаусса. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений [1]

Решение:

Для численного решения СЛАУ воспользуемся математическим пакетом Maple 15. В соответствии с условием задачи имеем:

и

Для эффективной работы в необходимо разбираться в тонкостях языка. К ним относится, например, команда и переменная .

Команда — очищает память . Это означает, что все определенные для этого в программе переменные и другие объекты будут стерты. При этом текст программы останется неизменным. Данная функция необходима для осуществления компиляции.

Переменная возвращает необходимое количество знаков после запятой . Установим точность вычисления . Поскольку нам придется иметь дело с матрицей и вектор-столбцом, то необходимо подключить библиотеку линейной алгебры — . Введем данные в программу.

>

>

>

>

>

>

>

В соответствии с логикой метода Гаусса, программа должна привести матрицу к треугольному виду (Прямой ход). Целесообразно воспользоваться циклом со счетчиком . Цикл предназначен для реализации итерационных (повторяющихся) действий [2].

>

>

>

>

>

Следующий этап — обратный ход, построчное вычисление входящих в систему переменных и их вывод на экран.

>

>

>

Заключительным этапом программы служит проверка адекватности найденного решения. Для этого воспользуемся командой решения СЛАУ — .

>

Найдем абсолютную погрешность (модуль разности значений переменных, полученных путем численного решения и при помощи встроенной команды соответственно). Команда выполняет операции над матрицами. Команда возвращает абсолютные значения.

>

Анализируя последние результаты, можно констатировать высокую точность вычисления. Таким образом, разработанная программа вполне адекватна для решения СЛАУ.

Литература:

  1. Ильин В. А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
  2. Кирсанов М. Н. Практика программирования в системе Maple. — М.: Издательский дом МЭИ, 2011. — 208 с.
  3. Мамедалина Л. А. Метод Гаусса в решении СЛАУ в школе / Л. А. Мамедалина, М. Ю. Шонин // Весенний школьный марафон: материалы III Междунар. науч.-практ. конф. школьников (Чебоксары, 31 мая 2016 г.) / редкол.: О. Н. Широков [и др.] — Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2016. — С. 139–143.
Основные термины (генерируются автоматически): метод Гаусса, численное решение, алгоритм метода Гаусса, обратный ход, переменная, программный код, система уравнений, число уравнений.


Ключевые слова

метод Гаусса, система линейных алгебраических уравнений, алгоритм реализации метода Гаусса, прямой и обратный ход, программный код

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

В последнее время для решения задач вычислительной математики часто применяют

3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

приближенное решение , метод трапеций, метод итераций , квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод

Применение описанных в статье методов позволяет восстановить утраченные исходные коды простых линейных и итерационных...

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона...

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием.

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

- Метод Гаусса—Жордана. Сложность алгоритма — . - С помощью матрицы алгебраических дополнений.

В алгоритмах Гаусса и LU-разложения обратная матрица получается после фиксированного числа арифметических операций.

Модульный анализ сеточных методов решения...

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для различных моментов времени . Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод

Решения таких уравнений методом вариационных итераций было показано многими

Для решения этой задачи применяем вышеописанную алгоритм МВИ для ОДУ второго порядка.

Методическое обеспечение решения математических моделей

Им принадлежит применяемый метод решения систем алгебраических линейных уравнений и вычислительная система. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений подразделяются на и прямые. Прямые используют метод Гаусса, а итерационные методы...

К вопросу о реализации профессиональной направленности...

решение систем алгебраических уравнений методами: Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы. Алгоритмы решения «базовых» профессиональных задач разбираются на практических занятиях и даются студентам для типовых расчетов.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

В последнее время для решения задач вычислительной математики часто применяют

3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

приближенное решение , метод трапеций, метод итераций , квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод

Применение описанных в статье методов позволяет восстановить утраченные исходные коды простых линейных и итерационных...

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона...

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием.

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

- Метод Гаусса—Жордана. Сложность алгоритма — . - С помощью матрицы алгебраических дополнений.

В алгоритмах Гаусса и LU-разложения обратная матрица получается после фиксированного числа арифметических операций.

Модульный анализ сеточных методов решения...

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для различных моментов времени . Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод

Решения таких уравнений методом вариационных итераций было показано многими

Для решения этой задачи применяем вышеописанную алгоритм МВИ для ОДУ второго порядка.

Методическое обеспечение решения математических моделей

Им принадлежит применяемый метод решения систем алгебраических линейных уравнений и вычислительная система. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений подразделяются на и прямые. Прямые используют метод Гаусса, а итерационные методы...

К вопросу о реализации профессиональной направленности...

решение систем алгебраических уравнений методами: Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы. Алгоритмы решения «базовых» профессиональных задач разбираются на практических занятиях и даются студентам для типовых расчетов.

Задать вопрос