В работе раскрыта проблема изучения комбинаторных соединений в старшей школе, а также рассмотрен вопрос о важности развития умения решать комбинаторные задачи.
Ключевые слова: комбинаторика, комбинаторные задачи, индекс удовлетворенности, обучаемые, сборник задач.
The paper reveals the problem of studying the combinatorial connections in high school, and also discussed the importance of developing skills to solve combinatorial problems.
Key words: combinatorics, combinatorial problems, the satisfaction index, the trainees, collection of problems.
Решение комбинаторных задач позволяет определить и наглядно представить набор всех возможных исходов некоторого испытания, опыта (или серии испытаний). Без использования аппарата комбинаторики во многих вероятностных задачах трудно описать все элементарные события. Поэтому важно дать ученикам наглядное, компактное, запоминающееся представление о тех практических ситуациях, где используются комбинаторные принципы подсчета. Это в свою очередь дает возможность вычисления вероятности определенного случайного события, связанного с рассматриваемыми исходами. Кроме этого, некоторые задачи комбинаторики помогают понять происхождение закона нормального распределения вероятностей — основы математической статистики. [2]
Одна из задач модернизации содержания и структуры Российского школьного образования состоит в совершенствовании качества математического образования [3]. Основным недостатком математической подготовки школьников является неумение пользоваться математическими понятиями при работе с реальными объектами. Одним из разделов «реальной» математики является комбинаторика. Для исследования отношения к комбинаторике участников образовательного процесса был проведен опрос среди учителей и обучающихся старших классов школ Кущевского района Краснодарского края. В нем приняли участие 45 учителей и 132 обучающихся. Данное исследование было направлено на выявление индекса удовлетворенности изучением комбинаторики на уроках (внеурочных занятиях) математики. Индекс вычислялся следующим образом:
1) Были специально разработаны анкеты с определенными вопросами, в каждом из которых ответы однотипны.
2) Затем собиралась информация путем систематизации полученных результатов.
3) Далее вычислялась удовлетворенность изучения комбинаторики в школе по определенной формуле. Удовлетворённость каждого человека определялась как среднее арифметическое от удовлетворённостей по каждому пункту. Общая удовлетворённость определялась как среднее арифметическое от удовлетворённостей всех опрошенных.
Результаты проведенного анкетирования показали, что отношение и учителей и обучающихся к данному разделу математики далеко неоднозначно. Во многих школах изучением комбинаторики пренебрегают. Причем причина данной проблемы не установлена однозначно. При опросе учителей математики выяснилось, что многие из них уделяют решению комбинаторных задач мало времени в связи с:
– недостатком времени на уроке;
– недостаточной осведомленностью в данном вопросе
– программой (анализ программного содержания школьного курса математики показал, что задачи вероятностного и комбинаторного характера разбросаны по всему курсу математики и не приведены в систему [1]);
Необходимо отметить также, что многие учителя не считают нужным основательно излагать комбинаторику на уроках математики. Большинство опрошенных нами учителей (53 %) не уделяют должного внимания задачам комбинаторного содержания. Отсюда и малая степень ознакомления обучающихся с решением комбинаторных задач.
По результатам проведенного анкетирования школьников (расчета индекса удовлетворенности) было выявлено следующее:
1) Обучающиеся 10–11-х классов мало знакомы с комбинаторными задачами (43 % старшеклассников).
2) Учителя уделяют мало времени решению комбинаторных задач на уроках математики (56 % опрошенных учителей).
3) В учебниках математики таких задач недостаточное количество. Нами были проанализированы следующие учебники алгебры 10–11 классов:
– Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва:
Раздел «Комбинаторика» включает 16 задач на правило произведения, 13 задач на перестановку, размещениям посвящено лишь 8 задач, 12 — сочетаниям, 5 — биному Ньютона. В конце главы также имеется 10 упражнений на обобщение и систематизацию знаний.
– А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын:
В рассматриваемом учебнике комбинаторных задач не было обнаружено.
–Мордкович А. Г.(базовый уровень):
Глава 9: «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности»:
- Сочетания и размещения — 20 задач;
- Формула бинома Ньютона — 7 задач.
–Мордкович А. Г.(профильный уровень):
Задачи комбинаторного характера присутствуют только в задачнике для 10 классов.
Глава 8: «Комбинаторика и вероятность»:
- Правило умножения. Перестановки и факториалы — 24 задания;
- Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты — 30 заданий.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что и в самих учебниках не акцентируется внимание на комбинаторике.
В процессе бесед учителя также отмечали, что:
– нет связи данных тем с другими разделами курса — 17 учителей лучше в процентах;
– большинство обучающихся не могут самостоятельно справиться с решением комбинаторных задач — 25 учителей;
– комбинаторные задачи не включаются в проверку знаний учащихся — 23 учителя.
Также следует отметить, что опытные учителя (с большим стажем работы) пренебрегают решением комбинаторных задач. Учителя с небольшим стажем стараются уделять время задачам данного типа, однако, им не хватает времени на уроках, чтобы рассмотреть их более подробно.
4) Несмотря на низкий уровень знаний в области комбинаторики, обучающиеся считают, что умение решать комбинаторные задачи пригодится в жизни и будет полезным в дальнейшем (67 % опрошенных).
5) Обучающиеся заинтересованы в получении большей информации в данной области (66 %).
Исходя из полученной информации, можно сделать вывод о том, что необходимо существенно усилить подготовку обучаемых в области решения комбинаторных задач как на уроках математики, так и на дополнительных занятиях (кружках, элективных курсах и т. п.). Для решения проблемы нехватки учебной литературы, нами был составлен сборник задач по различным разделам комбинаторики.
В данном сборнике приведено 80 задач различных типов: на основные комбинаторные соединения, а также на использование правила суммы и произведения. В конце сборника имеется опорный конспект (Приложение), который может послужить обучающимся помощью при решении комбинаторных задач. К задачнику было разработано пособие для учителей с решением и ответами к конкретным задачам. Данный сборник задач можно использовать при реализации элективного курса.
Литература:
- Виноградова Е. П. Опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики. [Электронный ресурс] // Учебные материалы по психологии и педагогике: [сайт]. [2009]. URL: https://superinf.ru/view_helpstud.php?id=1987 (Дата обращения: 19.09.2018).
- Захарова А. Е. Элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики в основной школе: учебно-методическое пособие / А. Е. Захарова, Ю. М. Высочанская. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.
- Федеральные государственные образовательные стандарты // http//fgosvo.ru/reestr/13/12/1.
