Пространство Фока и его обрезанные подпространства

Пусть — измеримое множество, –декартово произведение, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Обозначим

,

,

,

.

Тогда

,

.

Теперь определим скалярное произведение двух элементов и норма элемента в пространствах и .

Утверждение 1. Если

,

то их скалярное произведение определяется по равенству:

,

где –есть скалярное произведение в гильбертовом пространстве , т. е.

,

.

Утверждение 2. Для любых произвольных элементов

.

Пример 1. Пусть , и

,

где координаты определены следующим образом:

,

.

Тогда

.

Утверждение 3. Норма любого элемента определяется следующим образом:

,

,

..

Утверждение 4. Для любого элемента его норма определяется по правилу

.

Пример 2. Пусть , и

,

где координаты определены следующим образом:

.

Тогда

,

.

Поэтому

.

Если , то гильбертово пространство называется стандартное пространство Фока [1,2] над пространством и обычно обозначается через :

.

В этом случае, гильбертово пространство , т. е.

называется обрезанным подпространством пространства Фока, состоящей из одночастичного, двухчастичного, …, –частичного подпространства фоковского пространства. Если рассмотрим симметричные функции [2], то получается стандартное бозонное пространства Фока, в случае антисимметричных функций получается стандартное фермионное пространства Фока.

Литература:

1. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. –М.: Мир. 1982, –430 С.
2. R. A. Minlos, H.Spohn. The three-body problem in radioactive decay: The case of one atom and at most two photons. Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, V. 177, eds. R. L. Dobrushin, R. A. Minlos, M. A. Shubin, A. M. Vershik, AMS, Providence, RI, 1996, P. 159–193.