B помощь арифметике | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 27 июля, печатный экземпляр отправим 31 июля.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Ахмедова Н. М. B помощь арифметике // Молодой ученый. — 2017. — №4.2. — С. 14-15. — URL https://moluch.ru/archive/138/39020/ (дата обращения: 18.07.2019).



Мгновенное умножение. Математики во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 9882 выполняется так:

988 • 988 = (988 + 12) • (988 - 12) + 122 = 1000 • 976 + 144 = 976 144

Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:

а2 = a 2 — b 2 + b 2 = (a + b) (a — b) + b 2

Ha практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.

Например:

182 = 20 • 16 + 22 = 324,

372 = 40 • 34 + 32 = 1369,

482 = 50 • 46 + 22 = 2304,

542 = 58 -50 +42 = 2916.

Далее, умножение 986• 997 выполняется так:

986 • 997 = (986 — 3) • 1000 + 3 • 14 = 983 042

На чем основан этот прием? Представим множители в виде

(1000- 14)•(1000-3)

и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:

1000 • 1000 - 1000 • 14 - 1000 • 3 + 14 •3.

Делаем преобразования:

1000 (1000 - 14) - 1000.3 + 14 - 3 = 1000 • 986 - 1000.3+ 14 •3 =

= 1000(986 — 3) + 14 •3.

Последняя строка и изображает прием вычислителя. Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение

783 •787

выполняется так:

78 •79 = 6162;3 •7 = 21;

результат: 616221.

Обоснование способа ясно из следующих преобразований:

(780 + 3) (780 + 7) = 780 • 780 + 780 • 3 + 780 • 7 + 3 • 7 = 780 • 780 + 780-10 + +3-7 == 780 (780 + 10) + 3 • 7 = 780 • 790 + 21 = 616200 + 21.

Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще

783 •787= (785-2)(785+2)=7852-4= 616 225 — 4 = 616 221.

В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:

352;

ж;

3•4=12.

Отв.

1225

652;

6•7 = 42.

Отв.

4225

752;

7 • 8 = 56.

Отв.

5625

Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.

Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так: 10а+5.

Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен

100а2 + 100a+ 25 = 100a(a+ 1) + 25.

Выражение а(а+1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 — все равно, что приписать к числу 25.

Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и . Например:

= 3,52 =12,25= 12 , и т.п.

Цифры 1, 5 и 6. Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.

Например, 462 = 2116; 463 = 97 336.,

Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.

Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:

10а + 6,10b + 6 и т. д., где а и b— целые числа.

Произведение двух таких чисел равно

100аb + 60b + 60а + 36 == 10 (10аb + 6b + 6а) + 30 + 6 =

= 10(10ab+ 6b +6a+ 3) + 6.

Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.

Сказанное дает нам право утверждать, что, например,

3862567 оканчивается на 6,

815723»» 5,

4911732»» 1 и т. п.

Числа 25 и 76 . Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5. и 6. Это число 25 и — что, вероятно, для многих будет неожиданностью, — число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76. Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:

100а + 76,100b + 76 и т. д.

Перемножим два числа этого вида, получим:

10 000ab+ 7600b + 7600а + 5776 == 10 000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 =

= 100 (100аb + 76b + 76а + 57) + 76.

Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.

Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:

3762= 141 376,5763 = 191 102 976 и т. п.

Эти приемы вычисления с успехом можно применять в начальных классах и не только. Применение таких интересных методов вычисления поможет ученикам быстро осваивать основы математики.

Основные термины (генерируются автоматически): число, число десятков, произведение.


Похожие статьи

Методы извлечения квадратного корня

Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого.

О необходимости обучения детей делению в столбик на уроках...

Значит, квадрат десятков корня равен 36, тогда число десятков равно 6.

Произведение (6 десятков) × (единицы) должно составлять десятки, поэтому удвоенное произведение десятков на единицы будем искать в десятках остатка, а десятки остатка — это 48.

История арифметики. Счёт и числа | «Молодой

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин — для обозначения десятков. Рис. 2 Число 32 в вавилонской системе. Многое из шестидесятеричной системы вавилонян дошло и до наших...

Некоторые примеры и методы активизации мыслительной...

При умножении на двухзначное число, умножая на десятки, учащиеся теряются, где подписывать второе неполное произведение.

Применение специальных задач для успешного выполнения...

Найдите десятое по величине число — палиндром, которое делится на 45 [4]. Данная задача относится к иному классу, нежели рассмотренная выше, и

Если в составе чисел c единиц, b десятков и а сотен, то пользуются записью вида: , которая называется _.

Интересные способы быстрого счета

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Не люблю делить я в «столбик»! (признаки делимости вне...)

...число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным число единиц, кратно 19.

Конструируя – обучаемся. Сложение и вычитание натуральных...

К числу 4 прибавляем число 6. Получаем число 10, один десяток. Этот один десяток мы переводим в число 1 и записываем эту 1 в разряде десятков, рядом со вторым слагаемым

Число десятков (один) записываю левее.

Похожие статьи

Методы извлечения квадратного корня

Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого.

О необходимости обучения детей делению в столбик на уроках...

Значит, квадрат десятков корня равен 36, тогда число десятков равно 6.

Произведение (6 десятков) × (единицы) должно составлять десятки, поэтому удвоенное произведение десятков на единицы будем искать в десятках остатка, а десятки остатка — это 48.

История арифметики. Счёт и числа | «Молодой

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин — для обозначения десятков. Рис. 2 Число 32 в вавилонской системе. Многое из шестидесятеричной системы вавилонян дошло и до наших...

Некоторые примеры и методы активизации мыслительной...

При умножении на двухзначное число, умножая на десятки, учащиеся теряются, где подписывать второе неполное произведение.

Применение специальных задач для успешного выполнения...

Найдите десятое по величине число — палиндром, которое делится на 45 [4]. Данная задача относится к иному классу, нежели рассмотренная выше, и

Если в составе чисел c единиц, b десятков и а сотен, то пользуются записью вида: , которая называется _.

Интересные способы быстрого счета

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Не люблю делить я в «столбик»! (признаки делимости вне...)

...число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным число единиц, кратно 19.

Конструируя – обучаемся. Сложение и вычитание натуральных...

К числу 4 прибавляем число 6. Получаем число 10, один десяток. Этот один десяток мы переводим в число 1 и записываем эту 1 в разряде десятков, рядом со вторым слагаемым

Число десятков (один) записываю левее.

Задать вопрос