B помощь арифметике | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Ахмедова Н. М. B помощь арифметике // Молодой ученый. — 2017. — №4.2. — С. 14-15. — URL https://moluch.ru/archive/138/39020/ (дата обращения: 14.11.2018).



Мгновенное умножение. Математики во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 9882 выполняется так:

988 • 988 = (988 + 12) • (988 - 12) + 122 = 1000 • 976 + 144 = 976 144

Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:

а2 = a 2 — b 2 + b 2 = (a + b) (a — b) + b 2

Ha практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.

Например:

182 = 20 • 16 + 22 = 324,

372 = 40 • 34 + 32 = 1369,

482 = 50 • 46 + 22 = 2304,

542 = 58 -50 +42 = 2916.

Далее, умножение 986• 997 выполняется так:

986 • 997 = (986 — 3) • 1000 + 3 • 14 = 983 042

На чем основан этот прием? Представим множители в виде

(1000- 14)•(1000-3)

и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:

1000 • 1000 - 1000 • 14 - 1000 • 3 + 14 •3.

Делаем преобразования:

1000 (1000 - 14) - 1000.3 + 14 - 3 = 1000 • 986 - 1000.3+ 14 •3 =

= 1000(986 — 3) + 14 •3.

Последняя строка и изображает прием вычислителя. Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение

783 •787

выполняется так:

78 •79 = 6162;3 •7 = 21;

результат: 616221.

Обоснование способа ясно из следующих преобразований:

(780 + 3) (780 + 7) = 780 • 780 + 780 • 3 + 780 • 7 + 3 • 7 = 780 • 780 + 780-10 + +3-7 == 780 (780 + 10) + 3 • 7 = 780 • 790 + 21 = 616200 + 21.

Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще

783 •787= (785-2)(785+2)=7852-4= 616 225 — 4 = 616 221.

В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:

352;

ж;

3•4=12.

Отв.

1225

652;

6•7 = 42.

Отв.

4225

752;

7 • 8 = 56.

Отв.

5625

Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.

Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так: 10а+5.

Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен

100а2 + 100a+ 25 = 100a(a+ 1) + 25.

Выражение а(а+1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 — все равно, что приписать к числу 25.

Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и . Например:

= 3,52 =12,25= 12 , и т.п.

Цифры 1, 5 и 6. Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.

Например, 462 = 2116; 463 = 97 336.,

Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.

Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:

10а + 6,10b + 6 и т. д., где а и b— целые числа.

Произведение двух таких чисел равно

100аb + 60b + 60а + 36 == 10 (10аb + 6b + 6а) + 30 + 6 =

= 10(10ab+ 6b +6a+ 3) + 6.

Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.

Сказанное дает нам право утверждать, что, например,

3862567 оканчивается на 6,

815723»» 5,

4911732»» 1 и т. п.

Числа 25 и 76 . Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5. и 6. Это число 25 и — что, вероятно, для многих будет неожиданностью, — число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76. Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:

100а + 76,100b + 76 и т. д.

Перемножим два числа этого вида, получим:

10 000ab+ 7600b + 7600а + 5776 == 10 000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 =

= 100 (100аb + 76b + 76а + 57) + 76.

Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.

Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:

3762= 141 376,5763 = 191 102 976 и т. п.

Эти приемы вычисления с успехом можно применять в начальных классах и не только. Применение таких интересных методов вычисления поможет ученикам быстро осваивать основы математики.

Основные термины (генерируются автоматически): число, число десятков, произведение.


Похожие статьи

Методы извлечения квадратного корня

Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого.

О необходимости обучения детей делению в столбик на уроках...

Значит, квадрат десятков корня равен 36, тогда число десятков равно 6.

Произведение (6 десятков) × (единицы) должно составлять десятки, поэтому удвоенное произведение десятков на единицы будем искать в десятках остатка, а десятки остатка — это 48.

История арифметики. Счёт и числа | «Молодой

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин — для обозначения десятков. Рис. 2 Число 32 в вавилонской системе. Многое из шестидесятеричной системы вавилонян дошло и до наших...

Некоторые примеры и методы активизации мыслительной...

При умножении на двухзначное число, умножая на десятки, учащиеся теряются, где подписывать второе неполное произведение.

Применение специальных задач для успешного выполнения...

Найдите десятое по величине число — палиндром, которое делится на 45 [4]. Данная задача относится к иному классу, нежели рассмотренная выше, и

Если в составе чисел c единиц, b десятков и а сотен, то пользуются записью вида: , которая называется _.

Интересные способы быстрого счета

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Не люблю делить я в «столбик»! (признаки делимости вне...)

...число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным число единиц, кратно 19.

Конструируя – обучаемся. Сложение и вычитание натуральных...

К числу 4 прибавляем число 6. Получаем число 10, один десяток. Этот один десяток мы переводим в число 1 и записываем эту 1 в разряде десятков, рядом со вторым слагаемым

Число десятков (один) записываю левее.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Методы извлечения квадратного корня

Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого.

О необходимости обучения детей делению в столбик на уроках...

Значит, квадрат десятков корня равен 36, тогда число десятков равно 6.

Произведение (6 десятков) × (единицы) должно составлять десятки, поэтому удвоенное произведение десятков на единицы будем искать в десятках остатка, а десятки остатка — это 48.

История арифметики. Счёт и числа | «Молодой

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин — для обозначения десятков. Рис. 2 Число 32 в вавилонской системе. Многое из шестидесятеричной системы вавилонян дошло и до наших...

Некоторые примеры и методы активизации мыслительной...

При умножении на двухзначное число, умножая на десятки, учащиеся теряются, где подписывать второе неполное произведение.

Применение специальных задач для успешного выполнения...

Найдите десятое по величине число — палиндром, которое делится на 45 [4]. Данная задача относится к иному классу, нежели рассмотренная выше, и

Если в составе чисел c единиц, b десятков и а сотен, то пользуются записью вида: , которая называется _.

Интересные способы быстрого счета

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Не люблю делить я в «столбик»! (признаки делимости вне...)

...число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным число единиц, кратно 19.

Конструируя – обучаемся. Сложение и вычитание натуральных...

К числу 4 прибавляем число 6. Получаем число 10, один десяток. Этот один десяток мы переводим в число 1 и записываем эту 1 в разряде десятков, рядом со вторым слагаемым

Число десятков (один) записываю левее.

Задать вопрос