О когомологии gl(3,k)в положительной характеристике



Хорошо известно, что когомологии общей алгебры картановского типа зависит от когомологии нулевой компонентыее стандартной градуировки [1], [2]. В данной заметке вычисляется когомологиис коэффициентами в тривиальном одномерном модуле.

Теорема 1. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда

Доказательство. Заметим, что Рассматривая как идеал алгебры Ли и как -модуль, мы можем использовать спектральную последовательность Серра-Хохшильда. В частности, для получаем

Очевидно, что и если Поэтому если Так как, то, и в других целочисленных точках первого квадранта. Следовательно,

(1)

Теорема 1 доказана.

Таким образом, вычисление когомологии приведено к вычислениям когомологии и В качестве примера рассмотрим алгебру Ли

Предложение 2. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда если и В остальных случаях когомологии тривиальны.

Доказательство. Согласно теореме 1вычисление когомологииприводится к вычислениям когомологии и Они вычислены в работе [3]. Согласно результатам этой работы еслиВ остальных случаях когомологии тривиальны. Тогда утверждение предложения 2 следует из (1) предложения 2.

В малых характеристиках предложение 1 не верно. Пусть Согласно предложению 6.2 работы [4],

и предложению 4.1 работы [5],

Используя следующие хорошо известные формулы, справедливые для произвольной алгебры Ли и-модуля:

(2)

(3)

где – дуальный для-модуль, легко можно показать, что

,

где – семимерное линейное пространство над. Таким образом, согласно теореме 1, справедливо следующее

Предложение 3.Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда

если

если

если

В остальных случаях когомологии тривиальны.

Пусть теперь, Согласно предложению 6.2 работы [4],

и результату работы [6],

Используя формулы (2) и (3) для-модуля, получаем

,

Используя, полученные изоморфизмы в теорему1, получим следующее

Предложение 4. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда

если

если

если

В остальных случаях когомологии тривиальны.

Таким образом, получено полное описание когомологии общей линейной алгебры Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики с коэффициентами в тривиальном одномерном модуле.

Литература:

1. Chiu Sen, Shen Guangyu. CohomologyofgradedLiealgebrasofCartantypeofcharacteristicp // Abh. Math.Sem. Univ. Humburg. – 1986. – V. 57. – P. 139-156.
2. Shi Bin, Yu-Feng Yao. On cohomology of a non-classical restricted simple Lie algebras // Journal of Algebra and its applications (в печати).
3. Ибраев Ш.Ш., Елеусинов Б.Т. Когомологии о восьмимерной модулярной классической алгебры Ли // Тезисы докл. IV межд.конф. «Проблемы ДУ, анализа и алгебры». – Актюбинск. – 2006. -С. 115-116.
4. Jantzen J.C. First cohomology groups for classical Lie algebras // Progress in Math. – 1991. – V. 95. – P. 291-300.
5. Ибраев Ш.Ш. О первой когомологии алгебраической группы и ее алгебры Ли в положительной характеристике // Матем. заметки. – 2014. – Т. 96, вып. 4. – С. 512-521.
6. van der Kallen W.L.J. Infinitesimally central extensions of Chevalley groups.– Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1973.