Построение волатильности по заданной плотности распределения базового актива | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №4 (108) февраль-2 2016 г.

Дата публикации: 16.02.2016

Статья просмотрена: 129 раз

Библиографическое описание:

Шорохов С. Г., Буурулдай А. Э. Построение волатильности по заданной плотности распределения базового актива // Молодой ученый. — 2016. — №4. — С. 4-8. — URL https://moluch.ru/archive/108/26149/ (дата обращения: 23.07.2018).

 

В статье рассматривается нахождения волатильности по заданной плотности распределения. Волатильность представляет собой меру риска использования финансового инструмента за заданный промежуток времени. Для решения поставленной задачи требуется решить дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП).

Ключевые слова: опцион; волатильность; риск-нейтральность; дериватив.

 

Моделирование цен производных ценных бумаг является основой финансовой экономики и, в частности, теорий управления инвестиционным портфелем и оценки финансовых инструментов. В начале 1970-х годов Фишер Блэк (Fisher Black), Майрон Шоулз (Myron Scholes) и Роберт Мертон (Robert Merton) сделали фундаментальное открытие в теории ценообразования фондовых опционов [1, c.397]. Согласно модели Блэка-Шоулза-Мертона (БШМ), ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности ожидаемой рынком. На практике модель Блэка-Шоулза применяется немного не так, как это предполагали их первооткрыватели, поскольку волатильность цен может зависеть от цены акции и времени, оставшегося до истечения срока опциона. Из-за этого недостатка в модели Блэка-Шоулза, люди стремятся найти такую модель, которая включает в себя изменчивость подразумеваемой волатильности. Однако поиск новой модели до сих пор продолжается. В 1994 году известный ученый Бруно Дюпире [2, с. 128] вывел формулу, которая позволяет вычислить волатильность для европейских опционов колл. При выводе формулы Дюпире утверждается, что функция представляет собой плотность распределения, соответствующего рассматриваемому стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ).

В настоящей работе предлагается построение обратной задачи определения волатильности.

Формула БШМ выглядит следующим образом:

 

где

u(t, S) цена любых деривативов на базовый актив S(t);

r>0 безрисковая процентная ставка;

- волатильность.

Стоимость европейского опциона описывается следующей формулой [1, c. 450]:

где

N(d) — это интегральная функция стандартизированного нормального распределения;

r >0 безрисковая процентная ставка;

K цена исполнения;

S цена акции;

T-t время до истечения срока опциона.

Если известна стоимость европейских опционов c(T, K) для всех сроков погашения T и всех цен-страйк K, то для функции волатильности σ справедлива формула Дюпире

в которой для нахождения значения функции волатильности делается замена переменных T, K на переменные t, S.

Теперь рассмотрим СДУ

dS = μ ⋅ S ⋅ dt + σ ⋅ S ⋅ δ W, μ ∈ R, σ ∈ R (4)

с начальным условием

(5)

где

S стоимость акции;

μ — ожидаемая доходность акции;

W — стандартный винеровский процесс (броуновское движение).

Пусть при случайная величина S(t) имеет плотность распределения . Начальное условие (5) для СДУ означает, что при

где  — математическое ожидание и диссперсия.

Таким образом, плотность распределения должна удовлетворять следующим условиям при

 

Проверим выполнение этих условий для плотности логнормального распределения, возникающего в модели БШМ, а именно, когда

при x>0 и =0 при x≤0,

m=ln(, s=𝜎

Первый интеграл имеет вид

Сделаем замену переменной , тогда нижний и верхний пределы интегрирования по переменной будут равны -∞ и +∞ соответственно. Следовательно,

Далее

Итак, первый интеграл при

Второй интеграл имеет вид

При замене переменной имеем ,

нижний и верхний пределы интегрирования по переменной ζ будут равны -∞ и +∞ соответственно. Следовательно,

Далее

Итак, второй интеграл при

Таким образом, мы убедились, что условия (6) и (7) выполняются.

Далее рассмотрим следующую задачу: по заданной для любого t > плотности распределения , удовлетворяющей условиям (6) и (7), найти волатильность 𝜎(t, S), для которой СДУ (4) с начальным условием (5) имеет в качестве решения случайный процесс S(t) с плотностью распределения .

Пусть c(t, S) — цена европейского опциона колл на актив S(t), тогда c(t, S) удовлетворяет уравнению (1) при этом в риск-нейтральном мире,

т. е.

или

по формуле Дюпире (3) стоимость опциона и плотность связаны соотношением

Для решения поставленной задачи нужно решить ДУЧП (8) и подставить полученные решения в формулу (3).

Общее решение уравнении с использованием формулы гомотопии [3, с. 96] может быть записано в виде:

где  — произвольные функции, не зависящие от K.

Далее, определим величины , .

Теперь полученные значения подставляем в формулу Дюпире

Мы получили формулу, которая позволяет нам вычислить меру риска европейского опциона колл для любого заданного распределения. Данная формула может помочь трейдерам предсказать будущее движение цен, а также определить уровень риска.

 

Литература:

 

  1.      Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 6-е издание. ДжонК. Халл, 518стр
  2.      Bruno Dupire. Pricing with a smile. Risk, 7(1):18–20, 1994. Reprinted in Derivative Pricing:The Classical Collection, Risk Books (2004)
  3.      Вариационные принципы для непотенциальных операторов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1992. — Т. 40. С.3 -178. (Соавторы В. М. Филиппов, В. М. Савчин).
Основные термины (генерируются автоматически): плотность распределения, европейский опцион, начальное условие, стоимость опциона, формула, истечение срока опциона, процентная ставка, верхний предел, базовый актив, цена акции.


Ключевые слова

опцион; волатильность; риск-нейтральность; дериватив.

Похожие статьи

Производные финансовые инструменты: опционы

Различают два вида опциона: опцион-пут и опцион-колл. Опцион-пут дает право покупателю опциона продать базовый актив по заранее установленной цене в установленные сроки продавцу опциона или отказаться от его продажи.

Опцион на налоговые обязательства | Статья в журнале...

Срока действия опциона. T. Срок в течении которого действует опцион. В данном случае Т составляет 1 календарный год. Стоимость опциона на долговые сертификаты по налоговым обязательствам.

Опционная премия равна безрисковой ставке от цены опциона.

Визуализация деревьев биномиальной модели оценки стоимости...

Основные термины (генерируются автоматически): базовый актив, реальный опцион, опцион, биномиальная модель, работа, программное обеспечение, VBA, метод решетки, искомая стоимость опциона, техническая реализация.

Основные понятия и инструменты хеджирования

Опцион-колл дает его держателю право купить базовый актив, а опцион-пут — продать. Существует два вида опционов европейские и американские. Их отличие состоит в том, что одни могут реализовывать свое право в любое время опционного срока...

Производные финансовые инструменты: понятие, виды...

Ключевые слова:дериватив, производный финансовый инструмент, фьючерс, форвард, опцион, своп, спекуляция, хеджирование, арбитраж.

Так, в основе дериватива лежит определённый базовый актив, которым могут являться товар, ценная бумага, процентные ставки, валюта...

Моделирование стоимости инструментов защиты собственных...

Необходимо проследить динамику курса рубля к доллару США, которая определяет его полезность в качестве защитного актива в различных условиях.

На левой оси изображены стоимость акций и уровень учетной ставки ЦБ РФ в конкретный период времени, а на правой...

Мировой рынок деривативов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Однако рыночная стоимость деривативов зависит не только от стоимости базисного актива.

Наиболее распространенными видами деривативов являются опционы (дающие обладателю право продать или купить определенный актив или базовый инструмент), свопы (соглашения...

Изменение стоимости базового актива

(комбинация банковского депозита и проданного опциона пут). — Ladder bond. (процент связан с динамикой котировок установленного

Акции реализуются при условии, что цена базового актива на дату исполнения структурного продукта достигает заранее установленного уровня.

Оценка рыночного риска Value-at-Risk (VaR) с помощью метода...

Через торговый месяц максимальная величина падения инвестиционного портфеля по данному активу составит не более 1644,57 рублей, то есть риск потери стоимости акций компании при заданном распределении рыночных факторов (Value-at-Risk)...

Производные финансовые инструменты: опционы

Различают два вида опциона: опцион-пут и опцион-колл. Опцион-пут дает право покупателю опциона продать базовый актив по заранее установленной цене в установленные сроки продавцу опциона или отказаться от его продажи.

Опцион на налоговые обязательства | Статья в журнале...

Срока действия опциона. T. Срок в течении которого действует опцион. В данном случае Т составляет 1 календарный год. Стоимость опциона на долговые сертификаты по налоговым обязательствам.

Опционная премия равна безрисковой ставке от цены опциона.

Визуализация деревьев биномиальной модели оценки стоимости...

Основные термины (генерируются автоматически): базовый актив, реальный опцион, опцион, биномиальная модель, работа, программное обеспечение, VBA, метод решетки, искомая стоимость опциона, техническая реализация.

Основные понятия и инструменты хеджирования

Опцион-колл дает его держателю право купить базовый актив, а опцион-пут — продать. Существует два вида опционов европейские и американские. Их отличие состоит в том, что одни могут реализовывать свое право в любое время опционного срока...

Производные финансовые инструменты: понятие, виды...

Ключевые слова:дериватив, производный финансовый инструмент, фьючерс, форвард, опцион, своп, спекуляция, хеджирование, арбитраж.

Так, в основе дериватива лежит определённый базовый актив, которым могут являться товар, ценная бумага, процентные ставки, валюта...

Мировой рынок деривативов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Однако рыночная стоимость деривативов зависит не только от стоимости базисного актива.

Наиболее распространенными видами деривативов являются опционы (дающие обладателю право продать или купить определенный актив или базовый инструмент), свопы (соглашения...

Моделирование стоимости инструментов защиты собственных...

Необходимо проследить динамику курса рубля к доллару США, которая определяет его полезность в качестве защитного актива в различных условиях.

На левой оси изображены стоимость акций и уровень учетной ставки ЦБ РФ в конкретный период времени, а на правой...

Изменение стоимости базового актива

(комбинация банковского депозита и проданного опциона пут). — Ladder bond. (процент связан с динамикой котировок установленного

Акции реализуются при условии, что цена базового актива на дату исполнения структурного продукта достигает заранее установленного уровня.

Оценка рыночного риска Value-at-Risk (VaR) с помощью метода...

Через торговый месяц максимальная величина падения инвестиционного портфеля по данному активу составит не более 1644,57 рублей, то есть риск потери стоимости акций компании при заданном распределении рыночных факторов (Value-at-Risk)...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Производные финансовые инструменты: опционы

Различают два вида опциона: опцион-пут и опцион-колл. Опцион-пут дает право покупателю опциона продать базовый актив по заранее установленной цене в установленные сроки продавцу опциона или отказаться от его продажи.

Опцион на налоговые обязательства | Статья в журнале...

Срока действия опциона. T. Срок в течении которого действует опцион. В данном случае Т составляет 1 календарный год. Стоимость опциона на долговые сертификаты по налоговым обязательствам.

Опционная премия равна безрисковой ставке от цены опциона.

Визуализация деревьев биномиальной модели оценки стоимости...

Основные термины (генерируются автоматически): базовый актив, реальный опцион, опцион, биномиальная модель, работа, программное обеспечение, VBA, метод решетки, искомая стоимость опциона, техническая реализация.

Основные понятия и инструменты хеджирования

Опцион-колл дает его держателю право купить базовый актив, а опцион-пут — продать. Существует два вида опционов европейские и американские. Их отличие состоит в том, что одни могут реализовывать свое право в любое время опционного срока...

Производные финансовые инструменты: понятие, виды...

Ключевые слова:дериватив, производный финансовый инструмент, фьючерс, форвард, опцион, своп, спекуляция, хеджирование, арбитраж.

Так, в основе дериватива лежит определённый базовый актив, которым могут являться товар, ценная бумага, процентные ставки, валюта...

Моделирование стоимости инструментов защиты собственных...

Необходимо проследить динамику курса рубля к доллару США, которая определяет его полезность в качестве защитного актива в различных условиях.

На левой оси изображены стоимость акций и уровень учетной ставки ЦБ РФ в конкретный период времени, а на правой...

Мировой рынок деривативов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Однако рыночная стоимость деривативов зависит не только от стоимости базисного актива.

Наиболее распространенными видами деривативов являются опционы (дающие обладателю право продать или купить определенный актив или базовый инструмент), свопы (соглашения...

Изменение стоимости базового актива

(комбинация банковского депозита и проданного опциона пут). — Ladder bond. (процент связан с динамикой котировок установленного

Акции реализуются при условии, что цена базового актива на дату исполнения структурного продукта достигает заранее установленного уровня.

Оценка рыночного риска Value-at-Risk (VaR) с помощью метода...

Через торговый месяц максимальная величина падения инвестиционного портфеля по данному активу составит не более 1644,57 рублей, то есть риск потери стоимости акций компании при заданном распределении рыночных факторов (Value-at-Risk)...

Производные финансовые инструменты: опционы

Различают два вида опциона: опцион-пут и опцион-колл. Опцион-пут дает право покупателю опциона продать базовый актив по заранее установленной цене в установленные сроки продавцу опциона или отказаться от его продажи.

Опцион на налоговые обязательства | Статья в журнале...

Срока действия опциона. T. Срок в течении которого действует опцион. В данном случае Т составляет 1 календарный год. Стоимость опциона на долговые сертификаты по налоговым обязательствам.

Опционная премия равна безрисковой ставке от цены опциона.

Визуализация деревьев биномиальной модели оценки стоимости...

Основные термины (генерируются автоматически): базовый актив, реальный опцион, опцион, биномиальная модель, работа, программное обеспечение, VBA, метод решетки, искомая стоимость опциона, техническая реализация.

Основные понятия и инструменты хеджирования

Опцион-колл дает его держателю право купить базовый актив, а опцион-пут — продать. Существует два вида опционов европейские и американские. Их отличие состоит в том, что одни могут реализовывать свое право в любое время опционного срока...

Производные финансовые инструменты: понятие, виды...

Ключевые слова:дериватив, производный финансовый инструмент, фьючерс, форвард, опцион, своп, спекуляция, хеджирование, арбитраж.

Так, в основе дериватива лежит определённый базовый актив, которым могут являться товар, ценная бумага, процентные ставки, валюта...

Мировой рынок деривативов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Однако рыночная стоимость деривативов зависит не только от стоимости базисного актива.

Наиболее распространенными видами деривативов являются опционы (дающие обладателю право продать или купить определенный актив или базовый инструмент), свопы (соглашения...

Моделирование стоимости инструментов защиты собственных...

Необходимо проследить динамику курса рубля к доллару США, которая определяет его полезность в качестве защитного актива в различных условиях.

На левой оси изображены стоимость акций и уровень учетной ставки ЦБ РФ в конкретный период времени, а на правой...

Изменение стоимости базового актива

(комбинация банковского депозита и проданного опциона пут). — Ladder bond. (процент связан с динамикой котировок установленного

Акции реализуются при условии, что цена базового актива на дату исполнения структурного продукта достигает заранее установленного уровня.

Оценка рыночного риска Value-at-Risk (VaR) с помощью метода...

Через торговый месяц максимальная величина падения инвестиционного портфеля по данному активу составит не более 1644,57 рублей, то есть риск потери стоимости акций компании при заданном распределении рыночных факторов (Value-at-Risk)...

Задать вопрос