Эквивалентность кривых в планиметрии

Носирова, Гулчехра

В данной статье решается задача об эквивалентности вектор-функцийи в относительно действия ортогональной группы — .

Элементы из двухмерного действительного векторного пространствабудем представлять в виде двухмерных вектор-столбцов , где . Пусть группа всех обратимых линейных преобразований пространства. Её ортогональная подгруппа состоит из матриц порядка , удовлетворяющих условию , где матрица, элементы которой транспонированы соответствующим элементам матрицы единичная матрица.

Рассмотрим левое действие группы Gв V, т. е. обычное умножение матрицы g на вектор-столбец х.

Путем в V называется вектор-функция из интервала в V, у которой координатные отображения являются бесконечно дифференцируемыми функциями,

Два пути и называются G-эквивалентными, если существует такой элемент , что для любого (, § 3). Производной го порядка от пути x(t) назовем вектор — функцию

Для каждого пути можно рассмотреть матрицу порядка

.

Через М'(х) обозначается матрица

.

Определитель матрицы будем записывать в виде

Далее рассматриваются только регулярные пути, такие пути x(t), для которых при всех .

Дадим необходимые и достаточные условия-эквивалентности регулярных путей x(t)и y(t)с помощью матриц M(x(t))и M(y(t)).

Теорема 1. Два регулярных пути x(t) и y(t)является -эквивалентными тогда и только тогда, когда выполнены следующие равенства:

(1)

(2)

для всех .

Доказательство. Если пути и _-эквивалентны, т. е. существует такое, что , то справедливость равенств (1), (2) проверяется следующим образом:

;

.

Обратно, пусть для путей выполняются равенства (1) и (2). Если обратимая матрица при всех , то известно [2], что. Используя, это равенство, нетрудно убедится, что равенства (1), (2) могут быть переписаны в следующем виде: