Исследование процесса цифровой обработки сигнала при работе с алгоритмом быстрого преобразования Фурье | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: , ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №3 (107) февраль-1 2016 г.

Дата публикации: 03.02.2016

Статья просмотрена: 445 раз

Библиографическое описание:

Матвеев Д. В., Смирнов А. И., Латыпов К. Ф. Исследование процесса цифровой обработки сигнала при работе с алгоритмом быстрого преобразования Фурье // Молодой ученый. — 2016. — №3. — С. 141-145. — URL https://moluch.ru/archive/107/25850/ (дата обращения: 16.07.2018).

 

Проведена оценка преобразования Фурье на примере цифровой обработки сигналов, построены графики и смеси сигнала с шумом, исследован спектр сигнала.

Ключевые слова: дискретное Преобразование Фурье, спектр сигнала, белый шум, импульс.

 

Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем , требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность . [1]

http://www.dsplib.ru/content/thintime/thintime_html_1db17868.gif

Рис. 1 Схема БПФ по основанию 2 с прореживанием по времени

 

Основой алгоритма, как видно по рис. 1, является «ДПФ N=2», именуемое операцией «Бабочка» [2], формула которой имеет следующий вид:

Y_1 = X_1 + X_2 \cdot W

Y_2 = X_1 - X_2 \cdot W(1)

где

Операция проста в реализации, но именно она определяет скорость работы алгоритма БПФ.

Алгоритм БПФ имеется во всех современных программных средах для решения технических задач. Например, в пакете прикладных программ MATLAB имеется готовая функция FFT. Её мы и будем использовать в данной работе.

Для того, чтобы оценить влияние широкополосного шума на спектр сигнала, используем следующий код в MATLAB:

clear all% Очистка памяти

Tm=5;% Длина сигнала (с)

Fd=512;% Частота дискретизации (Гц)

A1=1;% Амплитуда первой синусоиды

F1=13;% Частота первой синусоиды (Гц)

An=3*A1;% Дисперсия шума (Попугаев)

FftL=1024;% Количество линий Фурье спектра

T=0:1/Fd:Tm;% Массив отсчетов времени

Noise=An*randn(1,length(T));% Массившума

Signal=A1*sind((F1*360).*T);% Массивсигнала

FftS=abs(fft(Signal,FftL));% АмплитудыпреобразованияФурье

FftS=2*FftS./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде

FftS(1)=FftS(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей

FftSh=abs(fft(Signal+Noise,FftL));%FFT для смеси сигнал+шум

FftSh=2*FftSh./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде

FftSh(1)=FftSh(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей

subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения

plot(T,Signal);% Построение сигнала

title('Сигнал');% Подпись графика

xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения

plot(T,Signal+Noise);% Построение смеси сигнал+шум

title('Сигнал+шум');% Подпись графика

xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

F=0:Fd/FftL:Fd/2-1/FftL;% Массив частот

figure% Создаем новое окно

subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения

plot(F,FftS(1:length(F)));% Построение спектра Фурье сигнала

title('Спектр сигнала');% Подпись графика

xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения

plot(F,FftSh(1:length(F)));% Спектр сигнала+шума

title('Спектр сигнала');% Подпись графика

xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

 

В результате получаем следующие графики:

Рис. 2. График сигнала (наверху) и смеси сигнала и шума (внизу)

 

Рис. 3. Спектр сигнала (наверху) и спектр смеси сигнала и шума (внизу)

 

Из полученных графиков видно, что несмотря на то, что полезного сигнала не видно на фоне шума, спектральная характеристика позволяет определить его частоту и амплитуду. Таким образом, преобразование Фурье устойчиво к белому шуму и позволяет выделить полезный сигнал на фоне весьма значительной помехи.

Рис. 4. Сигнал с неполным числом периодов (наверху) и полным (внизу)

 

Рис. 5. Спектры сигналов с рис. 4

 

Мы наблюдаем заметное расширение для 1-го сигнала (с неполным числом периодов). Причина этого в том, что мы задаем сигнал, ограниченный во времени, а для преобразования Фурье этот сигнал «продолжается» и считается непрерывным. Проиллюстрировать это следует так, как показано на рис. 6

Рис. 6

 

Скачок, выделенный на рисунке 6 и дает расширение спектра. Следует отметить, что этот скачок не приводит к появлению высокочастотной составляющей спектра, а напоминает по форме спектр импульса.

Таким образом можно сделать вывод о том, что при одинаковой частоте, но разном количестве временных отсчетов, мы получим аналогичное искажение спектра сигнала.

 

Литература:

 

  1.                Ряды Фурье. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье: учебно-методическое пособие / сост.: Н. П. Семенчук, Н. Н. Сендер; Брест. Гос. Ун-т имени А. С. Пушкина. — Брест: БрГУ, 2011. — 42 с.
  2.                Колмогоров А. Н., С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.
  3.                Scientific American, Издание на русском языке, № 8 Август 1989 с. 48–56.
Основные термины (генерируются автоматически): Подпись оси, FFT, Подпись графика, график, Выбор области окна, MATLAB, спектр сигнала, амплитуда, белый шум, дискретное преобразование.


Ключевые слова

дискретное преобразование Фурье, спектр сигнала, белый шум, импульс

Похожие статьи

Исследование несинусоидальных периодических цепей...

Рисунок 4. Амплитудно-частотный спектр. График показывает, что сигнал состоит из пяти частот, некоторые частоты очень малы, чтобы можно было их увидеть на графике. FFT Analysis - быстрое преобразование Фурье (БПФ) в среде Simulink.

Преобразование Фурье как основополагающий частотный метод...

Дискретное преобразования Фурье (ДПФ) на конечной области для функции одной переменной , где определяется как [1]

Лаборатория компьютерной графики и мультимедиа. — 2002. Айфичер Э. С. Цифровая обработка сигналов: практ. подход: [пер. с англ.].

Алгоритмы преобразования Фурье и их применение при анализе...

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (DiscreteFourierTransform, DFT) имеет вид: (2). ДПФ ставит в соответствие N отсчетам сигнала x(n), где n = 0…N — 1, N отсчетов дискретного спектра X(k), при

Лаборатория компьютерной графики и мультимели, МГУ, 2007 стр. 16–22.

Обработка рентгеновских изображений в среде MATLAB

Описан способ обработки рентгеновских изображений в среде MATLAB с результатами обработки реальных рентгенограмм.

Преобразования по формуле (1) эффективны в том случае, если интенсивности пикселей потенциально информационных областей...

Реализация алгоритмов дискретного преобразования Фурье на...

Рассмотрим график частотного спектра треугольного сигнала (рисунок 1). Он симметричен вокруг нулевого отсчета.

− X=fft(fftbuffer) — считаем преобразование Фурье буфера, заполненного значениями функции треугольника.

Реализация частотной фильтрации рентгеновских изображений...

частотная область, DFTFILT, передаточная функция фильтра, основной шаг фильтрации, мнимая часть, исходное изображение, TYPE, MATLAB, LPFILTER, FFT, DFTUV, частотный прямоугольник.

Использование математических пакетов Matlab & Simulink при...

После выбора нужного фильтра в окне Response Selection, запускается

Из графика АЧХ фильтра видно, что разрабатываемый ФНЧ пропускает диапазон частот сигнала до

Для этого надо в окне справки MATLAB (окно help) открыть раздел Filter Design Toolbox — Using Filter...

Использование преобразования Гильберта-Хуанга для...

Дискретное вейвлет-преобразование не только раскладывает сигнал на некоторое подобие

Рассматривая фонему как сигнал во временной области, пользуясь тем или иным

Выбор был обусловлен тем, что среда MATLAB включает язык программирования высокого уровня...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Исследование несинусоидальных периодических цепей...

Рисунок 4. Амплитудно-частотный спектр. График показывает, что сигнал состоит из пяти частот, некоторые частоты очень малы, чтобы можно было их увидеть на графике. FFT Analysis - быстрое преобразование Фурье (БПФ) в среде Simulink.

Преобразование Фурье как основополагающий частотный метод...

Дискретное преобразования Фурье (ДПФ) на конечной области для функции одной переменной , где определяется как [1]

Лаборатория компьютерной графики и мультимедиа. — 2002. Айфичер Э. С. Цифровая обработка сигналов: практ. подход: [пер. с англ.].

Алгоритмы преобразования Фурье и их применение при анализе...

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (DiscreteFourierTransform, DFT) имеет вид: (2). ДПФ ставит в соответствие N отсчетам сигнала x(n), где n = 0…N — 1, N отсчетов дискретного спектра X(k), при

Лаборатория компьютерной графики и мультимели, МГУ, 2007 стр. 16–22.

Обработка рентгеновских изображений в среде MATLAB

Описан способ обработки рентгеновских изображений в среде MATLAB с результатами обработки реальных рентгенограмм.

Преобразования по формуле (1) эффективны в том случае, если интенсивности пикселей потенциально информационных областей...

Реализация алгоритмов дискретного преобразования Фурье на...

Рассмотрим график частотного спектра треугольного сигнала (рисунок 1). Он симметричен вокруг нулевого отсчета.

− X=fft(fftbuffer) — считаем преобразование Фурье буфера, заполненного значениями функции треугольника.

Реализация частотной фильтрации рентгеновских изображений...

частотная область, DFTFILT, передаточная функция фильтра, основной шаг фильтрации, мнимая часть, исходное изображение, TYPE, MATLAB, LPFILTER, FFT, DFTUV, частотный прямоугольник.

Использование математических пакетов Matlab & Simulink при...

После выбора нужного фильтра в окне Response Selection, запускается

Из графика АЧХ фильтра видно, что разрабатываемый ФНЧ пропускает диапазон частот сигнала до

Для этого надо в окне справки MATLAB (окно help) открыть раздел Filter Design Toolbox — Using Filter...

Использование преобразования Гильберта-Хуанга для...

Дискретное вейвлет-преобразование не только раскладывает сигнал на некоторое подобие

Рассматривая фонему как сигнал во временной области, пользуясь тем или иным

Выбор был обусловлен тем, что среда MATLAB включает язык программирования высокого уровня...

Задать вопрос