Библиографическое описание:

Жанмолдаев Б. Ж., Аленов К. Т. Постановка обшей задачи колебания плоского элемента, находящегося под поверхностью деформируемой среды, с учетом температуры // Молодой ученый. — 2014. — №20.1. — С. 1-2.

Рассмотрим безграничную  в плане пластинку толщиной 2h, находящейся под поверхностью полубесконечной среды на глубине (h0- h1). Плоскость (ХҮ) поместим в средней плоскости пластинки z=0. Ось OZ направим в сторону внешней поверхности верхнего слоя.

Для общности материалы верхнего слоя и основания будем считать различными. Обозначим параметры пластинки индексом «1»,  верхнего слоя индексом «2», основания индексом «3». 1[34]

Рассматривая задачу в трехмерной линейной постановке, уравнения движения слоя пластинки и основания с учетом вязкости и температуры в потенциалах Ф и  продольных и поперечных волн запишем в виде:

 

 

                                   (1.1.)

 

 

где операторы N j;   Kj  равны

N j=Lj+2Mj;    Kj= Lj

а  -трехмерный оператор Лапласа

=

Lj ,Mj  - вязкоупругие операторы

                    (1.2.)

                       

 

- ядра операторов (l=1,2),  , , - постоянные материалов.

          (1.3.)

Где   - коэффициенты связности.

 

Предпологая материалы слоя, пластинки и основания вязкоупругими и изотропными, зависимости напряжение от деформации с учетом влияния температуры Тj  запишем в виде операторных соотношений больцмановского типа

 

                   (1.4.)

     

 

Будем считать, что колебания пластинки под поверхностью могут быть вызваны как внешними усилиями на внешней поверхности z=h0, так и возмущениями распространияющимися со стороны основания. Кроме того, будем считать, что по границам контакта z= h1  и  z= h1 пластинки с верхним слоем и основанием, эти контакты идеальные, т.е. отсутствует трение. Тогда будем иметь следующие граничные условия: на внешней стороне (z=h0)

 

                  (1.5.)

И одним из трех условий для Т2

                       (1.6.)

На границе контакта верхний слой – пластинка  z= h1 

 

             w(1)= w(2)      (j=х, у)   (1.7.)

и для температуры Тj     (j=1.2)

T1=T2 ;   

 

На границе пластинка – основание z=-h1

 

                         (1.8.)

    (j=х, у)  

 

и для температуры Тj     (j=1.3)

T1=T3 ;   

 

где функции       описывают напряжения и смещения в падающей волне снизу, т.е. со стороны основания, что может быть вызвано, в частности, землетрясением или взрывом, - коэффициенты теплопроводности.

Кроме того, должны выполняться условия затухания на бесконечности,  т.е. при  

Ф(3) = 0,                            (1.8.)

 

Начальные условия нулевые

 

        при   t=0     (1.9.)

 

Таким образом, краевая задача колебания пластинки, находящейся под поверхностью с учетом влияния температуры, сводится к решению интегродифференциальных уравнений (1.1.) при граничных и начальных условиях (1.5-1.9).

В дальнейшем рассмотрим случай колебания пластинки находящейся под поверхностью без учета температуры и колебания плоского элемента лежащего на деформируемом основании с учетом температуры.

 

Литература:

 

1.      Филиппов И.Г., Чебан В.Г.  Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев: Штиинца, 1988. - 190 с.

2.      Филиппов И.Г., Халикулов Ш. К Теории колебаний изотропной вязкоупругой пластинки с учетом температуры. – М, 1986. Деп. Во ВНИИКСе №6194.

3.      Джанмулдаев Б.Д. Математические методы при исследовании колебаний плоских элементов конструкций, взаимодействующих с деформируемой средой.  – Кызылорда, 2002.

4.        Егорычев О.А. Филиппов И.Г.  Математические методы при исследовании колебаний плоских элементов строительных конструкций. – Труды Российско-Польского семинара «Теоретические основы строительства».  - Варшава, 1995. - С. 49-50.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle