Библиографическое описание:

Имомов А. И., Эргашев Б. С. Реализация схемы Кранка — Николсона для линейного параболического дифференциального уравнения в MathCAD // Молодой ученый. — 2014. — №14. — С. 1-5.

В настоящее время появилась возможность решения математических задач без составления компьютерных программ. Причиной этого является разработка специальных математических программ — математических систем. В вузах и научных учреждениях чаще всего применяются математические системы: MathCAD, MATLAB, Maple, Mathematika. С применением математических систем учебный процесс становится интереснее, студенты понимают содержание занятия быстрее, глубже, а для укрепления преподаваемых понятий и решения задач остаётся больше времени.

Сейчас задачи вычислительной математики [1] по преимуществу решают в математической системе MathCAD [2–4]. Именно в MathCAD задача формулируется в наиболее естественном математическом виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи записываются с помощью команд системы.

В статье алгоритм конечно-разностной схемы Кранка-Никольсона приближённого решения линейного параболического дифференциального уравнения с краевыми условиями организованы в математической системе MathCAD.

1. Метод решения дифференциалных уравнений в MathCAD.

Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу  в дискретной области , которая состоит из узлов , с параметром дискретизации  и , , при , где - дискретный оператор, а переменные - дискретные функции, такие, что , , , , т. е. каркас –таблица значений функций  на сетке точек . В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ). В MathCAD идея решения дискретной задачи  очень проста и естественна: .

В MathCAD задачи решаются тремя способами [4]:

1)      с помощью внутренних функций MathCAD;

2)      с помощью математического алгоритма решения задачи;

3)      с помощью алгоритма решения задачи, реализованного, во внутреннем языке MathCAD.

2. Дифференциалные краевые задачи и КРС [1].

А) Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения:

,,(1)

. (2)

(1), (2) называется краевой задачей для параболического дифференциального уравнения (КЗ для ПДУ). Функция , удовлетворяющая ПДУ и краевым условиям называется точным решением: , , .

Явная КРС ,для ПДУ точности имеет вид:

(3)

Чисто неявная КРС ,для ПДУ с точности имеет вид:

(4)

Схема Кранка-Николсона являетсяполусуммой явной и чисто неявнойсхем точности и имеет вид

(5)

К (3) — (5) необходимо присоединить начальные и краевые условия

,(6)

Явная КРС для ПДУ на каждом слое j+1 решается с помощью реккурентных формул:

, (7)

Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j+1 сводиться к системе линейных уравнений:

. (8)

Чисто неявная КРС для ПДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиогнальной матрицей и, начиная с первого слоя, решается методом прогонки.

Вводя матрицу  с коэффициентами ;

; ,

и векторы  чисто неявную схему можно записать в векторно-матричном виде, связывающим неизвестные го и го слоёв

. (9)

Вводя матрицы ,с коэффициентами

,

и векторы  схему Кранка-Николсона можно записать в векторно-матричном виде, связывающим неизвестные го и го слоёв

. (10)

Подробно эту схему можно написать в виде (откуда получена КРС (10)):

.

КРС (5) является частным случаем более общей КРС с весами [1]:

(11)

Для неё можно построить аналогичную СЛАУ (9).

. (12)

Это следует из равенств, которые получаются после преобразования (11):

Отсюда, в частности следует СЛАУ для КРС Кранка-Николсона.

3. Организация решения КРС для ПДУ в MathCAD.

Пусть дана краевая задача для параболического уравнения (1),(2) с данными:

,. (13)

, . (14)

A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.

Вводим в окне M следующие команды:

 «область

 «сетка

 «начальные данные

Given  «ПДУ, равенство жирное

 «краевые условия, равенство жирное

  «обращение к Pdesolve

 «решения ,

«выведем таблицу значений приближённого решения

«выведем таблицу значений точного решения

«выведем графики приближённого и точного решений

 

D) Решение КРС Кранка- Николсона для ПДУ в MathCAD.

 

Результат КРС высокой точности налицо: разница встречается только на пятом знаке после запятой.

Литература:

1.      Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.-656 с.

2.      Ракитин В. И. Руководство по ВМ и приложения MathCAD.М.:ФМ, 2005.-264 с.

3.      Охорзин В. А. Прикладная математика в системе MathCAD. СПб, Лань,2008–352с.

4.      Имомов А. Решение краевой задачи для линейных ДУ в частных производных в MathCAD. Молодой учёный, № 8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 6–12

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle