Библиографическое описание:

Покорная О. Ю. Использование функции Грина в прикладной механике // Молодой ученый. — 2013. — №10. — С. 13-15.

Рассматривается вопрос об использовании функции влияния, являющейся аналогом функция Грина, в некоторых прикладных задачах механических систем типа стильтьесовской струны. Для некоторых типов таких задач приведен анализ в случае сингулярных особенностей, возникающих в виде производных от скачков. оответствующих сосредоточенным в концевых узлах усилиям и упругим опорам. Функцию Гри́на (или функция влияния) применяют для различных решений неоднородных краевых задач. Также она используется в теории конденсированных сред, в электростатике. квантовой механике. Эта функцияиспользуется в различных конструкционных задачах.

В военно-технических прикладных задачах нередко возникают механические системы из струн и тросов, вдоль которых распределены сосредоточенные нагрузки. Примерами таких механических систем являются электропровода между опорами линий электропередач, тросы канатных мостов и некоторые другие. Такие системы называют стилтьесовскими струнами. Расчет и анализ формы и сил реакции этих упругих струн с распределенными вдоль них внешними нагрузками представляет сложную задачу, актуальную как с прикладной, так и с теоретической точек зрения.

Для таких расчетов изучены новые методы математического моделирования, использующие свойства функции влияния. В условиях достаточно регулярных сред, допускающих использование процедур дифференцирования и аппарата математической физики, функция влияния в канонических ситуациях совпадает с функцией Грина — важнейшим средством математического моделирования. С давних времен функция влияния, которую также называют иди функцией источника, функцией отклика, стала у физиков одним из наиболее эффективных средств описания взаимосвязи различных объектов и явдений. В начале XX века в задачах математической физики функция влияния приобрела вид функции Грина, введенной сначала для задачи Штурма-Лиувилля. Далее понятие функции Грина было распространено на более общие задачи старших порядков, а теория была развита на основе аксиоматического подхода к определению самой функции Грина, который крайне затруднил анализ конкретных физических задач.

Оператор Шредингера, оказался востребован в середине XX века для анализа в случае сингулярных особенностей потенциала, возникающих в виде, например, производных от скачков, называемых по физической терминологии дельта-функциями. На чисто описательном уровне математическую постановку соответствующей задачи удалось осуществить с помощью создания для этого теории обобщенных функций распределений Шварца-Соболева. Подобный обобщенный подход не позволял провести достаточно глубокий анализ, не приближая математические выкладки к физически интерпретируемым свойствам той же функции влияния. Причиной сложившейся ситуации являлось то, что для дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами отсутствовала какая-либо параллель с классическими теоремами анализа с поточечным дифференцированием.

Сравнительно недавно доступ к поточечному анализу задачи с обобщенными коэффициентами был разработан путем распространения на дифференциальные уравнения производных типа Радона-Никодима из общей теории интегралов. Для этого используется нетрадиционный для математической физики интеграл Стилтьеса, а описание напряженного состояния объекта осуществляется не привычным для математической физики дифференциальным уравнением второго порядка, а интегро-дифференциальным уравнением. При анализе спектральной функции «стильтьесовской струны» возникает уравнение вида

                                                                                                          (1)

как формальная запись соотношения

                                                                      (2)

Через  здесь обозначена неубывающая на отрезке  функция, определяющая распределение масс. Интеграл в (2) понимается по Лебегу-Стильтьесу. Псевдопроизводная  вводится, например, при анализе задачи рассеяния (распространения тепла) и определяется не соотношением типа (2), а с помощью предельных переходов в конечноразностных отношениях. Через  в уравнениях (1) и (2) обозначена правая производная.

Рассмотрим более общее, чем (2), уравнение

                                                                                (3)

При анализе данного уравнения возникает определенная сложность в виде неоднозначной определенности интегрального слагаемого в левой части. Если в некоторой точке  функция  имеет скачок, то интеграл не имеет собственного значения, а лишь предельное значение слева  и предельное значение справа, т. е. при . Поэтому равенство (3) вместе со всеми его компонентами, включая и , распространим на множество . Данное множество получается из сегмента  с помощью замены каждой точки  разрыва  парой .

Уравнение (3) основными свойствами похоже на обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Справедливы следующие утверждения. Пусть , т. е. пространству ограниченной вариации.

Теорема 1. Для любых  и  начальная задача

однозначно разрешима. К ее решению равномерно сходится процесс итераций

при , начатый с любой начальной функции  из . Это решение непрерывно зависит как от начальных условий, так и от  (пространства функций с ограниченной вариации).

В данной теореме через  обозначили множество функций из  с нулевым значением при . Заметим, что если  — точка разрыва , то исходную задачу можно разложить на две разные начальные задачи — левостороннюю в точке  и праввостороннюю в точке .

Теорема 2. Пусть  не убывает. Тогда уравнение (3) при краевых условиях

,                                                                                                          (4)

соответствующих глухому закреплению концов стильтьесовской струны, однозначно разрешимо для любой  из . Для каждой неубывающей  это решение неотрицательно.

С механической точки зрение неубывание  означает, что к изучаемому объекту приложена неотрицательная во всех точках сила, включая также импульсы. Для данной задачи может быть построена функция влияния.

Рассмотрим общую струну с закрепленными концами (4). Эти условия исключают скачки на концах у функций  и . Действительно, эти скачки соответствуют сосредоточенным в концах усилиям и локальным упругим опорам типа пружин, которые ввиду закрепления концов очевидно неуместны. Тогда в (3) интеграл должен браться от точки , т. е. по интервалу . Покажем, что для данной задачи может быть построена функция влияния. Предположим всюду далее, что .

Пусть в точке  приложена единичная сила. Это значит, что в (4) первое слагаемое имеет вид , что соответствует функции

 

где  — классическая функция Хевисайда. При этой  уравнение (3) наверняка имеет решение, удовлетворяющее условиям (4), о чем утверждает следующая теорема.

Теорема 3 При неубывающей  для любой  краевая задача

                                                                                 (5)

однозначно разрешима.

При доказательстве использовались выше сформулированные теоремы, в силу которых однородная задача (5) при  имеет только тривиальное решение, и воспользоваться стандартной альтернативой Фредгольма.

Согласно теореме 3 задача (3),(4) имеет единственное решение. Обозначим его через .

Теорема 4. Для любой  решение задачи (3),(4) может быть представлено в виде

Последняя формула означает, что  является функцией Грина задачи (5).

Литература:

1.                          Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968, 750 с.

2.                          Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1967, 436 с.

3.                          Покорная О. Ю. О ядре несамосопряженных операторов. Материалы XLV1 отчетной научной конференции ВГТА, Воронеж, 2008, Ч.2, с.150.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle