Библиографическое описание:

Грудинин С. Н. Проблема сжатия геометрической информации сложных объектов // Молодой ученый. — 2012. — №9. — С. 51-53.

Понятие геометрической информации
Всякий моделируемый объект обладает вполне определенной пространственной формой, имеет заданные метрические характеристики и занимает некоторое положение в соответствующем пространстве . Указанные характеристики задают так называемую геометрическую информацию об объекте. В понятие геометрической информации включается [1]:
  • совокупность пространственных форм ;
  • метрические характеристики , определяющие «размеры» точечных множеств, имеющих формы из ;
  • параметры , задающие местоположение точечных множеств в соответствующих пространствах.
Соответственно геометрическая информация представляется в виде набора
.
Например, метрической характеристикой точечного множества в пространстве , имеющего форму квадрата, является длина стороны этого квадрата, а его положение на плоскости определяется тремя параметрами: координатами , полюса и углом между осью абсцисс собственной системы координат и осью абсцисс системы координат . В этом случае информация, индуцирующая точечное множество примет вид
.
Отметим, что компонент геометрической информации всегда не пустой, в отличие от и .
Носителем формы объекта также является и граница этого объекта, которая, в свою очередь, может быть задана в любом удобном виде. Например, каноническое уравнение эллипсоида с полуосями , и имеет вид
,
где , и – точки границы объекта. Это уравнение одновременно носитель формы и носитель метрических характеристик, а именно: , . Компонентом можно пренебречь, если локальная система координат объекта совпадает с системой координат пространства.
Если объект имеет сложную форму, например такую, как голова человека, компонент не всегда возможно выразить в аналитическом или параметрическом виде. В этом случае используют структурный подход, выделяя две составляющие части: набор структурных элементов и топологию (структуру, определяющую способ взаимосвязи элементов).
Под сжатием геометрической информации мы будем понимать способы наиболее компактного и удобного параметрического описания класса объектов, с возможностью создания в соответствии с этим описанием конкретного экземпляра класса [2].
Способы представления трехмерного объекта
В общем случае в любой геометрической модели, как уже было сказано, можно выделить две составляющие ее части: набор структурных элементов и топологию . Из структурных элементов конструируется различная топология, выражающая отношения между структурными элементами. Например, ломаную линию на плоскости можно представить совокупностью множества вершин и множества ребер .
В зависимости от выбранного структурного элемента выделяются основные способы представления трехмерных объектов:
  • точечное;
  • каркасное (проволочное);
  • поверхностное (граничное);
  • объемное.
В точечном представлении объект задан совокупностью вершин, принадлежащих поверхности объекта .
Каркасная (проволочная) модель является расширением точечного способа. Объекты задаются совокупностью вершин и соединяющих их ребер (отрезков прямой или кривой) . Функция определяет линию, соединяющую вершины , , когда ребро не является отрезком прямой. Как правило, для одной модели эта функция является векторной функцией одного и того же типа. Различают три вида каркасных поверхностей [3]: поверхности, основанные на движении, поверхности натяжения, производные поверхности.
Поверхности, основанные на движении, создаются путем перемещения каркасов в пространстве. Это поверхности вращения, сдвига и изгиба.
Поверхности натяжения создаются путем обтягивания каркаса. После удаления каркаса поверхность сохраняет его форму. Различают следующие типы поверхностей натяжения: поверхности соединения, плоские усеченные поверхности и поверхности, натянутые на один или два набора линий каркаса. Поверхность соединения строится соединением двух линий каркасов любой трехмерной формы. Она может располагаться между любыми двумя непересекающимися каркасами, представляющими верх и низ. Каркасы могут быть как замкнутыми, так и разомкнутыми.
Производные поверхности строятся на основе существующих поверхностей путем смещения исходных поверхностей, а также путем сопряжения поверхностей.
При поверхностном (граничном) представлении объекта в качестве структурного элемента выступает поверхность, она описывается явно параметрическим способом или в виде неявных функций.
Параметрически заданной (в локальном смысле) поверхностью обычно называют множество точек пространства, декартовы координаты которых определяются по средствам соотношений:
где , , – функции, непрерывные в прямоугольнике
или треугольнике
.
Величины и , называются внутренними криволинейными координатами на поверхности .
Выделяются два основных типа поверхностных параметрических моделей: полигональная модель, которая представлена набором плоских граней; патч-модель, или лоскутная модель, где гранями служат части поверхностей одного типа (например, билинейные, поверхности Кунса, бикубические поверхности, поверхности Безье, поверхности на основе B-сплайнов и др.).
В объемном представлении базовыми являются области в пространстве или неявно представленные примитивы. Наиболее известны воксели, метаболы, сплошные конструктивы.
Основой воксельного представления служит воксель (или ячейка), представляющий собой кубическую область пространства. Трехмерный объект определяется как массив вокселей.
Метаболы – это шары различного радиуса , которые могут взаимодействовать в зависимости от близости и радиуса взаимодействия . Взаимодействие выражается через появление дополнительной «материи» между ними. Топология как таковая в этом случае отсутствует.
При представлении объекта в виде сплошных конструктивов используется набор базовых примитивов (параллелепипед, сфера, конус, цилиндр, тор, призма, пирамида и т.п.), являющихся структурными элементами объекта, и набор теоретико-множественных операций: унарного аффинного преобразования и бинарных операций вычитания, пересечения, объединения. Данный набор определяет топологию модели, которая реализуется в виде формулы теории множеств.
Сжатие геометрической информации сложного объекта
Рассмотрим сложный материальный объект в трехмерном пространстве. В качестве объекта-прототипа используется женский манекен. Первичными данными об объекте может выступать точечная модель женского манекена, полученная путем трехмерного сканирования.
Определим геометрическую информацию , индуцирующую точечное множество в пространстве , имеющего форму женского манекена. Компонентом формы объекта выбрана геометрическая каркасная модель манекена с поверхностью соединения в качестве типа математической модели поверхности. Исходными данными для такой поверхности являются координаты сканированных точек на заданных сечениях и представление соответствующего сечения в виде сглаживающей эти точки кубической B-сплайновой кривой. Точность аппроксимации поверхностью соединения, натянутой на сплайны соседних сечений, будет определяться количеством узлов разбиения сплайнов на элементарные участки. Таким образом , где – количество B-сплайн кривых (сечений), описывающих форму объекта.
Для определения сечений используется государственный стандарт ГОСТ 17521-71 «Типовые фигуры женщин. Размерные признаки для проектирования одежды». В этом стандарте определены 17 антропометрических точек и 70 размерных признаков характеризующих женскую фигуру. Возможны различные варианты определения множества сечений. Рассмотрим, например, вариант расположения горизонтальных сечений на уровне следующих антропометрических точек [4]:
  • шейной;
  • верхне-грудинной;
  • плечевой;
  • выступающей точки грудной железы;
  • нижнего основания грудной железы;
  • высоты талии;
  • остисто-подвздошной точки;
  • выступающей точки живота;
  • выступающей точки бедер;
  • подъягодичной складки;
  • 1/3 бедра.
Каждое сечение характеризуется набором размерных признаков – метрических характеристик B-сплайновой кривой.
Параметрами , задающими местоположение объекта в пространстве, являются: координаты , , точки пересечения вертикальной оси и плоскости опоры и углы и между осью абсцисс и осью ординат собственной системы координат и глобальной системы координат. Также для каждого сечения определяется высота уровня соответствующей антропометрической точки.
Таким образом, если положить, что вертикальная, поперечная и сагиттальная плоскости тела совпадают соответственно с осями аппликат, ординат и абсцисс глобальной системы координат, информация, описывающая i-ое сечение манекена примет вид:
,
где – количество метрических характеристик i-го сечения. Тогда геометрическая информация, определяющая точечное множество выбранного материального объекта определяется следующим образом:
.
Определив геометрическую информацию сложного объекта конкретного класса, становиться возможным получить множество объектов того же класса, изменяя метрические характеристики. Этот принцип используется в системах параметрического моделирования, на вход которых подается базовая модель и набор параметров для ее изменения. Результатом является деформированная модель соответствующая введенным параметрам.

Литература:
  1. Стоян Ю. Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Ю. Г. Стоян, С. В. Яковлев – Киев: Наук. думка, 1986. – 268 с.
  2. Балжирсурэн Г. Автоматизация проектирования нестандартных компьютерных манекенов: Дисс. канд. тех. наук. Новосибирск. 2009. – 157 с.
  3. Фроловский В. Д. Избранные задачи геометрического проектирования. Параметризация сложных поверхностей. Учебное пособие. Новосибирск. Изд-во НГТУ. 2005. – 165 с.
  4. Коблякова Е. Б. Размерная типология населения с основами анатомии и морфологии / Е. Б. Коблякова, Т. Н. Дунаевская, Г. С. Ивлева, Р. В. Иевлева; Под ред. Е. Б. Кобляковой: Учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Мастерство; Издательский центр «Академия», 2001. – 288 с.
Основные термины: геометрической информации, системы координат, системы координат, осью абсцисс, собственной системы координат, представлении объекта, геометрической информации, геометрическую информацию, точечное множество, поверхности объекта, формы объекта, глобальной системы координат, сложного объекта, метрических характеристик, набор структурных элементов, система координат объекта, Носителем формы объекта, формы объекта, собственной системы координат, поверхности натяжения

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle