Библиографическое описание:

Грудинин С. Н. Проблема сжатия геометрической информации сложных объектов // Молодой ученый. — 2012. — №9. — С. 51-53.

Понятие геометрической информации
Всякий моделируемый объект обладает вполне определенной пространственной формой, имеет заданные метрические характеристики и занимает некоторое положение в соответствующем пространстве . Указанные характеристики задают так называемую геометрическую информацию об объекте. В понятие геометрической информации включается [1]:
  • совокупность пространственных форм ;
  • метрические характеристики , определяющие «размеры» точечных множеств, имеющих формы из ;
  • параметры , задающие местоположение точечных множеств в соответствующих пространствах.
Соответственно геометрическая информация представляется в виде набора
.
Например, метрической характеристикой точечного множества в пространстве , имеющего форму квадрата, является длина стороны этого квадрата, а его положение на плоскости определяется тремя параметрами: координатами , полюса и углом между осью абсцисс собственной системы координат и осью абсцисс системы координат . В этом случае информация, индуцирующая точечное множество примет вид
.
Отметим, что компонент геометрической информации всегда не пустой, в отличие от и .
Носителем формы объекта также является и граница этого объекта, которая, в свою очередь, может быть задана в любом удобном виде. Например, каноническое уравнение эллипсоида с полуосями , и имеет вид
,
где , и – точки границы объекта. Это уравнение одновременно носитель формы и носитель метрических характеристик, а именно: , . Компонентом можно пренебречь, если локальная система координат объекта совпадает с системой координат пространства.
Если объект имеет сложную форму, например такую, как голова человека, компонент не всегда возможно выразить в аналитическом или параметрическом виде. В этом случае используют структурный подход, выделяя две составляющие части: набор структурных элементов и топологию (структуру, определяющую способ взаимосвязи элементов).
Под сжатием геометрической информации мы будем понимать способы наиболее компактного и удобного параметрического описания класса объектов, с возможностью создания в соответствии с этим описанием конкретного экземпляра класса [2].
Способы представления трехмерного объекта
В общем случае в любой геометрической модели, как уже было сказано, можно выделить две составляющие ее части: набор структурных элементов и топологию . Из структурных элементов конструируется различная топология, выражающая отношения между структурными элементами. Например, ломаную линию на плоскости можно представить совокупностью множества вершин и множества ребер .
В зависимости от выбранного структурного элемента выделяются основные способы представления трехмерных объектов:
  • точечное;
  • каркасное (проволочное);
  • поверхностное (граничное);
  • объемное.
В точечном представлении объект задан совокупностью вершин, принадлежащих поверхности объекта .
Каркасная (проволочная) модель является расширением точечного способа. Объекты задаются совокупностью вершин и соединяющих их ребер (отрезков прямой или кривой) . Функция определяет линию, соединяющую вершины , , когда ребро не является отрезком прямой. Как правило, для одной модели эта функция является векторной функцией одного и того же типа. Различают три вида каркасных поверхностей [3]: поверхности, основанные на движении, поверхности натяжения, производные поверхности.
Поверхности, основанные на движении, создаются путем перемещения каркасов в пространстве. Это поверхности вращения, сдвига и изгиба.
Поверхности натяжения создаются путем обтягивания каркаса. После удаления каркаса поверхность сохраняет его форму. Различают следующие типы поверхностей натяжения: поверхности соединения, плоские усеченные поверхности и поверхности, натянутые на один или два набора линий каркаса. Поверхность соединения строится соединением двух линий каркасов любой трехмерной формы. Она может располагаться между любыми двумя непересекающимися каркасами, представляющими верх и низ. Каркасы могут быть как замкнутыми, так и разомкнутыми.
Производные поверхности строятся на основе существующих поверхностей путем смещения исходных поверхностей, а также путем сопряжения поверхностей.
При поверхностном (граничном) представлении объекта в качестве структурного элемента выступает поверхность, она описывается явно параметрическим способом или в виде неявных функций.
Параметрически заданной (в локальном смысле) поверхностью обычно называют множество точек пространства, декартовы координаты которых определяются по средствам соотношений:
где , , – функции, непрерывные в прямоугольнике
или треугольнике
.
Величины и , называются внутренними криволинейными координатами на поверхности .
Выделяются два основных типа поверхностных параметрических моделей: полигональная модель, которая представлена набором плоских граней; патч-модель, или лоскутная модель, где гранями служат части поверхностей одного типа (например, билинейные, поверхности Кунса, бикубические поверхности, поверхности Безье, поверхности на основе B-сплайнов и др.).
В объемном представлении базовыми являются области в пространстве или неявно представленные примитивы. Наиболее известны воксели, метаболы, сплошные конструктивы.
Основой воксельного представления служит воксель (или ячейка), представляющий собой кубическую область пространства. Трехмерный объект определяется как массив вокселей.
Метаболы – это шары различного радиуса , которые могут взаимодействовать в зависимости от близости и радиуса взаимодействия . Взаимодействие выражается через появление дополнительной «материи» между ними. Топология как таковая в этом случае отсутствует.
При представлении объекта в виде сплошных конструктивов используется набор базовых примитивов (параллелепипед, сфера, конус, цилиндр, тор, призма, пирамида и т.п.), являющихся структурными элементами объекта, и набор теоретико-множественных операций: унарного аффинного преобразования и бинарных операций вычитания, пересечения, объединения. Данный набор определяет топологию модели, которая реализуется в виде формулы теории множеств.
Сжатие геометрической информации сложного объекта
Рассмотрим сложный материальный объект в трехмерном пространстве. В качестве объекта-прототипа используется женский манекен. Первичными данными об объекте может выступать точечная модель женского манекена, полученная путем трехмерного сканирования.
Определим геометрическую информацию , индуцирующую точечное множество в пространстве , имеющего форму женского манекена. Компонентом формы объекта выбрана геометрическая каркасная модель манекена с поверхностью соединения в качестве типа математической модели поверхности. Исходными данными для такой поверхности являются координаты сканированных точек на заданных сечениях и представление соответствующего сечения в виде сглаживающей эти точки кубической B-сплайновой кривой. Точность аппроксимации поверхностью соединения, натянутой на сплайны соседних сечений, будет определяться количеством узлов разбиения сплайнов на элементарные участки. Таким образом , где – количество B-сплайн кривых (сечений), описывающих форму объекта.
Для определения сечений используется государственный стандарт ГОСТ 17521-71 «Типовые фигуры женщин. Размерные признаки для проектирования одежды». В этом стандарте определены 17 антропометрических точек и 70 размерных признаков характеризующих женскую фигуру. Возможны различные варианты определения множества сечений. Рассмотрим, например, вариант расположения горизонтальных сечений на уровне следующих антропометрических точек [4]:
  • шейной;
  • верхне-грудинной;
  • плечевой;
  • выступающей точки грудной железы;
  • нижнего основания грудной железы;
  • высоты талии;
  • остисто-подвздошной точки;
  • выступающей точки живота;
  • выступающей точки бедер;
  • подъягодичной складки;
  • 1/3 бедра.
Каждое сечение характеризуется набором размерных признаков – метрических характеристик B-сплайновой кривой.
Параметрами , задающими местоположение объекта в пространстве, являются: координаты , , точки пересечения вертикальной оси и плоскости опоры и углы и между осью абсцисс и осью ординат собственной системы координат и глобальной системы координат. Также для каждого сечения определяется высота уровня соответствующей антропометрической точки.
Таким образом, если положить, что вертикальная, поперечная и сагиттальная плоскости тела совпадают соответственно с осями аппликат, ординат и абсцисс глобальной системы координат, информация, описывающая i-ое сечение манекена примет вид:
,
где – количество метрических характеристик i-го сечения. Тогда геометрическая информация, определяющая точечное множество выбранного материального объекта определяется следующим образом:
.
Определив геометрическую информацию сложного объекта конкретного класса, становиться возможным получить множество объектов того же класса, изменяя метрические характеристики. Этот принцип используется в системах параметрического моделирования, на вход которых подается базовая модель и набор параметров для ее изменения. Результатом является деформированная модель соответствующая введенным параметрам.

Литература:
  1. Стоян Ю. Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Ю. Г. Стоян, С. В. Яковлев – Киев: Наук. думка, 1986. – 268 с.
  2. Балжирсурэн Г. Автоматизация проектирования нестандартных компьютерных манекенов: Дисс. канд. тех. наук. Новосибирск. 2009. – 157 с.
  3. Фроловский В. Д. Избранные задачи геометрического проектирования. Параметризация сложных поверхностей. Учебное пособие. Новосибирск. Изд-во НГТУ. 2005. – 165 с.
  4. Коблякова Е. Б. Размерная типология населения с основами анатомии и морфологии / Е. Б. Коблякова, Т. Н. Дунаевская, Г. С. Ивлева, Р. В. Иевлева; Под ред. Е. Б. Кобляковой: Учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Мастерство; Издательский центр «Академия», 2001. – 288 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle