Библиографическое описание:

Файфер Л. А. Применение вейвлет преобразования для расчёта действующих значений величин // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 408-412.



Введение в вейвлет анализ. Вейвлет преобразование в настоящее время нашло обширное применение в электроэнергетике в такие направления, как анализ качества электроэнергии, релейная защита электроэнергетических систем расчёты переходных процессов, диагностика электрического оборудования.

Вейвлеты были введены в конце 1980-х. Впервые термин «вейвлет» вввели Ж. Морлеи А. Гроссман. «Wavelet» в переводе на английский язык с французского слова «ondelette» означает «короткая волна». Также можно встретить в литературе такой перевод как «всплеск», «выброс» [1].

Согласно [2], вейвлетами называют особые функции, которые представляют собой малые волновые пакеты, имеющие значение интеграла равным нулю, локализацию по оси переменной (t или x), способность к сдвигу и масштабированию (сжатию или растяжению).

Масштабирование и сдвиг происходит согласно следующей формуле

, (1)

где - это исходный (материнский вейвлет) из которого образован , благодаря операциям изменения временного масштаба (a) и сдвига во времени (b); - это масштабирующее число, а множитель обеспечивает независимость нормы функции от масштабирующего числа.

Рассмотрим в качестве примера вейвлет функцию и модуль спектральной плотности этой функции (рисунок 1).

«Малые значения параметра а соответствуют мелкому масштабу вейвлет функции или высоким частотам (ω ~ 1/a), большие значения a — крупному масштабу вейвлет функции » [3]. Иначе говоря, мы растягиваем исходный вейвлет и сжимаем его спектр.

Если рассматривать частотную область, то спектры вейвлетов напоминают, так называемые, всплески или волночки. (Именно из-за этого обстоятельства встречаются и такие варианты перевода слова wavelet на русский язык, как «волночка»). Они (всплески и волночки) имеют пик на частоте и полосу (полосовой фильтр); при этом величины и снижаются при увеличении параметра .

Рис.1. Масштабирование вейвлет функций

На данный момент существует большое количество типов вейвлетов.

Все материнские вейвлеты можно разделить на три группы.

  1. Вещественные непрерывные вейвлеты. К ним относятся Гаусовы первого порядка, или WAWE- вейвлет, второго порядка, или MHAT-вейвлет «мексиканская шляпа- mexicanhat», n- ого порядка; DOG- differenceofgaussians; LP- LittlewoodandPaley.
  2. Вещественные дискретные вейвлеты. Это HAAR-вейвлет «вейвлет Хаара» и FHAT- вейвлет «французская шляпа-frenchhat».
  3. Комплексные вейвлеты. К этой группе относятся вейвлет Морле (Morlet) и вейвлет Пауля (Paul) [3].

Рассмотрим более подробнее наиболее часто встречающиеся в литературе.

Вейвлет Хаара.

Вейвлет Хаара можно назвать самым простым типом вейвлета и наиболее распространённым. Но он имеет пару недостатков, к которым можно отнести негладкость и несимметричность формы в t-области. Однако хорошо локализован во временной области. HAAR- вейвлет можно представить следующей ступенчатой функцией

Графическое представление вейвлета Хаара на рисунке 2.

C:\Users\Лиля\Desktop\1.jpg

Рис. 2. Вейвлет функция Хаара

Но большинство типов вейвлетов не имеют аналитической записи функции в явном виде одной формулой. И поэтому они задаются итерационными выражениями. Примером такого вида вейвлетов является функции Добеши (Daubechies). Которые являются одними из самых известных, ввиду того, что Игрид Добеши внесла огромный вклад в развитии теории вейвлетов. Они широко используются в практике и являются несимметричными.

Графическое представление вейвлета Добеши представлено на рисунке 3.

C:\Users\Лиля\Desktop\db10.png

Рис. 3. Вейвлет Добеши 10 порядка

Кроме ранее рассмотренных вейвлетов имеются ещё вейвлеты, входящие в пакет WaveletToolbox. Это вейвлет Симплета, биортогональный вейвлет, вейвлет Шеннона, вейвлет Мейера, вейвлет Койфлетса.

У любого типа вейвлета есть свои преимущества и недостатки. Поэтому какой вейвлет лучше использовать зависит от поставленной задачи и от анализируемого сигнала.

Применение преобразования Фурье для анализа сигналов.

Если применить преобразование Фурье для анализа стационарных сигналов тока и напряжения, то результат точно отражает картину, происходящую в сигнале. Однако всё не атк просто, если рассматривать нестационарные сигналы.

Нестационарным называется сигнал тока, в котором присутствуют различные частоты на разных временных интервалах. Смоделируем нестационарный сигнал тока (рисунок 4, рисунок 5).

D:\рабочий стол\нест ток.jpg

Рис. 4. Нестационарный сигнал тока

D:\рабочий стол\нест спектр тока.jpg

Рис. 5. Спектральный состав нестационарного сигнала тока

Из полученных графиков видно, что имеются два временных промежутка, первый от 0 до 0,25 с, второй от 0,25с. до 0,5с. На первом временном интервале присутствует частота f=50 Гц, на втором временном интервале присутствуют частоты f=50 Гц, f=150 Гц и f=250 Гц.

Мы видим, что в случае нестационарного сигнала существует растекание спектра, с которым преобразование Фурье не справляется. Проблему растекания спектра можно решить с помощью оконного Преобразования Фурье. Но сложность при использовании оконного преобразования Фурье заключается в подборе ширины оконной функции.

В настоящее время большую популярность для анализа нестационарных режимов в электроэнергетике приобрело вейвлет преобразование. Так как оно решает те недостатки, которые присуще преобразованию Фурье.

Вейвлет преобразования для расчёта действующих значений величин.

Существует несколько видов вейвлет преобразований: непрерывное вейвлет преобразование, дискретное вейвлет преобразованеи, диадное вейвлет преобразование.

В основе вейвлет преобразования лежат две непрерывных и зависящих друг от друга функции (вейвлет функция и масштабирующая функция).

Для реализации применения вейвлет преобразования для расчёта действующих значений токов и напряжений зададим напряжения и токи в виде:

, (2)

, (3)

, (4)

; (5)

; (6)

. (7)

где - фазное напряжение 50 Гц; - фазное напряжение 250 Гц; - фазное напряжение 350 Гц; , , - ток первой, пятой и седьмой гармоники.

Рассчитаем действующие значения двумя способами аналитически и по вейвлет коэффициентам. Используя дискретное вейвлет преобразование и программынйы комплекс MATLAB. Погрешность рассчитана между самым точным типом вейвлета и значением вычисленным аналитически. Результаты сведём в таблицу 1.

Таблица 1

Расчёт действующих значений токов инапряжений

Величина

Расчётное значение

Расчет по вейвлет коэффициентам

Погрешность

Haar

db 10

db24

db42

, А

30

27,448

29,987

29,998

30

0

, А

5

1,864

4,917

4,992

4,999

0,0002

, А

3

7,968

2,650

2,866

2,945

0,018

, А

220

199,376

219,979

220

219,989

0,0001

, А

4

13,233

3,893

3,994

3,999

0,0003

, А

3

39,06

2,7282

2,8658

2,9454

0,018

Примечание

, , - действующие значений тока первой, пятой и седьмой гармоники.

, , - действующие значений напряжения первой, пятой и седьмой гармоники.

Вывод. Вейвлет преобразование мощный инструмент для анализа сигналов в электроэнергетике, так как анализ качества электроэнергии является важным фактором и правильное определение параметром режима имеет большое значение. При сравнении результатов действующих значений токов первой, пятой и седьмой гармоник и действующих значений напряжения первой, пятой и седьмой гармоник получили погрешность не превысила 1 %. Можно сделать вывод, что чем больше порядок используемого вейвлета, тем точнее получаются результаты.

Литература:

  1. Нагорнов, О. В. Вейвлет-анализ в примерах [Текст]: учебное пособие / О. В. Нагорнов, В. Г. Никитаев, В. М. Простокишин,С. А. Тюфлин и др. — М.: НИЯУ МИФИ. — 2010. — 120 с.
  2. Дьяконов, В. П. От теории к практике. Вейвлеты [Текст]: учебное пособие / А. Н. Дьяконов. — М: Салон-Р. — 2003. — 440 с.
  3. Яковлев, А. Н. Введение в вейвлет-преобразование [Текст]: учебное пособие / А. Н. Яковлев. — Новосибирск: Изд-во НГТУ. — 2003. — 104 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle