В статье рассматривается теорема Пикара и доказывается существование решения задачи Коши методом последовательных приближений.
Ключевые слова: метод последовательных приближений, теорема Пикара, существование решения задачи Коши, условие Липшица.
Постановка задачи Коши. Теорема Пикара.
Рассмотрим задачу Коши
Функция
1)
Пусть
2)
Пусть
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).
Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда на отрезке
существует единственное решение задачи (1.1).
Следующее утверждение существенно используется при доказательстве сформулированной теоремы.
Лемма 1.
Пусть
функция
которое рассматривается в классе непрерывных функций.
Доказательство:
Пусть
С другой стороны, если непрерывная функция
является непрерывно дифференцируемой функцией переменной
удовлетворяющее начальным условиям
y(
Итак, мы показали эквивалентность задачи (1.1) и (1.2).
Доказательство существования решения задачи Коши.
Для доказательства теоремы применим метод последовательных приближений (метод Пикара). Определим итерационный процесс метода последовательных приближений так:
где
Далее, в силу условия
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.028.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.029.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.030.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.031.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.032.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.033.png)
Лемма 2.
Функциональная последовательность
Доказательство: Рассмотрим функциональный ряд
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.036.png)
Оценим абсолютные величины членов ряда (1.5):
далее,
На основании условия Липшица подынтегральная функция удовлетворяет неравенству
Теперь
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.040.png)
Аналогично получим:
и наконец
Далее
Подставив в последний интеграл вместо
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.044.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.045.png)
Теперь, учитывая замену
По признаку Даламбера мы получаем
Следовательно, ряд
Докажем, что полученная таким образом функция
Возьмем равенство (1.4):
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.054.png)
и перейдем к пределу при
Благодаря равномерной непрерывности функции
будет выполнено для тех пар точек
Сопоставляя оба эти неравенства, мы получаем при
Отсюда следует:
Пользуясь произволом числа ℇ, находим:
Таким образом, переходя к пределу в (1.4) при
![](https://moluch.ru/blmcbn/83315/83315.073.png)
т. е.
Лемма 3.
Функциональная последовательность
Доказательство:
Поскольку все функции
Кроме того, равномерная сходимость непрерывных функций
т. е. предел последовательных приближений
Литература:
- Исраилов С. В., Юшаев С. С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик, «Эль-Фа» 2014 г.
- Исраилов С. В. Исследование некоторых многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями и с сингулярностью: Дис. канд. физ.-мат. наук. Баку. 1964 г.