Вычисление лемнискатной постоянной ω



1. Введение

Если взять окружность любого радиуса и посчитать отношение длины этой окружности к её диаметру мы получим знаменитую математическую простоянную π = 3,1415926535897932384626433832795…

Нужно заметить, что данное определение действительно только для евклидовой геометрии. В других геометриях отношение длины окружности к длине её диаметра может быть произвольным. Например, в геометрии Минковского—Банаха , причём число π может принимать любые значения в указанном промежутке [1].

Существует множество способов, алгоритмов и формул для вычисления численного значения числа π. Например, формулы типа Мэчина:

названные в честь Джона Мэчина, который в 1706 году нашёл эффективную формулу для вычисления числа π [2]:

Данная формула позволяет вычислить число π используя разложение функции в ряд [3]:

,

В данной работе рассчитаем отношение длины кривой к её диаметру для лемнискаты Бернулли. Полученное значение отношения называется лемнискатной постоянной ω.

Для вычисления данной постоянной ω выведем и будем использовать формулу разложение функции (лемнискатный арксинус) в ряд.

2. Лемниската Бернулли.

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами [4].

Рис.1 Лемниската Бернулли и два её фокуса F ₁ и F ₂

Уравнение лемнискаты:

в прямоугольных координатах: ;

в полярных координатах: .

Из курса высшей математики известно, что длина всей лемнискаты выражается эллиптическим интегралом I рода [4]:

Тогда лемнискатная постоянная , где - диаметр лемнискаты Бернулли.

Диаметром фигуры называется максимальное расстояние между точками этой фигуры, или точная верхняя грань всевозможных расстояний, если максимальное не существует [5].

2.1. Лемнискатный синус sl x и лемнискатный арксинус arcsl x.

Рассмотрим единичную лемнискату, заданную уравнением: .

Аналогично тригонометрическиим функциям sin(x) и cos(x) определяются лемнискатный синус sl(x) и лемнискатный косинус cl(x) [6].

Рис. 2. Лемнискатный синус и лемнискатный косинус по сравнению с тригонометрическим синусом y = sin(πx/ω)

Формулы сложения для лемнискатного синуса выглядят следующим образом [6]:

(1)

В частности (2)

Также аналогично тригонометрическим функциям arcsin(x) и arccos(x) вводятся обратные функции к лемнискатному синусу sl(x) и лемнискатному косинусу cl(x) — лемнискатный арксинус arcsl(x) и лемнискатный арккосинус arccl(x).

По аналогии с тем, что , имеем [7].

Геометрическая интерпретация лемнискатного арксинуса и лемнискатного арккосинуса показана на Рис. 3 [7]:

Рис. 3. Лемнискатный арксинус и арккосинус связывают длину дуги лемнискаты с расстоянием от начала координат до точки на кривой

2.2 Вывод формулы разложения лемнискатного арксинуса в ряд

Так как лемнискатный арксинус по определению равен длине дуги лемнискаты, получаем [7]:

и .

Выведем формулу разложения лемнискатного синуса в ряд.

Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона [2]:

[

]

Подставим данную формулу в выражение лемнискатного арксинуса и так как ряд бинома Ньютона сходится, выполним его почленное интегрирование:

=

Окончательно имеем при :

(3)

Из формулы (3) при получим:

(4)

2.3 Вывод «вспомогательных» формул

1) Используя формулу (1), получим:

(5)

2) Из формулы (1) следует:

Обозначим: и

Тогда (6)

Или (7)

В частности (8)

Или (9)

3) Вывод формулы для .

Согласно формуле (5) рассмотрим

подставляя формулу (2), получим:

и окончательно:

(10)

4) Вывод формулы для .

Согласно формуле (5) рассмотрим

подставляя формулы (2) и (10) и в результате несложных, но громоздких вычислений, получим:

и окончательно:

(11)

2.4 Вывод формул для вычисления лемнискатной постоянной.

Пример № 1

Решить уравнение , где .

Решение.

Имеем

Приравнивая выражения, получим:

После возведения в квадрат и преобразования получим уравнение:

Или:

Решая данное уравнение, находим действительные корни:

;

Окончательно имеем:

(12)

Замечание.

* Тригонометрический аналог уравнения (12):

Пример № 2

Решить уравнение , где .

Решение.

Используя формулу (10) или результаты, указанные в [8], получаем:

Проводя замену , получим

На основании вышеуказанного

Разложим данный многочлен на множители:

Найдем корни уравнения:

(13)

Для решения уравнения (13) воспользуемся методом Феррари [9].

Резольвента основного уравнения: , один из её корней .

Тогда корни уравнения (13) находятся как корни уравнений:

Уравнение не имеет решений в действительных числах.

Решая уравнение получим:

;

Окончательно:

(14)

Замечание.

* Тригонометрический аналог уравнения (14):

Пример № 3

Решить уравнение , где

.

Решение.

Аналогично предыдущим примерам, используя формулу (11), получаем многочлен:

.

Разлагаем его на множители:

Найдем корни уравнения:

(15)

Для решения уравнения (15) воспользуемся методом Феррари [9].

Резольвента данного уравнения: , один из корней резольвенты .

Тогда корни уравнения (15) находятся как корни уравнений:

А как нетрудно видеть, данные уравнения не имеют решений в действительных числах.

Найдем корни уравнения:

(16)

Используя «Метод неопределенных коэффициентов» [10] находим, что

Тогда уравнение (16) можно записать в виде:

И окончательно разложение многочлена

на множители:

Уравнение не имеет решений в действительных числах.

Найдем корни уравнения:

(17)

Для решения уравнения (17) воспользуемся методом Феррари [9].

Резольвента данного уравнения: , один из корней резольвенты .

Тогда корни уравнения (17) находятся как корни уравнений:

Уравнение имеет два отрицательных действительных корня, что не удовлетворяет исходным условиям.

Решая уравнение , находим удовлетворяющий начальным условиям корень: .

Окончательно:

(18)

Замечания.

* Тригонометрический аналог уравнения (18):

** Карл Гаусс получил для уравнения (18) более «красивое» выражение [11]:

Пример № 4

Решить уравнение:

при условии: ,

, , .

Решение.

Применяя формулу (5) к уравнению , получим:

Или

(19)

Положим

и (20)

Действительно (20) являются решением уравнения (19):

Тогда

(21)

Положив , получим:

(22)

Подставляя различные значения получим ряд формул.

При : (23)

При

: (24)

При :

При :

Пример № 5.

Вывести формулу: ,

и .

Решение.

Для этого положим в формуле (21):

и

И воспользуемся формулой (9).

Получим:

Или после преобразования:

(25)

Подставляя , получим:

(Gauss) (26)

Подставляя , получим:

(Fagnano) (27)

Подставляя , получим:

(28)

Пример № 6

Вывести формулу:

, и .

Решение.

Вычисляя , получим:

Или после преобразований:

(29)

Так же для вывода формулы (29) можно воспользоваться формулой (10):

(30)

И после замены получить формулу (29).

Используя формулу (21), положим:

и

Тогда

И окончательно:

(31)

Подставляя , получим:

(32)

Подставляя , получим:

Подставляя

, получим:

3. Вычисление лемнискатной константы ω.

Рассмотрим следующие формулы для вычисления ω:

(4)

(12)

(14)

(18)

(23)

(24)

(26)

(27)

(32)

Представим данные формулы в виде .

Тогда по аналогии с [12] для каждой формулы введем меру :

,

которая характеризует эффективность данной формулы. И чем мера меньше, тем формула для вычисления лемнискатной постоянной эффективней.

Для вычисления лемнискатной постоянной воспользуемся данными формулами и разложением функции в ряд (3). В связи с возможностями программы Microsoft Excel ограничимся только первыми 10 членами ряда.

На основании полученных данных составим таблицу:

Номер формулы	Мера	Значение ω
4	-	2 ,44143743142604
24	22,734	2,62 185425265251
23	10,836	2,62205755 687758
27	7,125	2,6220575542 2176
26	5,258	2,6220575542921 1
12	5,225	2,622057554 00457
31	4,059	2,62205755429212
14	2,769	2,62205755429212
18	1,720	2,62205755429212

Выделены «верные» цифры лемнискатной постоянной.

Таким образом мною были найдены новые формулы для вычисления лемнискатной постоянной и получено её значение ω = 2,62205755429212.

На 01.07.2024 мировой рекорд в определении значения лемнискатной постоянной принадлежит Seungmin Kim и составляет 1200000000100 знаков после запятой. Установлен 17 июля 2022 года [13].

Литература:

1. Жуков А. В. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002.
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
3. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1977.
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Диаметр
6. Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
7. https://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_of_Bernoulli
8. Euler, Leonard (1761) «Observationes de comparatione arcuum curvarum irrectificibilium».
9. https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Феррари
10. https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_неопределенных_коэффициентов
11. Todd, John (1974) «The Lemniscate constant».
12. Lehmer, D.H. (1938) «On arccotangent relations for π».
13. http://www.numberworld.org/y-cruncher/