Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 30 ноября, печатный экземпляр отправим 4 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Опубликовано в Юный учёный №3 (6) май 2016 г.

Дата публикации: 27.03.2016

Статья просмотрена: 2058 раз

Библиографическое описание:

Татьяненко А. А., Татьяненко С. А. Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге // Юный ученый. — 2016. — №3. — URL https://moluch.ru/young/archive/6/347/ (дата обращения: 18.11.2019).



При подготовке к основному государственному экзамену я встретился с заданиями, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приемы. Меня заинтересовала данная тема. И естественно возникли вопросы: где в повседневной жизни могут возникнуть задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге? В чем особенность таких задач? Существуют ли другие методы или же универсальная формула для вычисления площадей геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге?

Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако, в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата. Более того, мною проведен опрос друзей и одноклассников (в двух формах: при личной беседе и в социальных сетях), в котором приняли участие 43 учащихся школ города Тобольска. Данный опрос показал, что всего один человек (учащийся 11 класса) знаком с формулой Пика для вычисления площадей.

Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. В учебной литературе точки с целочисленными координатами называются узлами. Причем многоугольник не обязательно должен быть выпуклым. И пусть требуется определить его площадь.

Возможны следующие случаи.

1. Фигура представляет собой треугольник, параллелограмм, трапецию:

1) подсчитывая клеточки нужно найти высоту, диагонали или стороны, которые требуются для вычисления площади;

2) подставить найденные величины в формулу площади.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 1 с размером клетки 1см на 1 см.

Рис. 1. Треугольник

Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: .

2 Фигура представляет собой многоугольник

Если фигура представляет собой многоугольник то возможно использовать следующие методы.

Метод разбиения:

1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники;

2) вычислить площади полученных фигур;

3) найти сумму всех площадей полученных фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом разбиения.

Рис. 2. Многоугольник

Решение. Способов разбиения существует множество. Мы разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольник как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Многоугольник. Метод разбиения

Площади треугольников равны: , , , площадь прямоугольника — . Складывая площади всех фигур получим:

Метод дополнительного построения

1) достроить фигуру до прямоугольника

2) найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника

3) из площади прямоугольника вычесть площади всех «лишних» фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом дополнительного построения.

Решение. Достроим нашу фигуру до прямоугольника как показано на рисунке 4.

Рис. 4. Многоугольник. Метод дополнения

Площадь большого прямоугольника равна , прямоугольника, расположенного внутри — , площади «лишних» треугольников — , , тогда площадь искомой фигуры .

При вычислении площадей многоугольников на клетчатой бумаге возможно использовать еще один метод, который носит название формула Пика по фамилии ученого ее открывшего.

Формула Пика

Пусть у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге только целочисленные вершины. Точки у которых обе координаты целые называются узлами решетки. Причем, многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где B — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Например, для многоугольника, изображенного на рисунке 5.

Рис. 5. Узлы в формуле Пика

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см по формуле Пика.

Рис. 6. Многоугольник. Формула Пика

Решение. По рисунку 6: В=9, Г=10, тогда по формуле Пика имеем:

Ниже приведены примеры некоторых задач, разработанных автором на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

1. В детском саду дети сделали аппликации родителям в подарок (рис.7). Найдите площадь аппликации. Размер каждой клетки равен 1см 1см.

Рис. 7. Условие задачи 1

2. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых — до 35 т, вяза — до 43 т, дуба — до 50 т. бука — до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рисунке 8 (масштаб 1 см. — 200 м.).

Рис. 8. Условие задачи 2

3. В орнаментах хантов и манси, преобладают геометрические мотивы. Часто встречаются стилизованные изображения животных. На рисунке 9 изображен фрагмент мансийского орнамента «Заячьи ушки». Вычислите площадь закрашенной части орнамента.

узоры 6

Рис. 9. Условие задачи 3

4. Требуется покрасить стену заводского здания (рис. 10). Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров Масштаб 1см — 5м.

Рис. 10. Условие задачи 4

5. Звездчатый многоугольник — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. Особого внимания заслуживает пятиконечная звезда — пентаграмма. Пентаграмма — это символ совершенства, ума, мудрости и красоты. Это простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника находились в узлах клетки. Вычислите площадь полученной фигуры.

Проанализировав математическую литературу и разобрав большое количество примеров по теме исследования, я пришел к выводу, что выбор метода вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге зависит от формы фигуры. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей. Если фигура представляет собой выпуклый многоугольник, то возможно использовать как метод разбиения, так и дополнения (в большинстве случаях удобнее — метод дополнения). Если фигура представляет собой невыпуклый или звездчатый многоугольник, то удобнее применить формулу Пика.

Поскольку формула Пика является универсальной формулой для вычисления площадей (если вершины многоугольника находятся в узлах решетки), то ее можно использовать для любой фигуры. Однако, если многоугольник занимает достаточно большую площадь (или клетки мелкие), то велика вероятность допустить ошибку в подсчетах узлов решетки. Вообще, в ходе исследования, я пришел к выводу, что при решении подобных задач в ОГЭ лучше воспользоваться традиционными методами (разбиения или дополнения), а результат проверить по формуле Пика.

Литература:

  1. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. — М.: МЦНМО, 2006. — 72 с.
  2. Васильев И. Н. Вокруг формулы Пика// Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». — 1974. — № 12. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
  3. Жарковская Н., Рисс Е. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. // Первое сентября. Математика. — 2009. -№ 23. — с.24,25.
Основные термины (генерируются автоматически): формула Пика, клетчатая бумага, площадь фигуры, фигура, вычисление площадей, многоугольник, площадь, размер клетки, условие задачи, универсальная формула.


Похожие статьи

Одна за всех... Формула Пика | Статья в журнале «Юный ученый»

Это замечательная формула называется формулой Пика. Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру

Формула Пика, или как считать площади многоугольников, полезна при решении задачи В4 ЕГЭ и 12 задачи ОГЭ. Вычисление узлов.

Особенности вычисления площадей по карте при выполнении...

В результате вычисления площадей составляется экспликация угодий (перечень угодий с указанием их

Графический метод заключается в том, что данные для вычисления площадей берутся с

Если участок представляет собой многоугольник, то его делят на треугольники...

Коэффициент формы как геометрическая характеристика

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей.

Урок-моделирование во 2-м классе по теме: «Разнообразие фигур

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. По формуле получаем: . 2 Фигура представляет собой многоугольник. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника...

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой...

Геометрические задачи о нахождении тел, максимальной или минимальной площади и объема с определенными ограничениями на ширину фигуры, широко распространены не только в математике, но и в практических приложениях. Такого рода задачи применяются в технике...

В чем отличие круга от окружности | Статья в журнале...

Площадь круга - численная характеристика фигуры, показывающая размер этой фигуры в квадратных единицах. Стандартное обозначение площади — буква S. Чтобы найти площадь круга, нужно знать несколько математических определений. Во-первых, вы должны иметь...

Обобщение одной из основных задач аналитической геометрии

. По условию , т. е. . Из этого вытекает, что мы можем найти координаты точки по формуле деления отрезка в данном отношении.

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Методика работы над алгоритмической задачей как способ...

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Рис. 1. Треугольник. Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: . 2 Фигура представляет собой многоугольник.

Переопределенные задачи в школьном курсе математики

Теперь учитель предлагает вычислить площадь этого треугольника.

Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие, находить в нём нужные данные и отбрасывать ненужные.

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Похожие статьи

Одна за всех... Формула Пика | Статья в журнале «Юный ученый»

Это замечательная формула называется формулой Пика. Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру

Формула Пика, или как считать площади многоугольников, полезна при решении задачи В4 ЕГЭ и 12 задачи ОГЭ. Вычисление узлов.

Особенности вычисления площадей по карте при выполнении...

В результате вычисления площадей составляется экспликация угодий (перечень угодий с указанием их

Графический метод заключается в том, что данные для вычисления площадей берутся с

Если участок представляет собой многоугольник, то его делят на треугольники...

Коэффициент формы как геометрическая характеристика

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей.

Урок-моделирование во 2-м классе по теме: «Разнообразие фигур

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. По формуле получаем: . 2 Фигура представляет собой многоугольник. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника...

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой...

Геометрические задачи о нахождении тел, максимальной или минимальной площади и объема с определенными ограничениями на ширину фигуры, широко распространены не только в математике, но и в практических приложениях. Такого рода задачи применяются в технике...

В чем отличие круга от окружности | Статья в журнале...

Площадь круга - численная характеристика фигуры, показывающая размер этой фигуры в квадратных единицах. Стандартное обозначение площади — буква S. Чтобы найти площадь круга, нужно знать несколько математических определений. Во-первых, вы должны иметь...

Обобщение одной из основных задач аналитической геометрии

. По условию , т. е. . Из этого вытекает, что мы можем найти координаты точки по формуле деления отрезка в данном отношении.

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Методика работы над алгоритмической задачей как способ...

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Рис. 1. Треугольник. Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: . 2 Фигура представляет собой многоугольник.

Переопределенные задачи в школьном курсе математики

Теперь учитель предлагает вычислить площадь этого треугольника.

Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие, находить в нём нужные данные и отбрасывать ненужные.

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Задать вопрос