Введение

Определение задержки между двумя дискретными сигналами необходимо в большом числе задач цифровой обработки сигналов: в исследованиях радиосигналов, обработке аудиоданных, измерении различных величин. Эта задержка может быть вычислена корреляционными, спектральными или фазовыми методами или же с помощью определения характерных точек.

В ситуации, когда полезные сигналы состоят, преимущественно, из одной частоты, а время задержки между ними мало (не превышает одного периода основной частоты), наибольшую точность обеспечивают фазовые методы: по преобразованию Фурье [1] и по преобразованию Гильберта [2]. И если вычисление фазовой задержки по преобразованию Гильберта выполняется, фактически, в одно действие, а его реализация широко известна и многократно описана, то вычисление фазовой задержки по преобразованию Фурье выполняется в несколько этапов, а информация о его программной реализации практически не встречается в работах.

Суть метода и алгоритм

Метод вычисления фазовой задержки с помощью преобразования Фурье основывается на том, что комплексный спектр преобразования Фурье содержит не только амплитудный, но и фазовый спектр. Это свойство не составляет труда использовать при выполнении важного условия — один сигнал должен отставать от другого не более чем на один период основной частоты.

Как упоминалось ранее, вычисление фазовой задержки между сигналами по преобразованию Фурье происходит в несколько этапов:

1) По формуле (1) вычисляется дискретное преобразование Фурье (в программной реализации — в виде быстрого преобразования Фурье алгоритмом Кули-Тьюки) для обоих сигналов:

где:

— комплексная амплитуда синусоидального сигнала,

— индекс частоты (причём частота синусоидального сигнала с индексом равна , где — период времени, в течение которого получен сигнал (то есть времени, содержащем все отсчёты сигнала), который в свою очередь равен , где — частота дискретизации сигнала),

— общее число отсчётов в сигнале,

— измеренное значение (отсчёт) сигнала,

— индекс отсчёта.

2) По дискретному преобразованию Фурье определяются индексы частот с максимальной амплитудой (основных частот) для обоих сигналов, то есть выбираются и , удовлетворяющие условиям (2), (3) и (4):

где — множество комплексных амплитуд дискретного преобразования Фурье первого сигнала.

где — множество комплексных амплитуд дискретного преобразования Фурье второго сигнала.

где — основная частота сигналов.

Условие (4) является ключевым для работы алгоритма, поскольку вычисление фазовой задержки возможно только при условии точного совпадения частот (при преобразовании Фурье; с реальной основной частотой частота, определённая по преобразованию Фурье, может совпадать лишь приблизительно — точность зависит от — частоты дискретизации сигнала).

3) Наконец, фазовая задержка определяется по формуле (5) с помощью вычитания аргументов комплексных амплитуд спектра дискретного преобразования Фурье (то есть с помощью вычитания фаз основной частоты сигналов):

В свою очередь численное значение задержки в секундах определяется по формуле (6):

Реализация

Описанный алгоритм реализован на языке Python 3 с использованием библиотек numpy (операции с комплексными числами), scipy (быстрое преобразование Фурье) и matplotlib (построение графика).

В коде, представленном ниже, создаются два тоновых синусоидальных сигнала длиной 9999 отсчётов (30 секунд при частоте дискретизации 333,3 отсчёта/сек), один из которых отстаёт от другого. После выполнения выводится сравнение значений задержки — реального и вычисленного представленным методом:

На рисунке представлены графики созданных тоновых синусоидальных сигналов:

Код программы

N = 9999

t = np.linspace(0, 30, N)

samplerate = len(t) / (max(t) - min(t))

sin_length = int(np.pi * 2 * N/10)

print("Частота сигнала: " + str(1 / ((sin_length / samplerate) / 3)) + "Гц")

signal_1 = np.zeros((N,))

T_start_1 = int(N/10)

signal_1[T_start_1:T_start_1 + sin_length] = np.sin(t[T_start_1:T_start_1 + sin_length] - t[T_start_1])

yf = sc.fft.rfft(signal_1)

yf_1 = yf

xf = sc.fft.rfftfreq(N, 1 / samplerate)

p = np.angle(yf)

print("Частота 1 по БПФ: " + str(xf[np.argmax(np.abs(yf))]) + "Гц")

signal_2 = np.zeros((N,))

T_start_2 = int(1.75*N/10)

signal_2[T_start_2:T_start_2 + sin_length] = np.sin(t[T_start_2:T_start_2 + sin_length] - t[T_start_2])

yf = sc.fft.rfft(signal_2)

yf_2 = yf

xf = sc.fft.rfftfreq(N, 1 / samplerate)

p = np.angle(yf)

print("Частота 2 по БПФ: " + str(xf[np.argmax(np.abs(yf))]) + "Гц")

print("Реальная задержка: " + str((np.argmax(signal_2 != 0) - np.argmax(signal_1 != 0)) / samplerate) + " с")

plt.figure(figsize=(10, 7))

plt.plot(t, signal_1, color="black", linewidth=1.5)

plt.plot(t, signal_2, color="blue", linewidth=1.5)

plt.grid()

plt.xlim(t[0], t[-1])

# Разработанный метод

I_1 = np.argmax(np.abs(yf_1))

I_2 = np.argmax(np.abs(yf_2))

ph = np.angle(yf_2[I_2]) - np.angle(yf_1[I_1])

tm = - ph / (2 * np.pi * xf[np.argmax(np.abs(yf))])

print("Вычисленная задержка: " + str(tm.real) + " с")

Литература:

1. Быстрое преобразование Фурье // ВикипедиЯ URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Быстрое_преобразование_Фурье (дата обращения: 16.03.2026).
2. Преобразование Гильберта // ВикипедиЯ URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Гильберта (дата обращения: 16.03.2026).