Введение. В современном строительстве широкое применение находят большепролётные сетчатые покрытия (reticulated domes), обладающие высокой несущей способностью при малой металлоёмкости [1]. Проектирование таких систем требует анализа тысяч стержневых элементов, образующих сложную пространственную структуру. Существующие САПР общего назначения часто избыточны и сложны для параметрического поиска оптимальной формы исторических типов куполов (луковичных, шлемовидных). Целью данной работы является разработка специализированного ПО для автоматизированного анализа стержневых каркасов куполов.

Описание программной реализации и объекта исследования . Программный комплекс «Стяжень» разработан на языке Python с использованием библиотек NumPy и SciPy. В основе генерации геометрии лежит параметрический алгоритм. Пользователь задаёт радиус основания (R), высоту (H) и коэффициент формы образующей (β). Программа автоматически создает узлы и стержневые связи, формируя регулярную ребристую или геодезическую сетку.

Методы исследования

Архитектура программного комплекса «Стяжень» построена по модульному принципу, обеспечивающему гибкость настройки параметров и высокую скорость вычислений. Графический интерфейс обеспечивает удобную навигацию.

Рис. 1. Интерфейс программного комплекса Стяжень: генерация параметрической сетки луковичного купола

Параметрическая генерация дискретной модели

Первым этапом исследования является дискретизация континуальной оболочки купола на конечное число стержневых элементов. В программе реализован генератор топологии, оперирующий не декартовыми координатами, а архитектурными пропорциями:

Радиус основания (R) и Высота подъема (H);

Количество меридиональных секторов (Nsec) и широтных колец (Nring);

Коэффициент формообразования («вздутия») β: Параметр, определяющий отношение максимального диаметра купола к диаметру основания (критичен для луковичных глав);

Параметр окулюса (Roculus): Учет светового проема в вершине.

Алгоритм вычисляет координаты узлов Pi(x, y, z) используя тригонометрические функции формы, после чего автоматически генерирует матрицу связности элементов. Для полюса купола применяется специальная процедура триангуляции («шапочка»), исключающая геометрическую сингулярность в точке z=H.

Математическая модель МКЭ

Расчетное ядро базируется на методе конечных элементоввлинейной статической постановке.

Используется конечный элемент типа TRUSS3D (пространственный стержень), работающий только на растяжение-сжатие, с тремя степенями свободы в узле (Ux, Uy, Uz).

Формирование глобальной матрицы жесткости [K] размером (3N x 3N) производится с использованием формата разреженных матриц LIL (List of Lists) библиотеки SciPy. Это позволяет эффективно хранить и обрабатывать системы с числом степеней свободы до 10⁵ на персональных ЭВМ, так как коэффициент заполнения матрицы для купольных ферм редко превышает 1–2 %.

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) выполняется прямым методом с использованием LU-разложения, что обеспечивает высокую точность получения вектора перемещений {U}

Математическое обоснование конечно-элементной модели

Выбор стержневой аппроксимации для купольных систем обосновывается положениями, изложенными в фундаментальной работе расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Согласно их классификации расчетных моделей, для пространственных покрытий с выраженной дискретной сеткой ребер наиболее адекватной является модель «пространственной фермы».[4]

Алгоритм сбора нагрузок и критерии прочности

Программный комплекс реализует автоматизированный сбор нагрузок согласно СП 20.13330.2016 [1]:

1. Гравитационная нагрузка: вычисляется автоматически на основе плотности материала ρ и геометрии сечения A.\
2. Снеговая нагрузка: прикладывается к узлам пропорционально их грузовой длине (Ltrib ≈ 0.5 ∑ Ladj). Учитывается проекция на горизонтальную плоскость. Учитывается проекция на горизонтальную плоскость.
3. Ветровая нагрузка: моделируется как статическое давление, изменяющееся по высоте z по степенному закону для различных типов местности (A, B, C).

Оценка несущей способности производится по двум критериям:

Прочность: σ = E * ε ≤ Ry, где Ry предел текучести стали.

Устойчивость: для сжатых элементов выполняется проверка по Эйлеру:

Программа вычисляет коэффициент использования η устойчивости, что позволяет предотвратить потерю устойчивости отдельных стержней каркаса.

Результаты исследования

Эффективность разработанной методики проверена на серии численных экспериментов. В качестве эталонной модели был выбран проект купола храма в традиционном «Владимиро-Суздальском» стиле.

Входные параметры эксперимента:

— Геометрия: Килевидный купол, R=6 м, H=8 м.

— Сетка: 16 колец, 24 сектора (385 узлов, 1056 стержней).

— Материал: Сталь Ст3 (C245).

— Нагрузка: IV снеговой район (2.0 кПа), ветровой район III.

Рис. 2. Интерфейс программного комплекса Стяжень: прохождение проверки прочности

Анализ НДС и визуализация

В результате расчета получена картина деформированного состояния. Максимальные перемещения (fmax = 14.2 мм) зафиксированы в наветренной зоне на высоте 2/3 H, что обусловлено суперпозицией снеговой «шапки» и ветрового давления. Карты напряжений, построенные с помощью модуля визуализации (библиотека Matplotlib), выявили зону концентрации сжимающих усилий в опорном кольце и нижних ярусах меридиональных ребер. Максимальное напряжение составило 493 МПа.

Рис. 3. Результат до оптимизации купольной конструкции

Результаты оптимизации

Процесс оптимизации в системе «Стяжень» представляет собой дискретный перебор элементов из базы профилей PROFILE_LIB до достижения максимально допустимого значения в диапазоне [0.85, 1.0]. Такой подход соответствует принципам минимально необходимого армирования и сечения. [3]

Применение модуля run_optimization позволило провести автоматический перебор сортамента профилей.

Программа определила оптимальный вариант (Труба 120х6).

Результат: Мы получили коэффициент η = 0.93 что является эталонным для инженерного проектирования. Согласно СП 16.13330.2017 ² , проектирование конструкций с коэффициентом использования ниже 0.5 признается нерациональным, а выше 1.0 — аварийным.

Рис. 4. Результат после оптимизации купольной конструкции

Результаты оптимизации

Границы применения ПО:

В данном разделе представлен критический анализ разработанного инструментария, выявляющий его место в экосистеме инженерного ПО.

Конкурентные преимущества

1. Специализация на национальных архитектурных формах: В отличие от универсальных САПР, программа содержит встроенные пресеты для луковичных, шатровых и шлемовидных глав. Параметрическая настройка «окружности» (kbulge) позволяет архитектору находить канонические пропорции без ручного построения сплайнов.
2. Полная локализация нормативной базы: Интеграция табличных данных СП 20.13330 (снеговые/ветровые районы РФ) исключает ошибки ручного ввода коэффициентов надежности, свойственные при работе в зарубежном ПО.
3. Высокая скорость итераций: Время полного цикла (генерация, расчет, оптимизация) для модели до 5000 элементов составляет менее 2 секунд, что позволяет использовать программу на ранних стадиях концептуального проектирования («предпроект»).
4. BIM-интероперабельность: Наличие модуля экспорта в DXF позволяет передавать рассчитанную осевую линию каркаса в Revit/AutoCAD для дальнейшей деталировки узлов.

Ограничения и перспективы развития

Необходимо отметить упрощения, принятые в текущей версии программного комплекса, которые ограничивают его применение для стадии «Рабочая документация»:

1. Линейная постановка задачи: Расчет производится в геометрически линейной постановке. Не учитываются эффекты больших перемещений (деформационная схема), которые могут быть значимы для гибких оболочек большого пролета (D > 30 м).
2. Шарнирная схема сопряжения: Все узлы считаются идеальными шарнирами. В реальности сварные узлы обладают жесткостью, передающей изгибающие моменты. Однако для предварительного подбора сечений ферменных конструкций данное допущение идет «в запас надежности» и является общепринятым в строительной механике.
3. Упрощенный сбор нагрузок: Грузовая площадь узлов аппроксимируется через длины примыкающих стержней, а не через точное вычисление площадей смежных треугольников. Погрешность данного метода не превышает 5–7 % для регулярных сеток.
4. Отсутствие динамического анализа: Пульсационная составляющая ветровой нагрузки учитывается через статический эквивалент, без расчета частот собственных колебаний.

Заключение

Разработанный программный продукт демонстрирует, как сочетание классических численных методов и современных алгоритмов оптимизации может служить целям сохранения архитектурного наследия. В условиях необходимости импортозамещения, данный инструмент закрывает нишу специализированного ПО для проектирования церковных и не только зданий сложной геометрии.

Литература:

1. СП 20.13330.2016. Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07–85*. — М.: Стандартинформ, 2016. — 80 с.
2. СП 16.13330.2017. Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23–81*. — М.: Стандартинформ, 2017. — 140 с.
3. Ржаницын, А. Р. Строительная механика: Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 2001. — 424 с.
4. Перельмутер, А. В., Сливкер, В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. — 4-е изд., перераб. — М.: СКАД СОФТ, 2011. — 736 с.