Актуальность работы

Исследование радиолокационных станций и систем методами математического моделирования предполагает получение оценок параметров и характеристик статистической обработки входных данных. При этом, в силу временных ограничений на проведение моделирования, объем этих данных также ограничен. В связи с этим, исследователь должен оценивать качество результатов обработки применяя специальные методы, дающие приемлемый результат в указанных условиях.

Для радиолокационных станций обнаружения целей и измерения их координат вне зависимости от вида радиолокации (активной или пассивной), применяемой для получения данных, наибольшую значимость имеют показатели качества обнаружения, которые в соответствие с критерием Неймана-Пирсона характеризуются условной вероятностью правильного обнаружения при фиксированной условной вероятности ложной тревоги. Оценки этих показателей качества получаются при заданном пороге обнаружения, значение которого определяется уровнем собственного шума приемного тракта, плотностью его распределения и значением заданной условной вероятности ложной тревоги. Таким образом, в процессе математического моделирования процесса обработки сигналов и получения оценок показателей качества обнаружения РЛС требуется знание плотности распределения шума и величины порога обнаружения.

В данной статье авторы, на основе личного опыта проведения исследований в области радиопеленгации, представляют методику расчета порога обнаружения при ограниченном объеме входных данных с использованием аппарата проверки статистических гипотез о законах распределения случайных величин по минимальному набору входных данных.

Постановка задачи

В ходе оценки показателей качества обнаружения сигналов от источников радиоизлучения макетом пассивного двухканального обнаружителя-пеленгатора требуется вычисление порога обнаружения на основе заданных значений условной вероятности ложной тревоги и имеющихся реализаций достаточной статистики на выходе устройства обработки, полученных методом имитационного моделирования и на основе аналого-цифрового преобразования реальных сигналов при наличии на входе только собственного шума.

Исходные данные

Входные реализации шума приемного тракта представляют из себя независимые стационарные случайные процессы и нормальным законом распределения, нулевым математическим ожиданием и дисперсиями и . Пример реализации входных шумов, показан на рис. 1.

Рис. 1. Реализация входного шума

Для статистического моделирования собственного шума было использовано выражение числового вектора размерностью N, полученное методом обратной функции

, (1)

где и — независимые случайные величины, равномерно распределены на интервале [0,1];

.

В качестве достаточной статистики обнаружения использовался результат совместной обработки сигналов от двух приемных каналов, реализующих классический амплитудный метод пеленгации по критерию максимума отношения правдоподобия при условии распределения шума по нормальному закону. Аналитический вид достаточной статистики представлен формулой (2).

Анализ выражения показывает, что в процессе обработки входные реализации сигналов возводятся в квадрат, что приводит к изменению их статистических характеристик. При наличии во входной реализации только шума плотность распределения выходной статистики будет подчиняться закону Рэлея. Это приводит к снижению отношения сигнал-шум на выходе устройства обработки и зависимости порогового значения от времени интегрирования (накопления). Таким образом, при исследовании данного способа обработки требуются знания о законе распределения шума на выходе и получении оценок его параметров для пересчета порогов обнаружения.

Описание методики расчета порога обнаружения

1. Определение закона распределения выходной статистики

Для определения закона распределения реализуется статистический эксперимент, при котором многократно вычисляется достаточная статистика (2) при подаче на вход реализаций шума (1). Полученные значения статистики используются для построения вариационного ряда, который записывается в виде таблицы частот в пределах между минимальным и максимальным экстремальными значениями с разбиением на заданные интервалы [1, c. 136]. Графически вариационный ряд можно представить в виде полигона частот (гистограммы), т. е. количества попаданий значений статистики в заданные интервалы, отнесенных к объему выборки.

Рис. 2. Полигон частот выборки значений достаточной статистики по шуму

По виду полигона частот делается предположение о виде распределения достаточной статистики. В рассматриваемом случае статистики (2) предполагается, что она распределена по закону Рэлея:

, , (3)

где — параметр масштаба, определяемый дисперсией статистики.

На основании этого реализуется проверка статистической гипотезы по критерию согласия Пирсона [1, с.149].

Статистика критерия вычисляется по формуле:

, (4)

где –частоты попадания значений выборки в i-ый интервал);

–теоретическая вероятность попадания случайной величины, распределенной по предполагаемому закону, в i -ый интервал.

Теоретическая вероятность попадания случайной величины рассчитывается по формуле:

, (5)

где — значение статистики в середине i-го интервала;

— теоретическая плотность вероятности статистики в i-ом интервале, полученная по формуле (3) и оценке параметра распределения , рассчитанной по выборке размерностью N.

Очевидно, что чем меньше разница между и , тем меньше величина критерия . Тем ближе эмпирическая плотность распределения к теоретической. Поэтому вычисленное значение критерия (4) сравнивается с критическим , которое определяется уровнем значимости α и числом степеней свободы

, (6)

где L — количество интервалов разбиения;

r — количество параметров предполагаемого распределения.

Для выбранного закона распределения Рэлея r=1, при L=10, .

Критическое значение табулировано, и равно 15,5 при заданных и уровне значимости .

Текущее значение вычисляется по (4), с учетом значений, полученных по формулам (3,5) при ширине интервала 0.06. Для указанных значений параметров и размерности N=2000 получаем .

Таким образом, , следовательно нулевая гипотеза H0 о подчинении статистики закону распределения Рэлея не отвергается при уровне значимости .

Эмпирическая и теоретическая плотности распределения статистики по шуму при определенных выше условиях показаны на рис. 3.

Рис. 3. Эмпирическая и теоретическая плотности распределения статистики

2. Расчет порога обнаружения

В соответствие с известным критерием Немана-Пирсона [2, c. 84] качество обнаружения оценивается по величине условной вероятности правильного обнаружения при фиксированном значении условной вероятности ложной тревоги , которая в свою очередь рассчитывается по известной плотности распределения достаточной статистики и заданному порогу обнаружения [2, c.100]:

, (7).

В рассматриваемом случае соответствует выражению (3), из которого методом обратной функции может быть получено выражение для порога (рис. 3). Он зависит от установленного значения , оценки параметра распределения , полученной по имеющейся выборке значений статистики и имеет следующий вид:

, (8).

Следует отметить, что значения задаются достаточно малыми (10–3÷10–8), поэтому оценка должна производиться при размерности выборки не менее величины обратной значению . На практике, современные мощности вычислительных средств позволяют работать с большими объемами данных, поэтому для повышения точности оценок N _выб выбирается из условия:

, (9).

Выводы

Таким образом, расчет порога принятия решения для оценки показателей качества обнаружения может производиться по изложенной выше методике на основании выборки достаточной статистики ограниченной размерности, с использованием методов проверки статистических гипотез при заданном значении условной вероятности ложной тревоги и полученной оценки параметра закона распределения. Данная методика применима для любых законов распределения и с успехом применяется авторами в процессе своей научной работы в области радиолокации и радиопеленгации.

Литература:

1. Вентцель, Е. С. Теория вероятности / Е. С. Вентцель. — М.: Наука, 1969. — 576 с. — Текст: непосредственный.
2. Теоретические основы радиолокации / Под ред. Ширмана Я. Д. Учебное пособие для вузов — М.: Советское радио, 1970. — 560 с. — Текст: непосредственный.