Свойства решений многоточечной задачи интегродифференциального уравнения Барвашина с частной производной второго порядка



В работе [1] рассматривализадачи :

Доказали однозначную разрешимость.В данной работе рассматриваем следующую задачу:

где

и находятся достаточные условия однозначной разрешимости.

1. Задача однозначной разрешимости (1),(2)

Теорема 1. Пустьфункции

удовлетворяют условию

где L ₁ ,L ₂ = const ≥ 0,

где

.

Если сушествует удовлетворяюший неравенству

, (4)

тогда задача (1), (2) имеет единственное решение U(x,t) в области D вместо непрерывной U _tt

Доказательство . Легко можно доказать, что задача (1), (2) эквивалентна интегральному уравнению:

Правую часть этого уравнения обозначим через оператор Ф.

.

Очевидно, что : . Для доказательства теоремы нам надо доказать сжимаемость оператора Ф. Для имеем:

Используя норму

получим:

где

Доказательство теоремы следует из принципа сжимающих отображений.

2. Непрерывная зависимость решения от параметров.

В этом пункте рассматривается следующая задача:

С условием (2), где параметры.

Теорема 2. Пусть, функции удовлетворяют условию (3) и

где .

Если существует , удовлетворяющая неравенству (4), тогда единственность решения задачи (5),(2) непрерывно зависит от параметров.

Доказательство . При фиксированных параметрах однозначной разрешимости задача (5), (2) доказана в теореме 1. Для доказательства теоремы 2 достаточно доказать непрерывную зависимость решения от параметров. Задача (5), (2) эквивалентна следующему интегральному уравнению:

Обозначим через и решение уравнения (6), соответствующее параметрам: и .

Используя условие теоремы 2, из (7) имеем:

Отсюда следует утверждение теоремы 2.

Литература:

1. Клатвин А. С., Клатвин В. А. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение Барвашина с частной производной второго порядка //Международная конференция ,,Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-VI” Ростов-на-Дону, 24–29 апреля 2016г.