Текстовые задачи — инструмент педагога в обучении математике



«Решение задач — практическое искусство подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь … если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их», — утверждал Д. Пойа.

В эпоху цифровой трансформации всех сфер человеческой деятельности невозможно стать образованным современным человеком без математической подготовки. Это обусловлено тем, что в наши дни растёт число профессий, связанных с непосредственным применением математики: и в сфере экономики, и в бизнесе, и в технологических областях, и даже в гуманитарных сферах.

Одновременно с расширением сфер применения математики в современном обществе всё более важным становится математический стиль мышления, проявляющийся в определенных умственных навыках. В процессе изучения математики в арсенал приёмов и методов мышления человека естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений, правила их конструирования раскрывают механизм логических построений, способствуют выработке умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике и в формировании алгоритмической компоненты мышления и воспитании умений действовать по заданным алгоритмам, совершенствовать известные и конструировать новые, развивать творческую и прикладную стороны мышления. Этого всего можно достичь в процессе решения текстовых задач — важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой обучающимися усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления.

Решая математические задачи, обучающиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески, умение видоизменять заданную ситуацию с целью создать условия применимости того или иного метода, приема; умения выделять и накапливать потенциально полезную информацию; умения конструировать на базе данной задачи новые; умения осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения.

С помощью тестовых задач обучающиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практико-ориентированных задач, реализуя тем самым формирование функциональной грамотности. Использование исторических задач, разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащает опыт мыслительной деятельности, но и позволяет осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Таким образом роль текстовых задач при обучении математике чрезвычайно велика, поэтому они являются важным инструментом педагога при обучении математике. С помощью решения текстовых задач можно также решить проблему мотивационного характера, о которой говорится в Концепции развития математического образования в Российской Федерации.

Если мы научим обучающихся решать задачи — мы не только повысим интерес к самому предмету, но и окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.

Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Навыки решения текстовых задач закладываются еще в начальной школе. Решение несложных текстовых задач арифметическим способом развивает сообразительность, умение анализировать предлагаемые ситуации, позволяет не только находить главный вопрос, но и определять порядок выполнения действий для получения необходимого результата. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5–6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.

В рабочей программе основного общего образования говорится, что освоение учебного курса «Математика» основной школы должно обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:

Решение текстовых задач

– Решать текстовые задачи арифметическим способом; использовать краткие записи, таблицы, схемы, чертежи, другие средства представления данных при решении задач.

– Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость; производительность, время, объёма работы, используя арифметические действия, оценку, прикидку; пользоваться единицами измерения соответствующих величин.

– Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отношением величин, пропорциональностью величин, процентами; интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных со свойствами рассматриваемых объектов.

– Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.

– Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.

– Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.

– Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий).

Таким образом, умение решать задачи — один из основных показателей глубины освоения учебного материала, уровня математического развития обучающихся. Научиться решать текстовые задачи очень важно, так как, зная подходы к решению текстовых задач, обучающиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах (физике, химии, биологии, информатике и др.) и повседневной жизни. Через решение текстовых задач формируется жизненная позиция обучающегося как активной, самостоятельной личности, формируются ключевые компетенции — универсальная целостная система знаний, умений, навыков, опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности.

Отдельная задача может нести в себе различную информацию из различных областей знаний, расширять кругозор, воздействовать на познавательные возможности, может нести эстетическую нагрузку, формировать творческие способности. Решение задач способствует воспитанию таких качеств личности, как настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, приучает к самоконтролю, формирует познавательный интерес, помогает научиться вырабатывать и отстаивать свою точку зрения, воспитывать достоинство личности. В процессе решения текстовых задач у обучающихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений. Решение задач формирует у обучающихся умение планировать свою деятельность, внимательно воспринимать учебную информацию, мотивировать каждый шаг деятельности, рационально оформлять результаты своих действий, осуществлять самоконтроль С помощью текстовых задач можно формировать важные общеучебные умения, связанные с анализом текста (читательскую грамотность), выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ.

Так что же собой представляет текстовая задача?

Текстовая задача — есть описание некоторой ситуации (процесс, событие, явление) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

В структуре любой текстовой задачи выделяют объекты задачи (процесс, явление), условия и требования (вопрос задачи). Условия и требования взаимосвязаны. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с требованием (вопросом) задачи и, наоборот, требование(вопрос) задачи анализировать с условием. Чаще всего выделяют такие группы текстовых задач, как задачи «на движение», «на работу», «на проценты», «на части», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на время», «на покупку и продажу» и т. п.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический, но есть и практический, логический, геометрический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».

Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. п.).

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов. В этом случае считают, что задача решается комбинированным методом.

Методы решения могут быть разными, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Хорошо известны выдвинутые Д. Пойа этапы решения задач:

1) Анализ задачи (содержательный и логический).

Схематическая запись условия (с помощью таблицы, математической символики, чертежей …);

2) Поиск способа решения, нахождение теоретической базы решения;

3) Осуществление способа (плана) решения;

4) Проверка найденного решения. Исследование задачи и найденного решения. Формулирование ответа задачи;

5) Учебно-познавательный анализ задачи и её решения.

Для решения текстовых задач мною, совместно с обучающимися, был составлен следующий алгоритм решения любой задачи: 1) внимательно читаем задачу(представляем то, о чём говорится в задаче); 2) анализируем текст: выделяем что дано(условие) и что надо найти (требование); 3) составляем краткую запись; 4) обдумываем и составляем план решения (математическую модель — уравнение); 5) решаем задачу (осуществляем план решения: выполняем арифметические действия или решаем составленное уравнение); 6) возвращаемся к вопросу задачи; 7) выполняем проверку; 8) записываем ответ.

Каждый этап решения задачи очень важен для достижения результата.

Иногда очень полезно решить задачу разными способами, сравнить их и обсудить «плюсы» и «минусы» каждого.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1 . Фермеры собрали 850 кг капусты, картофеля — в 2 раза больше, а моркови — на 300 кг больше, чем капусты. Найдите массу овощей, которые собрали фермеры.

Решение. Условие задачи можно записать несколькими способами. В данном случае наиболее удобна словесная форма записи:

Разобраться в содержании задачи, определить, что дано и что необходимо найти (обсуждение от условия к вопросу и/или от вопроса к условию), выбрать способ и составить план решения задачи, можно через проблемный диалог с обучающимися, задав вопросы и получив на них ответы. При решении задачи обязательно объясните, почему решаете так, а не иначе.

Выстроим план решения задачи:

1. Найдем, сколько картофеля собрали.
2. Найдем, сколько собрали моркови.
3. Найдем, сколько всего собрали овощей.

После применяем план, то есть решаем задачу.

1) 850 ∙ 2 = 1700 (кг) — собрали картофеля

2) 850 + 300 = 1150 (кг) — собрали моркови

3) 850 + 1700 + 1150 = 3 700 (кг) или 3т700кг — всего собрали.

Ответ. 3т700кг.

После решения задачи прочитайте снова текст задачи и проверьте, все ли требования задачи выполнены, правильно ли. Какой пункт в решении задачи будет последним? (работа над задачей заканчивается проверкой ее решения: ответ задачи должен быть проанализирован) Этап — проверка найденного решения задачи, очень важен. Обучение проверке решения задач представляет собой полноценный этап в обучении детей решению задач. Оно должно быть специально организовано, проводиться целенаправленно и систематически. Причем на первых этапах обучения решению задач, когда у обучающихся еще недостаточно сформированы навыки контроля и самоконтроля, имеет смысл предлагать им после решения задачи проверить, правильно ли она решена. Для проверки правильности решения задачи можно предложить обучающимся составить новую задачу, где полученный результат будет одним из данных задачи. Решить её. Сделать соответствующий вывод (если числовые значения совпадут, то задача решена верно). В этом примере формируется умение выделить в тексте сведения, необходимые для решения задачи, определить цепочку промежуточных целей с учетом возможного итога, составлять план последовательности в работе, применять схемы, модели для получения конечного результата, осуществлять самопроверку, контролировать свои действия.

Задача 2 Медь составляет 28 % массы детали, железо — 56 %, а никель — остальные 144г. Найдите массу детали.

Решение. Данную задачу можно предложить решить двумя способами: арифметическим и алгебраическим и сравнить их.

Составляем краткую запись: Медь — 28 % всей детали

Железо — 56 % всей детали

Никель — 144г.

Деталь -? г

Арифметический способ.

1) 28 + 56 = 84 % — всей детали составляют медь и железо

2) 100–84 = 16 % — всей детали составляет никель

3) 144 г — 16 %; 144: 16  100 = 900(г) — масса детали.

Ответ. 900 г.

При решении арифметическим способом отрабатывается алгоритм нахождения числа по его проценту. Решая задачу алгебраическим способом — умение приводить подобные слагаемые, решать уравнение. Проверку правильности решения можно осуществить, найдя массу каждого металла, а затем массу всей детали или составив и решив обратную задачу.

Особое внимание уделяется задачам на движение. Краткую запись удобно делать или схемой, или с помощью таблицы. Соблюдая алгоритм решения приходим к интересующему нас результату, используя формулу S = vt.

Задача 3 . С аэродрома вылетели в 8 часов одновременно два вертолета в противоположных направлениях. В 11 ч. между ними было уже расстояние 3540 км. Первый летел со скоростью 620км/ч. С какой скоростью летел второй вертолет?

Решение. Из условия можно легко определить время, за которое вертолеты преодолеют вместе расстояние в 3540 км.

11–8 = 3(ч) — время полёта вертолёта

	Расстояние	Скорость	Время
1 вертолёт	3540 км	620 км/ч	3 ч
2 вертолёт		? км/ч	3ч

Алгебраический способ

Пусть х — скорость второго вертолета. Составим и решим уравнение.

3(620 + х) = 3540. Получаем х = 560 (км/ч) — скорость второго вертолёта.

Арифметический способ .

1) 620  3 =1860 (км) — расстояние, пройденное первым вертолетом.

2) 3540–1860 =1680 (км) — расстояние, пройденное вторым вертолетом.

3) 1680: 3 = 560 (км/ч) — скорость второго вертолета.

Ответ: 560км/ч.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть ту, которая не нужна для выполнения требования задачи. На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований.

Такие задачи очень полезно решать на уроке. При анализе условия задач с избытком(недостатком) данных, выяснить почему задача не имеет решения. Можно также предложить обучающимся изменить условие (убрать или добавить данные) или сформулировать вопрос для «лишних» условий.

На уроках также полезно составлять задачи по краткой записи или модели (уравнению, схеме). Это развивает воображение, способствует осознанному усвоению материала. Можно при составлении задач использовать приём «Реставратор» (например, восстановление условия, заляпанного кляксами). Полезно предлагать обучающимся составлять задачи по учебному материалу других школьных предметов, показывая тем самым, что математика является инструментом для познания мира.

Задачи играют большую роль в реализации воспитательного потенциала.Подбирая специальным образом задачи, можно осуществлять и нравственное, и экономическое, и экологическое и другое воспитание. При составлении задач, способствующих военно-патриотическому воспитанию обучающихся, можно использовать технико-эксплуатационные характеристики нашей военной техники и сопоставлять их с соответствующими показателями техники противника. Математический материал, который заложен в учебниках и банке задач по формированию математической грамотности, даёт большие возможности для экономического воспитания подрастающего поколения. Решение задач различными способами — первый шаг к эстетическому восприятию математики.

Подводя итог можно сказать, что текстовые задачи являются одним из основных и эффективных инструментов обучения математике, реализующих цель образования, связанную с формированием инициативной, творческой личности, большое значение имеют и в воспитании обучающихся. Роль текстовых задач в процессе обучения математике разнообразна, и она сводится главным образом к следующим функциям: служит усвоению математических понятий и отношений между ними; обеспечивают усвоение обучающимися специфических понятий, входящих в предметную область задач; способствует более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости; повышают вычислительную культуру обучающихся; учат обучающихся применению такого метода познания действительности, как моделирование; способствуют более полной реализации межпредметных связей; развивают у обучающихся способность анализировать, рассуждать, обосновывать; развивают логическое мышление обучающихся; развивают познавательные способности обучающихся через усвоение способов решения задач; формируют универсальные качества личности, такие как привычка к систематическому интеллектуальному труду, стремление к познанию, потребность в контроле и самоконтроле; прививают и укрепляют интерес обучающихся к математике; осуществляют предпрофильную и профильную подготовку обучающихся. Поэтому важно, чтобы учитель знал, что такое текстовая задача и умело применял её при обучении своих учеников математике.

Литература:

1. Математика (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС основного общего образования:методическое пособие для учителя / Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В. и др.; под ред. Л. О. Рословой. М.: ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО», 2022. 143 с.: ил.
2. Методика работы с текстовыми задачами на уроках математики в условиях реализации ФГОС: учеб. пособие / сост. Т. В. Захарова, А. И. Пеленков, Е. Н. Яковлева, Т. В. Качурина, Т. В. Котова. — Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2017. — 102 с.
3. Рабочая программа ООО МАТЕМАТИКА (базовый уровень) (для 5–9 классов образовательных организаций) протокол 3/21 от 27.09.2021 r., Москва 2021
4. Д. Пойа Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959г. — 208с.
5. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов/ Г. И. Саранцев. — М.: Просвещение, 2002. — 224с. https://www.mathedu.ru/text/sarantsev_metodika_obucheniya_matematike_v_sredney_shkole_2002/p2/
6. Стойлова Л. П. Теоретические основы начального курса математики: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. Образования / Л. П. Стойлова. — М.: Издательский центр «Академия», 2014. — 272с.
7. С. Е. Царёва Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников. — Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1998 г. — 136 с.