1  Введение

 Для выполнения поверки координатно-измерительных машин (КИМ) в соответствии с методикой [1] необходимо закреплять концевые меры длины в рабочем пространстве КИМ в различных положениях. При применении мер длиной до 0.5 метра для этой цели используется сварной или цельнометаллический треугольник с отверстиями, закреплённый в необходимом положении на столе КИМ, и на который устаналиваются меры. Такая конструкция является очень жёсткой и широко используемой при проведении поверок КИМ.

 Согласно методике поверки [1] необходимо, чтобы длина концевой меры составляла не менее 0.8 от максимальной длины рабочего пространства КИМ. Т.е. при поверке больших координатно-измерительных машинах возникает необходимость применения концевых мер длины свыше 0.5 метра, что приводит к сложностям использования и невозможности использования вышеописанного приспособления.

 В данной статье выполнен анализ деформации приспособления под действием усилия, возникающего при ощупывании концевой меры длины, закреплённой в приспособлении, на координатно-измерительной машине. Схема нагружения представлена на рисунке 1.

Рис. 1: Схема.

2  Уравнение прогиба стержня приспособления

 Определим прогиб стержня, жёстко закреплённого одним концом, под действием силы F перпендикулярной его оси. Для этого запишем формулу Эйлера [3, стр.276]:

                                                                                                                  (1)

 В данном случае  = , где x - координата вдоль оси стержня (рис. 1). Для нахождения прогиба подставим  в (1) и дважды проинтегрируем по . После первого интегрирования получим:

 После второго интегрирования уравнение примет вид:

 По рис.1 задаём граничные условия  =  и  =  и находим значения констант  и :

 Окончательно формула прогиба примет следующий вид:

 Прогиб у вершины стержня, в точке приложения силы, будет равен:

                                                                                                              (2)

3  Модуль упругости стержня

 В качестве материала стержня возможно применение стали и алюминия. Справочные значения модулей упругости приведены в таблице 1.

Таблица 1: Модули упругости

4  Осевой момент инерции

Рис. 2: Сечение.

 Рассмотрим кольцевое сечение стержня рис.2, с наружным и внутренним радиусами  и . Сначала определим полярный момент инерции для произвольного сечения радиусом  и шириной  по формуле [2, стр.112]:

                                                                                                                          (3)

 Принимая во внимание, что площадь  можно представить в следующем виде:

получим следующую формулу для вычисления полярного момента инерции:

 Для определения осевого момента инерции воспользуемся зависимостью: . Окончательной будем иметь:

                                                                                                          (4)

 Частным случаем является использование стержня сплошного сечения ( = ), тогда формула (4) примет вид:

5  Расчёт прогибов

 Произведём расчёт прогибов стержней различной формы сечения и изготовленных из различного материала. Рассмотрим четыре случая: два различных сечения изготовленные из двух различных материалов.

5.1  Кольцевое сечение

 Примем  =  мм,  =  мм. Подставляя эти величины в формулу (2) вычислим прогибы кольцевого стержня различной высоты. Результаты приведены в таблицах 2 и 3.

Таблица 2: Кольцевое сечение. Материал - сталь. 

Таблица 3: Кольцевое сечение. Материал - алюминий.

5.2  Сплошное сечение

 Примем  =  мм,  =  мм. Подставляя эти величины в формулу (2) вычислим прогибы сплошного стержня различной высоты. Результаты приведены в таблицах 4 и 5.

Таблица 4: Сплошное сечение. Материал - сталь.

 Таблица 5: Сплошное сечение. Материал - алюминий.

6  Выводы

 Алюминиевый стержень кольцевого сечения имеет слишком большие значения прогиба и дальнейшее его рассмотрение в качестве основы для приспособления для закрепления концевых мер нецелесообразно.

 Построим график (рис.3), характеризующий зависимость величины прогиба от высоты стержня. Для наглядности на графике прямыми линиями показана величина погрешности координатно-измерительной машины Carl Zeiss PRISMO 10 S-ACC ( =  мкм) (верхняя прямая) и  этой величины (нижняя прямая).

Рис. 3: Зависимость величины прогиба от длины стержня.

Список литературы

[1] МИ 2569-99 Машины координатно-измерительные портального типа. Методика поверки. Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Метрологической Службы (ВНИИМС) Госстандарта России, Москва, 1999.

[2] Александров А.В, Потапов В.Д, Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1976 г.

[3] Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976 г.

[4] Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ, 2008. 992с.

[5] Голубев Э.А. Сопоставление различных подходов к оценке неопределённости измерений. // Измерительная техника. №3, 2008. С. 6-9

[6] Estler W.T., Phillips S.D., Borchardt B., Hopp T., Witzgall C., Levenson M., Eberhardt K., McClain M., Shen Y., Zhang X. Error compensation for CMM touch trigger probes. // Precision Engineering. Vol. 19, №2, October 1996, pp. 85-97(13).

[7] Cauchick-Miguel P.A., King T.G. Factors which influence CMM touch trigger probe performance. // International Journal of Machine Tools and Manufacture. Vol. 38, №4, March 1998, pp. 363-374(12).

[8] Woniak A., Dobosz M. Metrological feasibilities of CMM touch trigger probes. Part I: 3D theoretical model of probe pretravel. // Measurement. Vol. 34, Issue 4, December 2003, pp. 273-286.

[9] Woniak A., Dobosz M. Metrological feasibilities of CMM touch trigger probes. Part II: Experimental verification of the 3D theoretical model of probe pretravel. // Measurement. Vol. 34, Issue 4, December 2003, pp. 287-299.