Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектра модели Фридрихса [1–3].
Введем оператор 
модели Фридрихса, действующий в 
, как
,
где операторы 
и 
определяются по правилам
,
.
Здесь 
–положительное действительное число, а функция 
имеет вид
,
.
При этих предположениях оператор
является ограниченным и самосопряженным в .
В настоящей работе изучаем некоторые спектральные свойства модели Фридрихса .
Возмущение 
оператора 
является самосопряженным одномерным оператором. Из известной теоремы Вейля [4] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр 
оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что
,
где числа 
и 
определяются равенствами
,
.
Следовательно,
.
Пусть 
–комплексная плоскость. Для любого 
определим аналитическую функцию 
(детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором ):
.
Теперь установим связь между собственными значениями оператора
и нулями функции .
Теорема 1. При каждом фиксированном оператор имеет собственное значение 
тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. Пусть число есть собственное значение оператора , а 
–соответствующая собственная функция. Тогда функция 
удовлетворяет уравнению
. (1)
Заметим, что для любых 
и 
имеет место соотношение 
. Тогда из уравнения (1) для имеем
, (2)
где
. (3)
Подставляя выражение (2) для в равенства (3), получим, что уравнение (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
,
т. е. когда
.
Теорема 1 доказана.
Из теоремы 1 вытекает следующее:
.
Из определения функции видно, что при всех 
имеет место неравенство 
. В силу теоремы 1 это означает, что для любого оператор не имеет собственных значений в интервале 
. Из монотонности функции в интервале 
имеем, что для любого оператор имеет не более одного собственного значения в интервале . Если 
при некотором 
, то оператор 
имеет единственное простое собственное значение в интервале 
.
Литература:
- Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды мат. инс-та АН СССР, Т. 73, М.: Наука, 1964, С. 292–313.
- Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. ТМФ, 1979, Т. 2, № 2. С. 230–243.
- Е. М. Дынкин, С. Н. Набако, С. И. Яковлев. Границы конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. Т. 3, № 2, 1991, С. 77–90.
- М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
