Наиболее быстрым способом строительства ледовых речных переправ традиционно является замораживание мелко дробленого льда в ледяной воде. Экспериментально нами установлено, что более прочен ледовый настил из круглозернистого гранулята, получаемого в кипящем слое [1].

В работах [1,2] показано, что охлажденная сферическая гранула льда адиабатически намораживает на своей поверхности слой льда, движение наружной границы которого соответствует условиям одномерной однофазной задачи Стефана [3-5] с заданием постоянной температуры на границе фазового перехода, предложена математическая модель и алгоритм численного решения краевой задачи с подвижной границей фазы, найдена зависимость кинетики роста толщины намораживаемого слоя от времени и функция зависимости максимально возможного радиуса гранулы льда от его начальной температуры, и закон изменения температуры внутри гранулы в процессе намораживания льда.

В данной статье на основе математического моделирования рассматривается элементарный акт адиабатического смерзания двух ледяных шаров с целью определения его кинетических характеристик и последующего построения обобщенной модели для всего слоя из круглозернистого гранулята.

Процесс смерзаемости двух гранул в ледяной воде сопровождается как теплообменом – передачей тепла от воды льду, так и внешними признаками – «обрастанием» ледяных гранул оболочкой изо льда с образованием фигуры с быстро растущей перемычкой между гранулами. Граница лед-вода фигуры подвижная. Во времени динамично меняются не только ее размеры, расстояния точек границы фигуры от центров гранул и продольной ее оси симметрии, но и форма, угол и радиус закругления щели между шарами.

В однофазном варианте математическая модель смерзания двух шаров льда (рис. 1 и 2) представляет собой следующую начально-краевую задачу:

(1)

Рис. 1Рис. 2

В задаче (1) температура Т определяется из уравнения теплопроводности  , где с – коэффициент теплоемкости, k – коэффициент теплопроводности, - плотность вещества.

граничные условия, начальное условие. Фазовый переход сопровождается выделением (или поглощением) определенного количества тепла. Поэтому тепловой  поток на границе фазового перехода разрывен и определяется величиной . Здесь - энтальпия фазового перехода, а - скорость движения границы фазового перехода по нормали. Из симметричности данных будем рассматривать задачу для  правой части верхней гранулы. Рассматриваемая задача Стефана (1) может  быть записана в виде одного общего уравнения теплопроводности во всей области [5]:

  (2)

В уравнении (2) - дельта – функция.

Коэффициенты  теплоемкости и теплопроводности разрывны и имеют вид:

      (3)

Простейший подход к приближенному решению задачи Стефана  в формулировке (2) – (3) состоит в том, что коэффициенты уравнения (2) сглаживаются, то есть совершается переход  к обычной задаче теплопроводности.

В уравнении (2) теплоемкость с(Т) и слагаемое входят одинаковым образом. Заменим - функцию некоторой функцией , которая отлична от нуля только внутри интервала сглаживания , и введем эффективную сглаженную теплоемкость

,

При условии сохранения баланса тепла на [-Δ, Δ] используем параболическую аппроксимацию

, где .

Проведем также сглаживание коэффициента теплопроводности k(T):

Здесь коэффициенты теплопроводности для льда и воды соответственно.

Осуществим переход к безразмерным переменным, начиная с выбора характерных значений в модели. В качестве масштаба измерения пространственной переменной можно взять длину радиуса L — линейный масштаб. Используя для безразмерных переменных те же обозначения, что и для размерных, но со штрихом, имеем , где — безразмерная переменная. В качестве масштаба температуры можно взять абсолютное значение начальной температуры: ,  где — безразмерная температура. Аналогично пусть , где характерный масштаб времени t₀ пока не определен. В результате  получили следующую замену:

;     ;    

Подстановка в уравнение (2) приводит к уравнению в безразмерных переменных:

или  

Если , то

Параметр L выберем так, чтобы начальный шар имел единичный радиус (L=R).

  ; ; 

В итоге,  получим:

Запишем задачу  в цилиндрической системе координат:

Будем решать задачу с осевой симметрией, то есть решение не будет зависеть от угла φ (в цилиндрической системе координат (). Через 3R обозначены границы воды.

Так как L=R, то в твердой фазе:

;

;    ;

Где - коэффициент теплоемкости в новых переменных.

Следовательно, в новых переменных:

(4)

     (5)

  (6)

Для численного решения задачи (4)-(6) использовались локально-одномерные неявные разностные схемы. При этом  итоговые системы линейных алгебраических уравнений решались методом прогонки. Результаты численных оценок размеров перемычек согласуются с результатами эксперимента, графики эмпирических зависимостей роста размеров перемычек S_n от размеров диаметров шаров d_n приведены на рис. 3. Здесь n=0, 1, ..., 12 – число погружений на 60 сек., каждое с перерывами для сушки на 1 час. Аналитической аппроксимацией этих графиков могут служить соотношения:

d_n = 25 + ,    S_n = 8,286 · n^0.577,       n[0;12](7)

Рис. 3. Графики зависимости роста диаметров d_n шаров и перемычки S_n от числа погружений n (по 60 сек.).

Список использованных источников

1. Математическая модель намораживания гранул льда для  ледовых переправ в  виде задачи Стефана / А.С. Ащеулова, A.А. Храпов, В.В. Рагулин, В.И. Полтавцев // Бурение и нефть. - 2007 -№4 - с.17-19.
2. Задача Стефана для адиабатического намораживания воды холодом гранул / А.С. Ащеулова, А.А.  Храпов, B.В. Рагулин, В.И. Полтавцев // Вестник КрасГАУ. -2007. -№1.-с.26-30
3. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. – Рига: Звайгзне, 1967. – 457с.
4. Мейрманов A.M. Задача Стефана. - Новосибирск: Наука, 1986
5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003