Решение практических задач — это целая система последовательных действий. Но существуют различные приёмы, которые помогут значительно упростить само решение и не запутаться при подсчётах.
Начнём с самых распространённых задач — задач на проценты. В них важна строгая последовательность. Я хочу представить способ, который точно поможет при решении.
Пример задачи: Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 5 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 рублей?
Решение:
Вначале вспомним, как максимально сократить запись о начислении процентов на сумму х.
= 
*
= 1,2*х
Чтобы не запутаться в процентах, нарисуем схему, где каждая вертикальная черта — начисление процентов, а каждая стрелка — выплата очередного платежа. Первый год по условию семья не делает выплат.
После последнего платежа мы должны выйти в ноль.
Преобразуем схему, добавив в неё числа.
Получаем уравнение
(((1,2*х+810000) *1,2–810000)*1,2–810000)*1,2–810000=0
2,0736*х-1399680–1166400–972000=810000
После проведения всех подсчётов получаем:
х=2’096’875руб. — сумма, которую может выдать банк семье Ивановых.
Следующие задачи, которые требуют особого внимания при подсчётах — задачи на доли и соотношения.
Пример задачи: Руководитель компании А решил распределить премиальный фонд за январь между тремя сотрудниками в соотношении 8:5:4, но в итоге распределил тот же самый фонд в соотношении 7:7:6 между теми же сотрудниками. В результате третий сотрудник получил на 22000 рублей больше, чем получил бы согласно первоначальным условиям. Определите сумму фонда за месяц (в рублях).
Решение:
Применим формулу, чтобы записать для одного из сотрудников его часть по отношению к остальным: 
, где
— соотношение частей
A — некоторая целая величина (в нашем случае это сумма фонда), которая делится в соотношении
Пусть х — сумма фонда за месяц, тогда:
=
— должен был получить третий сотрудник
=
— получил третий сотрудник.
Составим уравнение для разницы, т. к. по условию она составляет 22000 руб.
= 22000 или 
= 22000 или 
= 3740000, тогда
х=340 000 (руб) — сумма фонда.
Следующий вид задач — задачи на время. Основа решения заданий данного типа является в том, что время одного объекта необходимо выразить относительно времени другого объекта.
Пример задачи: Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут — мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое находятся на одном расстоянии от пункта В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
Решение:
I способ — составление системы, выражение величин из одного уравнения и подстановка их в другое уравнение. Это достаточно громоздкий вариант решения, который занимает много времени. Я не считаю нужным рассматривать его.
II способ
Обозначим место встречи пешехода, велосипедиста и мотоциклиста за пункт С, а расстояние, пройденное ими от А до С за 1. Тогда:
Т. к. по условию из С в В пешеход прибыл позднее мотоциклиста на один час, можно составить уравнение:
(t +150)*k-t*k=60 
k=
=
.
Тогда пешеход провёл в пути больше времени, чем велосипедист:
(150*k+k*t)-(30*k+ k*t)=120*k или 120*
= 48(мин)
Будем рассматривать график не с точки зрения скоростей, а с токи зрения геометрических фигур.
Пусть A||B||C, тогда
высоты треугольников DQE и DQF, проведённые из вершины Q, равны
и высоты треугольников RQT и SQT, проведённые из вершины Q, равны.
Треугольник так относится к треугольнику, как треугольник к треугольнику, т. к. отношения высот этих пар треугольников равны коэффициенту подобияn. Из этого следует
=
= n150*х=720 х=48(мин)
Как отличить задачи, в которых данный метод применим? Как было сказано раньше, главный ключ к решению задач про время — выражение времени одного объекта относительно времени другого. В нашем случае это значит, что все три прямые должны пересечься в одной точке. Но не все задачи подходят под это условие.
Пример задачи: Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Третья свеча была зажжена на час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая свеча и третья свечи стали одинаковой длины, а через 2 часа после этого одинаковой длины стали третья и вторая свечи. За сколько часов сгорает третья свеча, если вторая сгорает за 6 ч, а первая — за 4 ч?
Решение:
Построив график, мы увидели, что пересечения всех линий в одной точке нет. Это значит, что выразить участок одной прямой относительно двух других прямых будет проблематично.
Перейдём к методу с таблицей. Будем выражать время, когда свечи становятся одинаковой длины.
|
Время полного сгорания |
I и III одинаковой длины |
II и III одинаковой длины |
|
|
I свеча |
4 |
t |
|
|
II свеча |
6 |
t+2 |
|
|
III свеча |
х |
t+1 |
t+3 |
Из таблицы можно составить следующую систему:
Из второго уравнения выражаем х:
х = 
Подставляем в первое уравнение и находим t:
4t+4+
=6*t+18 |*t
4*
+4*t+8*t+8=6*+18*t
2*+6*t-8=0
t=1
Подставляем значение в x = 
Получаем x = 
=8(ч) — время сгорания третьей свечи.
Таким образом, мы рассмотрели несколько приёмов, которые помогут сократить и упростить решение практических задач, сократят время при подсчётах. Мы также научились оценивать текст задач и подбирать тип решения.
Литература:
- Математика ЕГЭ задачи с экономическим содержанием Учебно-методическое пособие ЛЕГИОН Ростов-на-Дону 2015 Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
- https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=232
- http://alexlarin.net/
