Библиографическое описание:

Усманов Ж. Б. О характеристике неподвижных точек одного класса p-адических нелинейных функций // Молодой ученый. — 2015. — №14. — С. 8-10.

Примерно через сто лет после открытия -адических чисел они в основном рассматривались в качестве объектов чистой математики. Начиная с 1980-х годов различные модели, описанные на языке -адического анализа, были активно исследованы и до сих пор исследуются. Многочисленные применения -адических чисел к теоретической физике были рассмотрены в работах [1], [2]. А также исследование -адических динамических систем имеет применения в диофантовой геометрии, в квантовой механике, в биологических и физических системах и во многих других направлениях науки(см. например [1], [3], [4]).

Пусть  — поле рациональных чисел. -наибольший общий делитель натуральных чисел  и . Каждое рациональное число  можно представить в виде

где -фиксированное простое число. -адическая норма  имеет вид

Она имеет следующие свойства:

1)       и  тогда и только тогда, когда ,

2)      ,

3)      ,

a.       Если , то ,

b.      Если , то .

Пополнение  по отношению к -адической норме определяет -адическое поле, которое обозначается через . Хорошо известная теорема Островского утверждает, что нормы  и  исчерпывают все неэквивалентные нормы на  (см. [5]). Любое -адическое число  может быть однозначно представлено в каноническом виде:

где  и , ,  (см. [5]).

Заметим, что в этом случае .

Пополнение алгебраического замыкания  обозначается через  и называется множеством комплексных -адических чисел. Для любого  и  обозначим

Функция  называется аналитической, если она может быть представлена в виде

Напомним некоторые определения из теории динамических систем (см. [6]). Если , то  называется неподвижной точкой.

Пусть  является неподвижной точкой аналитической функции .

Точка  называется притягивающей, если , независимой, если , и отталкивающей, если .

Пусть дана функция следующего вида

определенная на  и . Здесь  произвольная функция и

Решая уравнение  находим неподвижные точки следующего вида

                                                                                (1)

Допустим функция  на  имеет производную. Тогда

и с учетом (1) мы получим

                                               (2)

Далее введем следующие обозначения:

                                   (3)

где  неподвижная точкa.

Определим функции  следуюшим образом

 

 

Теорема. Пусть для неподвижных точек  имеет место  или . Тогда

1. Если   притягивающая точка, то   отталкывающая;

2.  и  одновременно будут независимыми.

Доказательство. Для доказательства теоремы при условии  или  достаточно доказать (см. [7]) следующее

  (4)

Из условия теоремы будем иметь

.

И обозначений (3) мы получим

.

Тогда

Отсюда, используя равенство (2), получим требуемое равенство (4). Теорема доказана.

 

Литература:

 

1.      A.Yu.Khrennikov, Non-Archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models, Kluwer, Netherlands, 1997.

2.      V. S. Vladimirov, I. V. Volovich and E. I. Zelenov, -adic Analysis and Mathematical Physics, World Scientific, Singapour, 1994.

3.      G.Call and J.Silverman, Canonical height on varieties with morphisms, Compositio Math. 89(1993), 163–205.

4.      E.Thiran, D.Verstegen and J.Weters, -adic dynamics, J.Stat. Phys. 54(3/4)(1989), 893–913.

5.      Коблиц Н., -адические числа, -адический анализ и дзета-функции. — М.:Мир, 1982, 192 с.

6.      H.-O.Peitgen, H.Jungers and D.Saupe, Chaos Fractals, Springer, Heidelberg-New York, 1992.

7.      F. M. Mukhamedov, U. A. Rozikov, On rational -adic dynamical systems. Methods of Func. Anal. and Topology. 2004, V.10, No.2, p. 21–31.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle