Библиографическое описание:

Баеков Ш. Г. Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней // Молодой ученый. — 2015. — №2. — С. 1-5.

В данной работе выведены формулы для объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней. Полученные формулы могут быть использованы для решения различных задач, в частности при n=2 и n=3 в школьном курсе геометрии.

 

Для нахождения площади треугольника, стороны которого заданы уравнениями где  известна формула

,                                                                                                             (1)

где , а - алгебраическое дополнение элемента . [1, c. 54]

Лемма. Для невырожденной квадратной матрицы  порядка  выполняется следующее равенство

,

где - алгебраическое дополнение элемента

Доказательство. Используя невырожденность матрицы , получим:

Откуда следует:

Теорема 1. Пусть гиперграни n-мерного симплекса заданы уравнениями

,

тогда объем симплекса будет равен

                                                                                         (2)

где  и - алгебраическое дополнение элемента

Доказательство. Пусть – гипергрань симплекса в гиперплоскости, заданной уравнением  где , – вершины симплекса, причем для  выполняется условие

.

В частности для вершины получим:

Решая систему по формулам Крамера, найдем координаты вершины в виде:

.

Аналогично найдем координаты вершин, где :

.

Подставив координаты вершин, где , в известную формулу для объема n-мерного симплекса

,

получим:

.

Данное выражение преобразуем к более компактному виду:

Откуда, используя лемму и обозначения данной теоремы, получим искомую формулу (2):

или

Теорема 2. Пусть -гиперграни n-мерного параллелепипеда заданы уравнениями

где , причем, и параллельны между собой, тогда объем n-мерного параллелепипеда будет равен

                                                             (3)

где , где

Доказательство. Перейдем от координат  к новым координатам  по формуле:

.                                                                           (4)

Якобиан преобразования (4) имеет вид:

.

После преобразования (4) получим прямоугольный n-мерный параллелепипед, уравнения гиперграней  которого, имеют вид:

.

Объем этого параллелепипеда равен:

. (5)

Искомый объем и  связаны формулой:

.

Учитывая формулу (5), получим искомый объем  n-мерного параллелепипеда:

.

Полученные формулы (2) и (3) применяются при решении различных задач. Заметим, что применение формул (2) и (3) является более рациональным и избавляет от трудоемких вычислений по сравнению со стандартными методами решений.

Задача 1. Докажите формулу

для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

Задача 2. Докажите формулу

для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостями  и .

Решение. При n=3 вычислим определители :

 

найдем объем данной пирамиды по формуле (2) при n=3:

Задача 1 получается из задачи 2, при .

Задача 3. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостями , ,  и

Решение. Вычислим определители :

или

Найдем объем пирамиды по формуле (3) при n=3:

 или .

Задача 4. Вычислить объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями  , ,  и .

Решение. Применим формулу (3) при n=3, получим:

 или .

 

Литература:

 

1.                  В. А. Садовничий, А. С. Подколзин. Задачи студенческих олимпиад по математике. М.: Наука, 1978.

2.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/simplex

3.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/parallelepiped

4.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/Jacobian

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle