Библиографическое описание:

Махмудова Д. Х. Вероятность генотипов в n-м поколении // Молодой ученый. — 2014. — №1. — С. 33-35.

Пусть неизвестный генотип по одному признаку  скрещивается с доминантной особью, и его потомок опять скрещивается с доминантной и так далее. Надо найти распределение вероятностей каждого из возможных генотипов в -ом поколении (см.). Как известно, составлен таблица вероятностей перехода к возможным генотипам (различные строки — это вероятности возможных генотипов скрещиваемого, имеющим генотип , столбцы — возможные вероятности генотипов потомства):

1

0

0

0

0

1

0

Таблица означает, что генотип  при скрещивании с генотипом   даёт потомок с вероятностью 1,  с  даёт потомок  с вероятностью ,  с  даёт потомок  с вероятностью о и так далее (первый столбец).

Обозначим через , соответственно, вероятности генотипа  (доминантный),  (гитрозиготный),  (рецессивный),  и .

 являются исходными вероятностями неизвестной особи, соответственно.

Для получение вероятностей  в потомстве суммируем вероятности этого генотипа при различных возможных генотипах неизвестной особи (по столбцу таблицы). Для получение вероятности генотипа  в первом поколении берём вероятность получения этого генотипа при условии, что генотип неизвестной особи  , и прибавим вероятностной особи , т. е. . Тогда вероятность получения  в первом поколении при скрещивании равно .

Аналогично .

Для получения вероятностей следующего поколения мы воспользуемся с той же таблицы.

Получим: .

Поставляя значения , имеем

, , .

Аналогично, для –го поколения скрещивания с , имеем:

, , .

Отсюда следует теорема:

ТЕОРЕМА-1.

Если неизвестный особь скрещивается с особью с генотипом  и в результате вероятность того, что получается  равно:   , суммируя имеем:

.

Аналогично, вероятность того, что имеем генотип , равно

,

а для генотипа

.

Для второго поколения

,

,

.

Для -ного поколения скрещивания с  имеем

  .

Отсюда следует

ТЕОРЕМА-2.

Если неизвестный особь скрещивается с особью с генотипом  и в результате вероятность того, что в -ом поколении получается, соответственно, генотипы , ,  равно

 

Тогда имеет место:

ТЕОРЕМА-3.

В частности, при  приведем таблицу для .

n

1

2

3

d(n)

h(n)

r(n)

d(n)

h(n)

r(n)

d(n)

h(n)

r(n)

1

0,5

0,5

0

0,25

0,50

0,25

0

0,5

0,5

2

0,75

0,25

0

0,25

0,50

0,25

0

0,25

0,75

3

0,875

0,125

0

0,25

0,50

0,25

0

0,125

0,875

4

0,9375

0,0625

0

0,25

0,50

0,25

0

0,0625

0,9375

5

0,96875

0,03125

0

0,25

0,50

0,25

0

0,03125

0,96875

6

0,984375

0,015625

0

0,25

0,50

0,25

0

0,015625

0,984375

7

0,9921875

0,0078125

0

0,25

0,50

0,25

0

0,0078125

0,9921875

8

0,99609375

0,00390625

0

0,25

0,50

0,25

0

0,00390625

0,99609375

9

0,998046875

0,00195313

0

0,25

0,50

0,25

0

0,001953125

0,998046875

10

0,999023438

0,00097656

0

0,25

0,50

0,25

0

0,000976563

0,999023438

Заключение: Из таблицы видно, что неизвестный особь при скрещивание с  имеет вероятность , очень близкое единице, следовательно,  близко к нулю, если скрещивание происходит с , то  и  близки к , при скрещивании с   близко к нулю,   близко к единице.

Литература:

1.      Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики. Из. «Наука», М. 1968.

2.      Математика и естествознание, Из. «Просв»., М. 1969.

3.      Marek Kimmel, David E. Axelrod. Branching Processes in Biology. Springer. 2002.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle