Библиографическое описание:

Бешимова Д. Р. Слабо сепарабельные пространства // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 7-8.



Напомним, что семейство открытых подмножеств топологического пространства X называется базой этого пространства, если во всяком непустом открытом множестве U пространства X содержится некоторое непустое множество V, принадлежащее семейству .

Семейство подмножеств топологического пространства X называется сетью этого пространства, если во всяком непустом открытом множестве U пространства X содержится некоторое непустое множество множества .

Определение 1 [В. И. Пономарев]. Топологическое пространство X называется слабо сепарабельным, если существует база G, распадающаяся на счетное число центрированных систем открытых множеств, т. е. , где центрированная система открытых множеств любого .

Утверждение 1. Топологическое пространство X слабо сепарабельно тогда и только тогда, когда в Xсуществует сеть, являющаяся объединением счетного числа центрированных семейств множеств.

Доказательство. Необходимость вытекает из того, что всякая

база является сетью пространства X.

Достаточность. Пусть .сеть и каждое семейство центрировано. Положим открыто в и содержит некоторое Тогда очевидно, что семейство центрировано. Покажем, чтоесть база в X. Пусть непустое открытое множество в X. Тогда существует такое , что . Следовательно, по нашему определению . Таким образом, мы показали, что состоит из всех непустых открытых множеств в X. Утверждение 7.1 доказано.

Поскольку, одноточечные множества всюду плотного подмножества топологического пространства является его сетью, из утверждения 7.1 вытекает

Утверждение 2. Всякое сепарабельное пространство слабо сепарабельно.

Напомним, что пространство X удовлетворяет условию Суслина, если семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств пространства X счетно.

Утверждение 3. Всякое слабо сепарабельное пространство удовлетворят условию Суслина.

Доказательство. Пусть X — слабо сепарабельное пространство иего база, распадающаяся в сумму счетного числа центрированных систем . Возьмем произвольную дизъюнктную систему непустых открытых подмножеств пространства X. Определим отображениеφ:B следующим образом. Поскольку G- есть база пространства X для данного существует такое множество

A, что .Положим где (если существует несколько , для некоторых,то выберем одно из них). Таким образом, отображение определено. Оно является вложением. В самом деле, пусть , , . Тогда, в силу дизъюнктности системы имеем . Значит, в силу центрированности семейств , имеем , откуда . Итак, вкладывает множество В в счетное множество. Следовательно, всякая дизъюнктная система непустых открытых подмножеств пространства X счетна. Утверждение 7.3 доказано.

Утверждение 4. Для метрических пространств X следующие условия эквивалентны:

а) X — слабо сепарабельное пространство;

б) X — сепарабельное пространство.

Доказательство. Пусть метрическое пространство X слабо сепарабельно. В этом случае в силу утверждения 7.3 пространство X удовлетворяет условию Суслина. Тогда в силу следующей задачи N: 214 гл.11 работы [2]:

Метрическое пространство X сепарабельно в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет условию Суслина. Получаем, что пространство X сепарабельно. Импликация вытекает из утверждения 2. Утверждение 4 доказано.

Утверждение 5. Пусть всюду плотное подмножество в топологическом -пространстве , тогда .

Литература:

  1. Radul T. N. On the funtor of order-preserving functionals.//Comment.Math.Unif.Carol. 1998.V,39.No.3.P.609–615.
  2. Жиемуратов Р. Е. Топологические и категорные свойства пространства нелинейных -гладких функционалов. Канд. Дисс. Ташкент, ИМИТ, 2010, стр.69.
  3. Бешимов Р. Б. О слабой плотности топологических пространств // ДАН РУз. — 2000.–№ 11. — С. 10–13.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle