Библиографическое описание:

Матвеев Д. В., Смирнов А. И., Латыпов К. Ф. Исследование процесса цифровой обработки сигнала при работе с алгоритмом быстрого преобразования Фурье // Молодой ученый. — 2016. — №3. — С. 141-145.

 

Проведена оценка преобразования Фурье на примере цифровой обработки сигналов, построены графики и смеси сигнала с шумом, исследован спектр сигнала.

Ключевые слова: дискретное Преобразование Фурье, спектр сигнала, белый шум, импульс.

 

Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем , требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность . [1]

http://www.dsplib.ru/content/thintime/thintime_html_1db17868.gif

Рис. 1 Схема БПФ по основанию 2 с прореживанием по времени

 

Основой алгоритма, как видно по рис. 1, является «ДПФ N=2», именуемое операцией «Бабочка» [2], формула которой имеет следующий вид:

Y_1 = X_1 + X_2 \cdot W

Y_2 = X_1 - X_2 \cdot W(1)

где

Операция проста в реализации, но именно она определяет скорость работы алгоритма БПФ.

Алгоритм БПФ имеется во всех современных программных средах для решения технических задач. Например, в пакете прикладных программ MATLAB имеется готовая функция FFT. Её мы и будем использовать в данной работе.

Для того, чтобы оценить влияние широкополосного шума на спектр сигнала, используем следующий код в MATLAB:

clear all% Очистка памяти

Tm=5;% Длина сигнала (с)

Fd=512;% Частота дискретизации (Гц)

A1=1;% Амплитуда первой синусоиды

F1=13;% Частота первой синусоиды (Гц)

An=3*A1;% Дисперсия шума (Попугаев)

FftL=1024;% Количество линий Фурье спектра

T=0:1/Fd:Tm;% Массив отсчетов времени

Noise=An*randn(1,length(T));% Массившума

Signal=A1*sind((F1*360).*T);% Массивсигнала

FftS=abs(fft(Signal,FftL));% АмплитудыпреобразованияФурье

FftS=2*FftS./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде

FftS(1)=FftS(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей

FftSh=abs(fft(Signal+Noise,FftL));%FFT для смеси сигнал+шум

FftSh=2*FftSh./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде

FftSh(1)=FftSh(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей

subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения

plot(T,Signal);% Построение сигнала

title('Сигнал');% Подпись графика

xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения

plot(T,Signal+Noise);% Построение смеси сигнал+шум

title('Сигнал+шум');% Подпись графика

xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

F=0:Fd/FftL:Fd/2-1/FftL;% Массив частот

figure% Создаем новое окно

subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения

plot(F,FftS(1:length(F)));% Построение спектра Фурье сигнала

title('Спектр сигнала');% Подпись графика

xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения

plot(F,FftSh(1:length(F)));% Спектр сигнала+шума

title('Спектр сигнала');% Подпись графика

xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика

ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика

 

В результате получаем следующие графики:

Рис. 2. График сигнала (наверху) и смеси сигнала и шума (внизу)

 

Рис. 3. Спектр сигнала (наверху) и спектр смеси сигнала и шума (внизу)

 

Из полученных графиков видно, что несмотря на то, что полезного сигнала не видно на фоне шума, спектральная характеристика позволяет определить его частоту и амплитуду. Таким образом, преобразование Фурье устойчиво к белому шуму и позволяет выделить полезный сигнал на фоне весьма значительной помехи.

Рис. 4. Сигнал с неполным числом периодов (наверху) и полным (внизу)

 

Рис. 5. Спектры сигналов с рис. 4

 

Мы наблюдаем заметное расширение для 1-го сигнала (с неполным числом периодов). Причина этого в том, что мы задаем сигнал, ограниченный во времени, а для преобразования Фурье этот сигнал «продолжается» и считается непрерывным. Проиллюстрировать это следует так, как показано на рис. 6

Рис. 6

 

Скачок, выделенный на рисунке 6 и дает расширение спектра. Следует отметить, что этот скачок не приводит к появлению высокочастотной составляющей спектра, а напоминает по форме спектр импульса.

Таким образом можно сделать вывод о том, что при одинаковой частоте, но разном количестве временных отсчетов, мы получим аналогичное искажение спектра сигнала.

 

Литература:

 

  1.                Ряды Фурье. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье: учебно-методическое пособие / сост.: Н. П. Семенчук, Н. Н. Сендер; Брест. Гос. Ун-т имени А. С. Пушкина. — Брест: БрГУ, 2011. — 42 с.
  2.                Колмогоров А. Н., С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.
  3.                Scientific American, Издание на русском языке, № 8 Август 1989 с. 48–56.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle